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TASA DE INTERÉS CONTINUO
Se define una tasa de interés continuo r% como aquella cuyo periodo de capitalización es lo más pequeño posible. Por ejemplo, se habla del 35% capitalizable continuamente, lo cual significa que es una tasa expresada anualmente y su periodo de capitalización puede ser lo más pequeño posible. En términos matemáticos, esto quiere decir que el numero de periodos de capitalización durante el tiempo de la operación financiera crece indefinidamente. A diferencia del interés discreto, en el interés continuo la tasa se presenta siempre en forma nominal.
Vamos a determinar la equivalencia entre el valor presente y el valor futuro por una inversión única con interés continuo. Si hoy invertimos una cantidad de $P , a una tasa de interés continuo del r% capitalizable continuamente durante n años, vamos a determinar el valor futuro o total acumulado $F , al final de ese tiempo.
Si denotamos por ∆t el periodo de capitalización, por C(t) el capital al final del tiempo t y por C(t + ∆t) el capital al final del tiempo t + ∆t, se tiene que el interés devengado en el periodo t está dado por:
C(t) * r * ∆t
En el siguiente diagrama puede verse más claramente la relación entre estos valores y el tiempo: F
0 C(t) C(t + ∆t) n
t t + ∆t
de tal manera que se cumple la siguiente relación:
C(t + ∆t) = C(t) + C(t) r * ∆t*
o lo que es lo mismo:
C(t + ∆t) - C(t) = C(t) * r ∆t
Para que la capitalización sea continua se requiere que ∆t 0, de tal manera que debe cumplirse:
Lim C(t + ∆t) - C(t) = Lim C(t) * r ∆t 0 ∆t ∆t 0
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La expresión de la izquierda es la definición de la derivada de C(t) respecto a t, y así tenemos:
dC = C * r dt
Esta relación corresponde a una ecuación diferencial de variables separables, cuya solución se plantea así:
Para llegar a:
F = P e rn*^ ecuación 1
Y también:
P = F * e -rn^ ecuación 2
Las formulas 1 y 2 relacionan el valor presente y el valor futuro de un pago único con interés continuo.
Ejemplo 1.
Una persona deposita hoy una suma de dinero de $P, en una institución financiera que paga un interés del 27% anual capitalizable continuamente. Si el saldo a favor del inversionista es de $ 855000 dentro de 3 años, hallar la cantidad depositada originalmente.
Solución.
En este caso tenemos:
F = 855000; n = 3 años; r% = 27% anual capitalizable continuamente; P = ¿?
Aplicando la ecuación 2, obtenemos:
P = 855000 * e –(0.27 * 3)^ = 855000 * e –0.81^ = $ 380354
Con base en las ecuaciones 1 y 2 es posible determinara cualquiera de las variables P, F, r ó n , según el caso.
Ejemplo 2.
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e. F = 100000(1+0.3/365)^365 = $ 134969 f. (^) F = 100000(e 0.3 * 1 ) = $ 134985,
Como podemos observar, el valor futuro va creciendo a medida que aumenta el número de periodos al año de capitalización de la tasa nominal, pero lo más importante es ver cómo los literales (e) y (f) de capitalización diaria y continua, los resultados son bastante cercanos; en nuestro caso la diferencia es mínima ( $ 16,9), en un valor futuro de $ 134969, lo que nos indica que para liquidaciones diarias, la capitalización continua sería un sistema bastante cercano.
Esta clase de interés es de frecuente uso en países donde la inflación es muy alta, por ejemplo del orden del 70%, 90%, 100% anuales, por allí el dinero pierde poder adquisitivo muy rápido, y es posible que en un mismo día el dinero pierda poder varias veces, como puede observarse con el tipo de cambio que se da en esos lugares. Entonces, el interés continuo es una de las soluciones para la determinación del valor del dinero.
La tasa de interés continuo tiene una propiedad que no tiene la tasa de interés capitalizable m veces al año, y es que si estamos trabajando con una tasa, por ejemplo, del 30% capitalizable continuamente y el tiempo de la operación financiera es sólo de un semestre, entonces simplemente tomamos como tasa continua para el semestre del 15%; y si el tiempo de la operación financiera es de un trimestre, entonces tomamos como tasa continua para el trimestre el 7.5% y así sucesivamente.
Nota. Este documento es tamado del texto: Matemáticas Financieras con ecuaciones de diferencia finita escrito por Jaime. A. García.
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