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Descomposición elemental (ajustes por constantes)
OBSERVACIONES
**1. Las primeras integrales que aparecen se han obtenido del libro de Matemáticas I (1º de Bachillerato) McGraw - Hill, Madrid 2007.
- Otros problemas se han obtenido de las Pruebas de Selectividad.**
Algunas integrales con solución.
1. x dx x c
2 3 3
2. c
x x dx
3 2
3. x c
x x dx
3 2
4. dx x c
5. x x dx x x x c
2 3 2
6. x c
x x dx
4 3
7. x c
x x x dx x
2 2 3
8. dx x x c
x
9. x x c
x dx
x x
2 3
10. x x dx x x x c
11. x x x dx x x x c
2 4 3 2 3 ( 4 3 4 ) 3 3 6
12. x x dx x x c
2 4 3 3
x x dx 2 ( 3 5 ) x x x c 4 3 2 2
14. c x
dx x
2
15. c x
dx x
16. c x
dx x
17. c x
dx x
18. x xdx x c
5 / 2 5
19. dx x c x
x
1 / 2 2
20. dx x c x
x
3 / 2 3
21. dx x c x
3 ln
22. dx x c x
3 ln( 1 ) 1
23. dx x c x
ln( 2 1 ) 2
24. dx x c x
ln( 2 1 ) 2
25. dx x x c x
x
3 4 ln
26. x x c
x dx x
x x
ln 3
2 2
27. c
x x dx
5 4
28. c
x x x dx
3 6 3 5 2
29. dx x c x
x
ln( 6 ) 6
2
30. xdx sen x c x
cos 2
31. dx x c x
6 ln( 3 1 ) 3 1
- dx x c x
x
ln( 6 ) 2
2 2
33. dx x x c x x
x
ln( 3 ) 3
2
34. e dx e c x x
35. e dx e c x x
3 3 6 2
36. e dx e c x x
3 3 3
37. e dx e c x x
2 3 2 3 4 2
38. e dx e x c x x
39. c
x e xdx e x x
2 2 2
40. e xdx e x c
x x
2 2 2 2 ( )
41. dx e x c
e x x x
2 2
2
42. xdx senx c
2 cos 2
43. xdx sen x c
cos 2
44. x dx sen x c
( 5 cos 3 )
45. dx sen x c
x
cos 4
46. sen xdx x c
3 3 cos 3
47. sen xdx x c
cos 4 2
48. sen xdx x c
cos 5 5
49. sen xdx x c
cos 3
50. tag xdx tagx c
2
53. dx tagx c x
cos^2
54 tagxdx x c
lncos
Integrales resueltas
1. Calcula
dx x
x x
1
Solución: Descomponiendo la expresión del integrando:
x x
x
x
x
x
x x
Por tanto: dx x x c x
dx x
x x
NOTA: La integral dx
x 1
es inmediata, pues dx x c x
dx x
2. De una función y f ( x ), x > 1, sabemos que tiene por derivada x
a y
´ , donde a es
una constante. Determina la función si, además, sabemos que f ( 0 ) 1 y f ( 1 ) 1.
Solución:
La función y f ( x )es una primitiva x
a y
Por tanto,
dx x
a f x 1
( ) = a ln( 1 x ) k , siendo k una constante.
De f ( 0 ) 1 a ln( 1 0 ) k 1 k = 1. Luego f ( x ) a ln( 1 x ) 1
6. Calcula la primitiva de la función ( ) 1 2 f x x x que se anula en el punto de abscisa x =
Solución:
Sea
F ( x ) x x 1 dx 2 la primitiva buscada.
F ( x ) x x 1 dx 2 =
x x dx 2 1 / 2 ( 1 ) =
x x dx 2 1 / 2 2 ( 1 ) 2
c
x c
x
2 3 / 2 2 3 / 2 = c
x
2 3
Si se anula para x = 2 0 3
2 3
F c 0 3
c c 3
Luego, 3 3
2 3
x F x
7. Dada la función
5 4
2
x
x f x :
a) Calcula la integral
f ( x ) dx.
b) Halla la primitiva F de f que cumple que F ( 1 ) 1.
Solución:
a) Ajustando constantes se tiene:
f ( x ) dx = dx x c x
x dx x
x
2 2 2
b) Como F x 5 x 4 c 5
2 , para que F ( 1 ) 1 se tendrá:
2 F c 1 5
c 5
c
Por tanto, la primitiva buscada es 5
2 F x x
8. Calcula (^)
dx x x
x
4 13
2
2 .
Solución :
Primera descomposición:
2 2
2
2
2
x x
x
x x
x x x
x x
x
La segunda fracción:
2 2 2
x x x x
x
x x
x
Y, por último:
2 2 2 2
x x x x x
Por tanto, la integral pedida es:
dx x x
x
4 13
2
2
dx x x x
x
2 2
= c
x x Lx x arctag
2
13. Calcula
x x 1 dx
2 .
Solución :
Haciendo x + 1 = t
2 2 ( 1 )
x t
x t
dx dt
Luego:
x x 1 dx 2 = ( t 2 t 1 ) t dt ( t 2 t t ) dt 2 1 / 2 5 / 2 3 / 2 1 / 2
= t t t c x x x c 7 / 2 5 / 2 3 / 2 7 / 2 5 / 2 3 / 2 ( 1 ) 3
15. De todas las primitivas de la función ( ) 2 tan( )sec ( )
2 f x x x , halla la que pasa por el
punto P(/4, 1).
Solución:
Como debería saberse, sec
2 (x) = 1 + tan
2 (x). En consecuencia:
x x dx
2 tan( )sec ( )
2 = x x dx
2 tan( )[ 1 tan ( )]
2
Haciendo el cambio tan(x) = t [1 + tan
2 (x)]dx = dt, luego
x x dx
2 tan( )[ 1 tan ( )] 2 = tdt t c x c
2 tan ( ) 2 2
Para que pase por P(/4, 1) tan
2 (/4) + c = 1 1 + c = 1 c = 0.
La primitiva buscada es 2 tan( )sec ( ) tan ( )
2 2 x xdx x
Integración por partes
16. Describe en qué consiste el método de integración por partes para el cálculo de primitivas.
Aplica dicho método para calcular las siguientes primitivas:
I xe dx 2 x
J x ln( x ) dx
Solución:
El método de integración por partes puede usarse para la integración de un producto de
funciones. Su regla se obtiene como sigue:
Sean u y v las funciones.
Diferenciando: d ( uv ) udv vdu
Integrando:
d ( uv ) udv vdu
uv udv vdu
Despejando:
udv uv vdu
Aplicación a los casos planteados:
I xe dx
2 x
Tomando: u = x du = dx
e dx dv x 2
e dx dv 2 x x v e 2 2
Se tiene:
I xe dx 2 x =
xe e dx 2 x 2 x 2
= xe e c x x 2 2 4
J x ln( x ) dx
Tomando: u = x lnx du = (lnx +1)dx
dv = dx v = x
Luego,
J x ln( x ) dx =
x ln x ( x ln x x ) dx x ln x x ln xdx xdx 2 2
x ln xdx = c
x x x 2
ln
2 2
De donde,
J x ln( x ) dx = c
x x x 4
ln 2
2 2
17. Calcula las siguientes integrales indefinidas:
ln( x 1 ) dx
Solución:
ln( x 1 ) dx se hace por partes, tomando:
u = ln (x + 1) dx x
du 1
dv = dx v = x
Luego,
bxe dx
ax
ax ax ax ax e a
b xe a
b e dx a
b e a
bx (^) 2
Para
x e dx
2 ax hacemos
u = x
2 du = 2 xdx
dv e dx ax ax e a
v
Luego (^) e dx a
x e a
x x e dx
ax ax^2 ax
2 2
La segunda integral es idéntica a (*) para a
b
. Por tanto
e dx a
x e a
x x e dx ax ax^2 ax
2 2 = ax ax ax e a
xe a
e a
x 2 3
2 2 2
Teniendo en cuenta todos los resultados,
e x bx cdx ax ( ) 2 = e k a
c e a
b xe a
b e a
xe a
e a
x (^) ax ax ax ax ax ax
2 2 2 =
= e k a
ab a c x a
ab
a
x (^) ax
2
2
2 2 2
20. Sea f : (0, +) R la función definida por f ( x ) x ( 1 ln x ), donde ln x es logaritmo
neperiano de x. Encuentra una primitiva de f cuya gráfica pase por el punto (1, 1) (3 puntos)
Solución:
F ( x ) x ( 1 ln x ) dx
Hacemos
x ln xdx por partes:
u = x lnx du = (lnx +1)dx dv = dx v = x
Luego,
x ln xdx =
x ln x ( x ln x x ) dx
2 2
x ln xdx = 2
ln
2 2 x x x
De donde,
x ln xdx = 4
ln 2
2 2 x x x
Con esto:
F ( x ) x ( 1 ln x ) dx = x x c
x c
x x x
x ln 2
ln 2
2
2 2 2
2
Como el punto (1, 1) es de F(x), se cumple que:
ln 1 c 2
c
Por tanto, la primitiva pedida es 4
ln 2
2
2 x x
x F x
Descomposición en fracciones simples
21. Halla la integral indefinida
(^) x^2 x 6
dx
Solución:
Por descomposición en fracciones simples:
2
x
B
x
A
x x
x x
Ax B x
Luego:
1 A ( x 3 ) B ( x 2 )
si x = 2: 1 = 5A A = 1/ si x = –3: 1 = –5B B = 1/
Por tanto:
(^) x^2 x 6
dx
dx x
dx x
dx x x 3
= x ln( x 3 ) c 5
ln( 2 ) 5
22. Calcula dx x 1
2
Solución:
Por descomposición en fracciones simples:
x
B
x
A
x
2
x
Ax Bx
Luego:
2 A ( x 1 ) B ( x 1 )
si x = 1: 2 = 2A A = 1 si x = –1: 2 = 2B B = 1
Con esto:
(^)
dx x
dx x
dx x^1
2 = ln( x 1 )ln( x 1 ) c
23. Calcula: (^)
dx x 2 1
Solución :
(Observa que es casi igual que la anterior.)
Descomponiendo en fracciones simples,
(^)
dx x
2 1
= dx L x L x c x
dx x
(^)
26. Se consideran las funciones reales ( ) 12 8 9 5 3 2 f x x x x y ( ) 6 7 2 2 g x x x .
Se pide:
a) Determina las ecuaciones de las asíntotas a la gráfica de la función ( )
g x
f x .
b) Calcula la función
dx g x
f x H x ( )
( ) que cumple H (1) = 1.
Solución:
a) La función 6 7 2
2
3 2
x x
x x x
g x
f x F x :
tiene una asíntota oblicua, pues el grado del numerador es uno más el grado del denominador;
puede tener asíntotas verticales en los ceros del denominador; en las soluciones de
6 7 2 0 2 x x , que son x = 1/2 y x = 2/3.
Las asíntotas verticales se confirman, pues
2
3 2
1 / (^2) x x
x x x lím x
y
2
3 2
2 / (^3) x x
x x x lím x
La asíntota oblicua puede calcularse dividiendo:
La asíntota es la recta y = 2x + 1.
b) Por la división anterior, sabemos que 6 7 2
2
x x
x x gx
f x .
Si tenemos en cuenta que 6 7 2 ´ 12 7 2 x x x ,
dx g x
f x H x ( )
dx x x
x x 6 7 2
2 = x x ln 6 x 7 x 2 c 2 2
Si H (1) = 1 1 + 1 + ln 1 + c = 1 c = 1.
Por tanto, ( ) ln 6 7 2 1
2 2 H x x x x x
27. Calcula la siguiente integral: (^)
dx x
x 3 ( 1 )
Solución:
Por descomposición en fracciones simples se tiene:
3 2 3 ( 1 ) 1 ( 1 ) ( 1 )
x
C
x
B
x
A
x
x = (^3)
2
x
Ax Bx C
Por tanto,
12x
3 8x
2 9x (^) 5 6x
2 7x 2
12x
3 +14x
2 4x 2x^ + 1 6x 2 5x (^) 5
6x (^2) +7x 2 12x 7
x A ( x 1 ) B ( x 1 ) C 2 = ( 2 ) ( ) 2 Ax A Bx A B C
Identificando coeficientes se tiene el sistema,
A B C
A B
A
A = 0, B = 1, C = 1
Luego (^3 ) ( 1 )
x x x
x , de donde
(^)
dx x
x 3 ( 1 )
= dx x
dx x
dx (^) x x
2 3 2 3 ( 1 )
= c x x
Las dos últimas integrales son inmediatas, pues
1
1
(^) n
f x f x f x dx
n n
. Ahora basta
con escribir
(^)
dx x dx x dx x
dx x
(^23) 2 3
