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Capital-Interés Continuo
Otra de las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales es en el cálculo del
crecimiento del capital inicial. Tal que en el interés continuo hay algo llamado
capitalización que está vinculado a los períodos establecidos de tiempo. La
capitalización en interés continuo es cuando el interés de un período se añade al capital
y sobre este total se calcula el interés del siguiente período.
Descripción
Los bancos pagan interés en una cuenta de este modo: al término de cada día, la
institución determina la tasa de interés para ese día, comprueba el capital C (o P,
por sus siglas en inglés) de la cuenta y luego deposita un adicional. Por lo tanto, al
día siguiente el capital de esta cuenta es: (1+ )C.
Los bancos no pagan el interés por día si no por año, trimestre o mes, o incluso,
en algunos casos, hasta por semana.
Cuando mayor sea la frecuencia con que se paga el interés, más dinero se gana,
por ejemplo, si se paga solo una vez al finalizar un año, el dinero de la cuenta al término
del año es:
Pero si el interés se paga dos veces al año, el capital es:
Para realizar el modelo del interés compuesto y contestar a esta interrogante se
realizan varias suposiciones para simplificarlo.
Demostración
En particular, supusimos que:
Se deposita un capital inicial en el banco, el 1 de enero.
El dinero no se retira durante un año.
No se deposita dinero nuevo en esa cuenta durante el año.
La tasa de interés anual “r” pertenece constante durante el año.
El interés se agrega a la cuenta N veces durante el año.
Teniendo el siguiente análisis:
La tasa de interés en cada periodo es , la tasa de interés “r” dividida entre el
número de periodos N. Se establece una tasa de intereses constante durante el año.
Después de dos unidades de tiempo, el capital es:
Aquí hemos supuesto que no se deposita ni se retira dinero de la cuenta. Note
que es la cantidad en el banco después de un año, suponiendo que se haya
capitalizado interés N veces (igualmente espaciadas) durante ese año, y la tasa de interés
efectiva cuando se capitaliza N veces es:
Para hallar el máximo interés efectivo, pedimos al banco que capitalice
continuamente el interés; esto es:
Obtenido el valor anterior, calculamos ahora para un
Dólares
Ejemplo
- Un mercader decide depositar 800 euros en un banco ubicado cerca de su
localización de trabajo, dicho banco paga un interés anual del 15%,
¿Cuántos dólares se tendrán en total luego de 7 años?
Empezaremos transformando los 800 euros a dólares
Sea la cantidad de dólares luego de t años.
Supongamos que se capitaliza cada años (en fracción de años)
Lo que nos pide en el ejercicio es la cantidad luego de que ha transcurrido el
tiempo
Ecuación diferencial a variables separables
La cantidad de dólares que tendrá en total luego de 7 años es de $2697,
- ¿Cuánto dinero invertirse hoy a una tasa de interés anual del 7%
capitalizado continuamente, para que dentro de 15 años su valor sea e 90%
de $ 30 000?
M = c ∗ e
rt
c = x
R = 7 % anual
t = 15 años
M = 90 % de 30000
M = 27000
27000 = x ∗ e
7
100
∗ 15
27000 = x ∗ e
21
20
El porcentaje de interés a la que trabaja el banco es del
b.-
Cuando pasen 20 años el banco les devolverá $.
- ¿Cuánto tiempo en años tardara una inversión en duplicar su valor si la
tasa es de 6% de interés compuesto continuo?
Solución
Primeros determinamos cuales son los datos y las incógnitas
Datos
t=?
r=6% Anual
donde r es el interés
Solución
c = capital
P ( t ) = Monto
P ( t )= 2 c
P ( t )= c ∗ e
rt
2 c = c ∗ e
6 %t
2 = e
0.06 t
e
0.06 t
=0.06 t ∗¿
e
1
0.693=0.06 t
t =
t =11,55 años
- ¿Durante cuánto tiempo ha de imponerse un capital de 25 000 $ al 5% para
que se convierta en 30.000 $?
SOLUCIÓN:
Notemos que tenemos el capital final y el capital inicial. Por lo tanto, primero
debemos calcular el interés que debemos obtener:
interés anual aproximadamente?
¿Cuánto dinero debe invertirse hoy a una tasa de interés anual del 7%
capitalizado continuamente, para que dentro de 15 años se valor sea el 90% de $ 30
- Tomando en cuenta los siguientes datos ¿Cuánto dinero habrá en esta
cuenta después de 5 años con interés continuo?
Datos
P
O
r=5,75%
dp
dt
= rp ( t )
∫
dp
p ( t )
∫
rdt
ln p ( t )= rt + C
P
t
= Poe
rt
Se sustituye la ecuación diferencial, con el monto inicial
P ( t ) =5,000 e
0,0575 t
Y en P(0)podemos verificar que nos da:
