Integrales triples calculo 2 - ejercicios, Ejercicios de Ingeniería Industrial

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INTEGRAL DEFINIDA AREAS Y VOLUMENES

LA INTEGRAL DEFINIDA

LA FUNCIÓN F(X) ES POSITIVA EN [A, B]

f (x) 0 en  a,b

Área del recinto = 

b

a

f(x) dx

ÁREA DEL RECINTO DONDE INTERVIENE UNA

FUNCIÓN

El recinto será el limitado por la función f(x), el eje OX y

dos recta verticales x =a y x = b.

LA FUNCIÓN F(X) ES NEGATIVA EN

[A,B ]

Área del recinto = - 

b

a

f ( x ) dx

EJEMPLO:

Área =

2

2

2

2

2

3

2

u

3

16

3

8

3

8

3

x

( x ) dx   

















  







y = -x

2

Hallar el área del recinto determinado por la parábola de

ecuación y = -x

2 , el eje OX y las rectas x = -2 y x = 2

El recinto será el limitado por la función f(x), el eje OX y

dos recta verticales x =a y x = b.

LA FUNCIÓN TOMA VALORES POSITIVOS YLA FUNCIÓN TOMA VALORES POSITIVOS Y

NEGATIVOS NEGATIVOS

Área (R) =

   

  

b

e

e

d

d

c

c

a

f(x)dx f(x)dx f(x)dx f(x)dx

ÁREA DEL RECINTO DONDE INTERVIENEN DOS

FUNCIONES

Área (R) =   

  

b

a

b

a

b

a

f(x)dx g(x)dx [f(x) g(x)]dx

LAS DOS FUNCIONES NO SE CORTAN EN [A, B]

El recinto será el limitado por las dos funciones, o por las dos

funciones y dos rectas verticales x = a y x = b.

EJEMPLO:

Hallar el área de la región limitada por las funciones:

y = x

2 e y = 2x – 3 entre x = 2 y x = 4

Área (R) =

u

[ x  ( 2 x  3 )] dx 



y = x

2

y = 2x – 3

1.EJEMPLO :

1. Hallar el área de la región limitada por las funciones:

y = x

2 e y  x

y = x

2

y  x

Área (R) =

u

x

x

x dx x dx 

 

2. EJEMPLO :

Hallar el área del recinto limitado por la parábola:

y = x

2 , la recta y = -x + 2 y el eje OX

Área (R) =

u

x dx  ( x  2 ) dx 

 

y = x

2

y = - x + 2

13

 (^) EXCEDENTE DEL CONSUMIDOR

 EL EXCEDENTE DEL PRODUCTOR

ESTIMACIÓN DEL CAMBIO NETO, A PARTIR DE LA RAZÓN DE CAMBIO, EN

EL VALOR DE REVENTA DE BIENES CAPITALES O EN LA UTILIDAD,

INGRESOS Y COSTOS DE UNA EMPRESA

APLICACIONES DE LA INTEGRAL

DEFINIDA A LA ECOMOMIA

 ESTIMACIÓN DEL EXCESO DE UTILIDAD DE UN PLAN

DE INVERSIÓN, RESPECTO DE OTRO

CONCEPTO DE LA DEMANDA

Una curva de demanda

resume la relación inversa existente entre precios y cantidades.

Una curva de demanda

refleja las cantidades que están dispuestos a comprar los

consumidores, ante determinados precios.

Una curva de demanda

representa la disponibilidad marginal de gastar de

parte del consumidor.

Demanda

Alimentos (unidades mensuales)

Precio de los alimentos (Dollars)

G

E

F

2,

4 12 20

1,

0,

16

Oferta

E

q

Demanda

0 1 2 3 4 5 6 …….

P

S/. por unidad

4

3

2

Si se define al gasto como p.q....

¿Cuál sería el gasto efectuado por los consumidores

en este ejemplo? RPTA: S/. 8

¿Cuál sería el área respectiva?

Gasto

RPTA….

EL GASTO DE LOS CONSUMIDORES

17



4

0

D ( q ) dq

q

Demand

a

0 1 2 3 4 5 6 …….

P

S/. por unidad

4

3

2

q

Demand

a

0 1 2 3 4 5 6 …….

P

S/. por unidad

4

3

2

Análisis 2

La disponibilidad a gastar en este caso

es….

Gasto

Análisis 3

El gasto efectivo (lo que realmente

gastan) en este caso es…. = 8u

2

Finalmente….

- Todos aquellos consumidores que estuvieron dispuestos a pagar un

precio mayor que el del mercado (S/.2 por unidad), se benefician

El área que representa dicho “excedente” es el EXCEDENTE DEL CONSUMIDOR :

Área de Disponibilidad total – Área de Gasto

EL EXCEDENTE DE LOS

CONSUMIDORES

EC

1. Calcular el área del recinto limitado por la

curva y = 4x − x

2

y el eje OX.

SOLUCION:

Hallamos los puntos de corte con los ejes

0 = 4x – x

2

x=0 x=

EJERCICIO - 1













  











 

3

( 4 )

2 ( 4 )

3

( 0 )

2 ( 0 )

3

2

3

2



4

0

2

A ( 4 x x ) dx

4

0

3

2

x

x

1. Calcular el área del recinto limitado por la

curva y = x

2 − 4x y el eje OX.

EJERCICIO - 2

2

3

2

3



4

0

2

A ( x 4 x ) dx

4

0

2

3

  x

x

A 

0 = x

2

- 4x , x=0 , x=