Integrales resumen teórico, Diapositivas de Matemáticas

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Integrales Múltiples

MateDLG y CyADLG

Índice:

• (^) Integrales Múltiples
  • (^) Introducción, Objetivos
  • (^) Como resolver integrales múltiples
• (^) Integrales Dobles
  • (^) Integrales Dobles Sobre Rectángulos
  • (^) Interpretación de la Integral Doble
  • (^) Suma de Riemann
  • (^) Propiedades de la Integral Doble
  • (^) Integrales Iteradas
  • (^) Cambio de Orden de Integración
  • (^) Simetrías
• (^) Aplicación de las Integrales Dobles
  • (^) Masa
  • (^) Momentos de Inercia
  • (^) Centro de Masa
  • (^) Valor Medio
  • (^) Teorema de Pappus
• (^) Ejemplos

Objetivos Establecer los fundamentos para la interpretación y aplicación de las integrales dobles y triples, de tal manera que al finalizar estos temas el alumno estará en capacidad de utilizar la integral doble en el cálculo de áreas, volúmenes, centros de masa, etc. Así como el cálculo en coordenadas polares, coordenadas cilíndricas, coordenadas esféricas y emplear los jacobianos

¿Cómo se resolvían las integrales Múltiples? Supongamos que queremos calcular la siguiente integral: Lo primero que haremos es resolver la integral con respecto a la primera diferencial (de izquierda a derecha). En este caso con respecto a Es decir: Ya que solamente estamos calculando la integral con respecto a x entonces a las demás variables las consideraremos como constante, quedando como resultado:

Recuerda Ejemplos:

Integrales Dobles

Ahora si viene lo chido

Integrales Dobles Sobre Rectángulos Sea una función acotada sobre el rectángulo Partición: Se denomina partición de la región al conjunto y son particiones en el intervalo cerrado y Donde Donde Observación: El primer elemento de la partición de es y el último elemento es

𝒏

Las anteriores sumatorias reciben los nombres de suma inferior y superior de la partición de respectivamente. Donde: En forma similar del caso de funciones de una variable, se tiene que: Según Riemann, una función es integrable sobre una región del plano XY, si es acotada sobre , y si existe un único número que satisface Para toda partición de A dicho número se le denota: Teorema: Sea un rectángulo cerrado y una función continua sobre , entonces f es integrable sobre Teorema 2: Una función acotada f es integrable sobre un rectángulo cerrado si y solo si para cada existe una partición de , tal que:

Teorema Para cada uno de los rectángulos de una partición del rectángulo , sea un punto en , cualquiera sea la elección de en entonces: Además:

K Nota: , porque si toma todos los cuadraditos que forma y los suma, esto formaría el área Dado que: Para partición de , Entonces: Observación: Si la tomase el valor de dicho volumen coincidiría numéricamente con el valor del área de la región. Corolario:

Integrales Dobles como Volumen y Área Dada la función , donde y acotada sobre un rectángulo , entonces la gráfica de representa una superficie en que se encuentra encima del rectángulo.

Sea una función real definida sobre un rectángulo del plano. La integral doble de sobre , denotada por se puede definir como: Además, del resultado anterior, también concluimos que: Definición de Integral como Suma de Riemann

Un Resultado “Interesante” Sea una función acotada sobre el rectángulo El área del rectángulo puede ser hallado si generamos particiones con la misa razón, de tal forma que , entonces Además: Entonces: