Curso 0 Matemáticas: Integrales - Ejercicios y ejemplos, Ejercicios de Matemáticas

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Integrales

Prof. Esther Gil Cid

Departamento de Matem´atica Aplicada I

ETSI Industriales

1. Introducci´on y objetivos

Las integrales permiten calcular el ´area de figuras planas. Este problema surgi´o en tiempos remotos: los griegos llegaron a f´ormulas para encontrar el ´area de pol´ıgonos, del c´ırculo o de segmentos de par´abolas. Pero el m´etodo que empleaban se basaba en aproximar la figura cuya ´area se quer´ıa calcular por pol´ıgonos de ´areas conocidas. A partir de este principio, en el s. XVII, Newton y Leibnitz introdujeron el concepto de integral definida de una funci´on f en un intervalo. Los contenidos de este tema son necesarios para el primer curso de cualquier Ingenier´ıa o carrera de ciencias. Las integrales est´an muy relacionadas con las derivadas, ya que la integraci´on es la operaci´on rec´ıproca de la derivaci´on, si trabajamos con integrales indefinidas.

Objetivos Poder resolver integrales inmediatas. Detectar qu´e t´ecnica hay que aplicar para integrar una fun- ci´on. Poder resolver integrales sencillas no inmediatas. Entender el significado geom´etrico de la integral definida. Poder calcular algunas ´areas mediante integrales.

2. Prueba de autodiagn´ostico

Haga el test siguiente para evaluar el nivel de conocimientos que tiene en este tema.

Una primitiva de f (x) = 3x^2 es x^3 + 3

Verdadero Falso

Se cumple que

2 x cos^2 xdx = 2

xdx

cos^2 xdx

Verdadero Falso

Una primitiva de

sen 2 x cos xdx es 13 sen 3 x

Verdadero Falso

(x + 1)^7 dx = 744

(x + 1)^11 + k

Verdadero Falso

4 x^3 + 3

x^4 + 3x

dx = (^16)

x^4 + 3x

• k

Verdadero Falso

Al integrar por partes, es indiferente c´omo se eligan las partes

Verdadero Falso

La integral

1 + (x + 4)^2

dx se resuelve me-

diante el cambio de variable t = (x + 4)^2

Verdadero Falso

La integral de

x + 1 x^2 + x − 2 dx es la suma ∫ (^1) x + 2 dx +

x − 1 dx

Verdadero Falso

La integral definida no est´a relacionada con la integral indefinida

Verdadero Falso

1

x^2

dx = 3

Verdadero Falso

3. Contenidos

3.1. Ficha 1: Primitiva de una funci´on Integrar Integrar es la operaci´on inversa de derivar, del mismo modo que obtener la ra´ız cuadrada es la operaci´on inversa a elevar al cuadrado. Dada una funci´on f (derivada), integrar consiste en calcular una funci´on F que al derivarla produce f.

Primitiva Si f es una funci´on definida en el intervalo (a, b) y existe una funci´on F que verifica

F ′^ (x) = f (x) ,

F se llama primitiva o integral indefinida de f

Notaci´on Para referirnos a la integral de f se utiliza la siguiente no- taci´on (^) ∫ f (x) dx,

donde f (x) es el integrando, x es la variable de integraci´on y dx indica respecto a qu´e variable se integra.

Exist. primitiva Si F (x) es una primitiva de f (x), tambi´en lo es F (x) + k, para cualquier constante k ∈ R, porque sus derivadas coin- ciden y son f (x). Por este motivo, al calcular la integral indefinida vamos a a˜nadir una constante k. Por eso, pode- mos decir que la primitiva, en realidad, es un conjunto de funciones (^) ∫ f (x) dx = {F : F ′^ = f }.

Ejemplo 1. La funci´on f (x) = cos x tiene una primitiva que es F (x) = sen x, porque la derivada de la funci´on sen x es el cos x.

Ejemplo 2. Las funciones F (x) = 2x^3 + 2 y G (x) = 2x^3 − 6 son primitivas de f (x) = 6x^2 , porque

F ′^ (x) = 2 · 3 x^3 −^1 + 0 = 6x^2 , G′^ (x) = 2 · 3 x^3 −^1 − 0 = 6x^2.

Tabla de primitivas Una primera tabla de funciones y sus primitivas la obtene- mos a partir de las derivadas:

adx = ax + k

xadx =

a + 1

xa+1^ + k, a 6 = − 1 ∫ cos xdx = sen x + k

sen xdx = − cos x + k ∫ ( 1 + tg^2 x

dx = tg x + k

cos^2 x

dx = tg x + k ∫ exdx = ex^ + k

x

dx = ln x + k x > 0 ∫ axdx =

ln a

ax^ + k

1 + x^2

dx = arctg x + k ∫ 1 √ 1 − x^2

dx = arcsen x + k

1 − x^2

dx = arc cos x + k

Homogeneidad Homogeneidad ∫ cf (x) dx = c

f (x) dx.

Aditividad Aditividad ∫ (f (x) + g (x)) dx =

f (x) dx +

g (x) dx.

Ejemplo 4. Para calcular la integral de f (x) = 8 cos x + 2:

1. Aplicamos las propiedad de aditividad y homogeneidad, porque as´ı ∫ (8 cos x + 2) dx =

8 cos xdx +

2 dx

= 8

cos xdx + 2

dx.

2. La integral de cos x es sen x, como vimos en el ejemplo 1.
3. La integral de 1 es x, lo que se comprueba observando que la derivada de x es 1.
4. As´ı, para k ∈ R, tenemos ∫ (8 cos x + 2) dx = 8

cos xdx+

dx = 8sen x+2x+k.

Ejercicios propuestos

Ejercicio 1. Comprobar que F (x) = ln (cos (x + π/4)) − 3 y G (x) = ln (cos (x + π/4)) + 2, para x ∈ (0, π/4) son primitivas de f (x) = − tg (x + π/4).

Pulse aqu´ı para ver la soluci´on.

Ejercicio 2. Calcular

e^73 xdx.

Pulse aqu´ı para ver la soluci´on.

Ejercicio 3. Encontrar la primitiva F (x) de

1 + x^2

dx que

verifica que F (0) = 2.

Pulse aqu´ı para ver la soluci´on.

Si ha tenido dificultades para resolver estos ejercicios correc- tamente, vuelva a repasar esta ficha.

3.2. Ficha 2: Integrales inmediatas

Integral inmmediata Un primer paso para la integraci´on es detectar las inte- grales inmediatas o que se transforman en inmediatas con manipulaciones sencillas del integrando.

Inv. regla cadena Si en el integrando aparecen g′^ (f (x)) f ′^ (x), entonces la primitiva es g (f (x)): ∫ g′^ (f (x)) f ′^ (x) dx = g (f (x)) + k.

Esta regla es la “inversa” de la regla de la cadena.

Ejemplo 5. Para calcular

sen 2 x cos xdx:

1. Observamos que aparece sen x elevado al cuadrado, mul- tiplicado por cos x, que es la derivada del seno. Podemos aplicar la regla anterior.
2. Una primitiva de una potencia de grado 2 de “algo” es (^) 2+1^1 multiplicado por “algo” elevado a 2 + 1.
3. As´ı, la integral de sen 2 x cos x es 13 sen 3 x + k.
4. Se puede comprobar derivando esta funci´on: ( 1 3

sen 3 x + k

· 3sen 3 −^1 x cos x + 0 = sen 2 x cos x.

Ejemplo 6. Una integral integral inmediata t´ıpica es la del logaritmo neperiano: cuando el integrando es un cociente y el numerador es la derivada del denominador. Por ejemplo, para calcular

2 x + 1 x^2 + x − 3 dx observamos:

1. En el denominador aparece x^2 + x − 3 y en el numerador 2 x + 1, que es su derivada.
2. La derivada de ln f (x) es

f (x)

f ′^ (x), aplicando la regla de la cadena.

3. Esto es precisamente lo que tenemos aqu´ı, por lo que ∫ 2 x + 1 x^2 + x − 3

dx = ln

x^2 + x − 3

• k.

4. Se ponen las barras de valor absoluto, para evitar proble- mas de definici´on del ln (s´olo est´a definido para argumento mayor que 0) y porque las derivadas de ln (x) y ln (−x) coinciden. Como ejercicio queda comprobar que la integral est´a bien hecha.

Int. cuasi-inmediata A menudo tenemos que resolver integrales de este tipo que no son completamente inmediatas, pero lo son con sencillas manipulaciones previas.

b. En este caso, no vamos a poder transformar el numera- dor para que sea la derivada del denominador, porque tendr´ıamos que dividir entre x, que no podemos “sacar” fuera de la integral. Pero si el integrando fuera

x^2 + 1

tendr´ıamos un arctg.

1. Si sumamos y restamos 1 en el numerador y operamos, tenemos ∫ x^2 x^2 + 1

dx =

x^2 + 1 − 1 x^2 + 1

dx

x^2 + 1 x^2 + 1

x^2 + 1

dx

x^2 + 1

dx.

2. Aplicando la aditividad, resulta ∫ x^2 x^2 + 1

dx =

dx −

x^2 + 1

dx.

3. Integramos y obtenemos ∫ x^2 x^2 + 1

dx = x − arctg x + k.

c. En esta integral, si el denominador fuera t^2 + 1, ser´ıa un arctg. Lo transformamos de la siguiente manera:

1. Tenemos que conseguir que el denominador sea “algo”+1, para lo que sacamos factor com´un al 4 ∫ 1 x^2 + 4

dx =

x^2 4 + 1

dx =

(x 2

dx.

2. Para que sea la derivada del arctg de una funci´on f (x) = x 2 , nos falta la derivada de f en el numera- dor, que es (^12) ∫ 1 4

(x 2

dx =

1 (^2 x 2

dx

1 (^2 x 2

dx.

3. Teniendo en cuenta la homogeneidad, resulta ∫ 1 x^2 + 4

dx =

1 (^2 x 2

dx

(^2

x 2

dx

arctg

x 2

• k.

Soluci´on a los ejercicios propuestos

Soluci´on del ejercicio 4.

a. Para resolver esta integral, observamos que el numerador es la integral del radicando (“lo de dentro de la ra´ız”), que est´a en el denominador. Como la integral de ∫ 1 √ x dx = 2

x dx = 2

x + k,

entonces esta integral es cuasi-inmediata: ∫ cos x √ sen x

dx = 2

sen x + k.

b. Si en el numerador no apareciera (x + 1) sino

1 + x^2

la derivada podr´ıa ser una arcotangente. Como, adem´as, podemos escribir la integral como: ∫ dx √ x (x + 1)

x + 1

x

dx = 2

x)^2 + 1

x

dx,

entonces esta integral es cuasi-inmediata, porque

x

es

la derivada de

x y entonces ∫ dx √ x (x + 1)

x)^2 + 1

x

dx

x)^2 + 1

x

dx = 2 arctg

x + k.

Soluci´on del ejercicio 5.

a. Para resolver esta integral:

1. Primero tenemos en cuenta la aditividad

I =

3 x + 2

2 x + 1 x^2 + x − 3

dx

3 x + 2

dx −

2 x + 1 x^2 + x − 3

dx.

2. La primera integral es inmediata porque es un logarit- mo neperiano ∫ 1 3 x + 2

dx =

3 x + 2

dx

=

ln | 3 x + 2| + k 1.

3. La segunda integral tambi´en es un logaritmo neperiano, ya que el numerador es la derivada del denominador ∫ 2 x + 1 x^2 + x − 3

dx =

x^2 + x − 3

x^2 + x − 3

dx

= ln

∣x^2 + x − 3

∣ (^) + k 2.

4. As´ı, resulta

I =

∫ (^

3 x + 2

2 x + 1 x^2 + x − 3

dx

=

ln | 3 x + 2| − ln

∣x^2 + x − 3

∣ (^) + k.

b. Es muy similar a la integral anterior, pero hay que rea- lizar algunas manipulaciones:

1. Aplicamos aditividad y queda:

I =

∫ (^

3 x − 1

x √ x^2 + 5

dx

3 x − 1 dx +

x √ x^2 + 5

dx.