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Integrales en triples Octubre de 2020, El Salvador
Integrales Triples
Las integrales triples son como integrales dobles, pero en tres dimensiones. Están escritas
de manera abstracta como ∭
R 1
fdV
R, es alguna región en el espacio tridimensional.
f ( x , y , z ) es alguna función con valores escalares que tiene como entrada puntos
en el espacio tridimensional.
dV es una unidad de volumen pequeña. En coordenadas cartesianas, se
desarrolla como^ dV^ =^ dxdydz^ (1 de las 6 formas)
- Concretamente, estas se calculan como tres integrales anidadas:
z (^1) z (^2)
y 1 ( z ) y 2 ( z )
x 1 ( y , z ) x 1 ( y , z )
f ( x , y , z ) dxdydz
Al igual que con las integrales dobles, los límites de las integrales interiores podrían ser funciones de las variables externas. Estas funciones acotadas son lo que codifica la forma de R. Se usa una integral tridimensional cada vez que se tenga la sensación de querer despedazar una región tridimensional en infinitos pedazos, asociar cada pedazo con un valor y luego sumar todo. Esto es sorprendentemente útil para encontrar el volumen de regiones tridimensionales al sumar todos los mini volúmenes dV. Ejemplo 1 Considere la integral reiteradas V =
0 6
0 6 − x 2
0 6 − x − 2 x 3 dzdydx Mostrar que sus límites de integración definen una región que se puede tomar indistintamente como cualquiera de las seis formas posibles y cambiar el orden de integración para obtener las otras formas de integrales reiteradas. Solución
0 ≤ z ≤
6 − x − 2 y
; 0 ≤ y ≤
6 − x
; 0 ≤ x ≤ 6
Si z = 0 ; 0 =
6 − x − 2 y
⟹ 6 − x − 2 y = 0 ⟹ x + 2 y = 6 ⟹ y =
6 − x
Integrales en triples Octubre de 2020, El Salvador
Si y = 0 ;^ z^ =^
6 − x
z =
6 − x − 2 y
⟹ 3 z = 6 − x − 2 y ⟹ 2 y = 6 − x − 3 z ⟹ y =
6 − x − 3 z
- Fijo x
V =∫
0 6
0 6 − x 2
0 6 − x − 2 y 3 dzdydx ;
V =∫
0 6
0 6 − x 3
0 6 − x − 3 z 2
dydzdx
- Fijo y
V =∫
0 3
0 6 − 2 y 3
0 2 − 32 y − z dxdzdy ;
V =∫
0 3
0 2 − y
0 6 − x − 2 y 3
dzdxdy
- Fijo z
V =∫
0 2
0 6 − 3 z
0 6 − x − 3 z 2
dydxdz ; V =∫
0 2
0 6 − 3 z 2
0 2 − 32 y − z dxdydz
R/^ z^ =^
6 − x − 2 y
⟹ 3 z = 6 − x − 2 y ⟹ x + 2 y + 3 z = 6 ⟹
x
y
z
x
a
y
b
z
c
= 1 ⟹ V =
abc
;^ V^ =^
= 6 u
3
Integrales en triples Octubre de 2020, El Salvador Solución
V =∫
0 1
x / 2 3
0 1 − y 2
dzdxdy =¿∫
0 1
y / 2 3
( 1 − y
2
) dxdy =∫
0 1
( x − y 2 x )| y
2 3
dy =¿ ¿ ¿
V =∫
0 1 ( 3 − 3 y 2 )− (
y
y
3 2 )
dy = 3 y − y
3 −
y
2 4
y
4 8 | 0 1 = 3 − 1 −
Ejemplo 4
Calcular ∭
s 3
( 1 + x + y + z )
− 3
dxdydz
Donde S es el tetraedro limitado por los tres planos coordenados y el plano de ecuación x + y + z = 1 Solución
0 1
0 1 − y
0 1 − y − z
( 1 + x + y + z )
− 3
dxdydz
I =∫
0 1
0 1 − z
0 1 − y − z
( 1 + x + y + z )
− 3
dxdydz
Integrales en triples Octubre de 2020, El Salvador
I =∫
0 1
0 1 − z −
( 1 + x + y + z )
− 2 | 0 1 − y − z
dydz
I =∫
0 1
0 1 − z − 1 2
( 1 + 1 − y − z + y + z )
− 2
( 1 + y + z )
− 2
dydz
I =∫
0 1
0 1 − z − 1 2
− 2
( 1 + y + z )
− 2
dydz
I =∫
0 1
0 1 − z (
( 1 + y + z )
− 2 −
8 )
dydz
I =∫
0 1 (
( 1 + y + z )
− 1 −
y (^) ) 0 1 − z
dz
I =∫
0 1 (
( 1 + 1 − z + z )
− 1 −
( 1 − z ) +
( 1 + z )
− 1 )^ dz
I =∫
0 1 − 1 2
− 1 −
( 1 − z ) +
( 1 + z )
− 1
dz
I =∫
0 1 − 1 4
z +
( 1 + z )
− 1 dz =¿(
z +
z
2
ln( z + 1 )) 0 1 ¿
I =
ln ( 1 + 1 )=
ln 2 =
ln 2 −
Ejemplo 5
Calcular ∭
D 3
dxdydz
Donde D es el sólido limitado por el paraboloide z = x 2 + y 2 , el plano
x + y = 1 , y los planos de coordenados.
Solución
