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Matemática II
Ing. Marco Antonio Oseguera
Tercer parcial
INTERÉS SIMPLE E INTERES COMPUESTO
Considere un capital, digamos 𝑃 = $100, que se invierte a una tasa de interés fija, tal
como 6% anual. Después de un año, la inversión se habrá incrementado en valor en un
6%, a $106. Si el interés es compuesto, durante el segundo año, la suma total de $
ganará un interés del 6%. Así que el valor de la inversión al término del segundo año
constará de los $106 existentes al inicio de tal año, más el 6% de $106 por concepto de
interés, así.
Año Capital Interés Monto
𝑛
𝑛
2
Durante el tercer año, el valor se incrementa en una cantidad de interés igual al 6% de
$112. 36 , lo que da un valor total al finalizar el año de
3
En general, la inversión crece por un factor de 1. 06 con cada año que pasa, de modo
que después de 𝑛 años su valor es $
𝑛
Consideremos el caso general de una inversión que crece con interés compuesto. Sea
𝑃 una suma invertida a una tasa de interés del 𝑅 por ciento anual. Luego, el interés en el
primer año es 𝑃(
𝑅
100
), de modo que el valor de la inversión después de 1 año es
en donde 𝑖 = (
𝑅
100
El interés en el segundo año será el 𝑅 por ciento de este nuevo valor, 𝑃( 1 + 𝑖):
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟é𝑠 = 𝑃
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El valor después de 2 años es
2
Observemos que cada año el valor de la inversión se multiplica por un factor de ( 1 + 𝑖)
de su valor el año previo. Después de 𝑛 años, el valor está dado por la fórmula.
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑢é𝑠 𝑛 𝑎ñ𝑜𝑠 = 𝑃( 1 + 𝑖)
𝑛
EJEMPLO 1: (Inversiones) Una suma de $200 se invierte a un interés compuesto anual
del 5%. Calcule el valor de la inversión después de 10 años.
Solución: En este caso 𝑅 = 5 𝑒 𝑖 =
𝑅
100
5
100
= 0. 05. Después de 𝑛 años, el valor de
la inversión es
𝑛
𝑛
Cuando 𝑛 = 10 , esto es
10
El valor de esta inversión es por tanto $325. 78.
En algunos casos, el interés se capitaliza más de una vez por año, por ejemplo,
semestralmente (2 veces por año), trimestralmente (4 veces por año) o mensualmente
(12 veces por año). En estos casos, el porcentaje 𝑅 de la tasa de interés anual, la cual
por lo regular se cotiza, se denomina la tasa nominal. Si se compone 𝑘 veces por año y
si la tasa de interés nominal es del 𝑅 por ciento, esto significa que la tasa de interés en
cada composición es igual al (
𝑅
𝑘
) por ciento. En 𝑛 años, el número de composiciones es
Por ejemplo, a un interés nominal del 8% 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒, una inversión se
incrementa al 2% 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑡𝑟𝑒𝑠 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠. En 5 años, habría 20 de tales composiciones.
En el caso general, sea 𝑛 = 𝑁𝑘 la cantidad de periodos de composición e 𝑖 =
𝑅
100 𝑘
la tasa
de interés (decimal) por periodo. Entonces la fórmula de interés compuesto se transforma
en:
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑢é𝑠 𝑑𝑒 𝑛 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜𝑠 = 𝑃
𝑛
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inversión que se compone 𝑘 veces por año a una tasa de interés nominal de 𝑅%.
Entonces, por definición la inversión crece por un factor de
𝑘
en un año, en donde
𝑅
100 𝑘
. Sea 𝑅
𝑒𝑓
la tasa de interés efectiva e 𝑖
𝑒𝑓
𝑅
𝑒𝑓
100
. Entonces, por definición, la
inversión crece por un factor de ( 1 + 𝑖 𝑒𝑓
) cada año, de modo que tenemos
𝑒𝑓
𝑘
lo cual permite que se calcule la tasa efectiva.
En el ejemplo 2, por ejemplo,
= 1. 0075 𝑦 𝑘 = 12. Por tanto,
𝑒𝑓
𝑘
12
De modo que 𝑅 𝑒𝑓
𝑒𝑓
= 9. 38 y tenemos una tasa de interés efectiva anual de
EJEMPLO 4: ¿Qué es mejor para un inversionista, 12% compuesto mensualmente o
12 .2% compuesto trimestralmente?
Solución: Calculamos la tasa efectiva de cada una de las dos inversiones.
Para la primera, 𝑖 = 0. 01 𝑦 𝑘 = 12 , de modo que
𝑒𝑓
𝑘
12
Para la segunda, 𝑖 = 0. 0305 𝑦 𝑘 = 4 , de modo que
𝑒𝑓
𝑘
4
La segunda tiene una mayor tasa efectiva, por lo que es la mejor de las dos.
Composición continua
En la composición continua al número 𝑘 se le permite volverse arbitrariamente grande;
decimos que k se le permite tender al infinito y escribimos esto como 𝑘 → ∞. Esto
corresponde a componer el interés un numero infinito de veces durante el año.
Examinamos la composición continua para el caso general cuando se invierte una suma
𝑃. El interés será compuesto k veces en un año a la tasa de interés nominal anual de 𝑅
por ciento. Entonces, la tasa de interés en cada composición es
𝑅
𝑘
por ciento. En cada
composición, el valor aumenta por un factor de 1 +
𝑖
𝑘
en donde 𝑖 =
𝑅
100
. Después de 𝑁
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años, durante los cuales habrán sido 𝑘𝑁 de tales composiciones, el valor será
𝑖
𝑘
𝑘𝑁
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑢é𝑠 𝑑𝑒 𝑁 𝑎ñ𝑜𝑠 = 𝑃𝑒
𝑖𝑁
EJEMPLO 5 : (Inversión) Una inversión de $250 se compone de manera continua a una
tasa nominal de interés anual de 7 .5%. ¿Cuál será el valor de la inversión después de 6
años?
Solución: Debemos utilizar la fórmula 𝑃𝑒
𝑖𝑁
para el valor después de 𝑁 años. En este
ejemplo, 𝑃 = 250 , 𝑁 = 6 𝑒 𝑖 =
- 5
100
= 0. 075. Por tanto, 𝑖𝑁 =
= 0. 45 y el valor es
𝑖𝑁
- 45
dólares
- 45
Así, el valor de la inversión después de 6 años es $392. 08.
Valor presente
Supongamos que, para continuar con cierta actividad de negocio, una persona espera
recibir cierta cantidad de dinero, 𝐹, en un tiempo 𝑛 años en el futuro. Este ingreso futuro
𝐹 tiene menos valor que el que tendría un ingreso del mismo monto recibido en el
presente, ya que, si la persona recibiese 𝐹 ahora, podría invertirlo con interés, y tendría
mayor valor que 𝐹 en 𝑛 años. Nuestro interés es encontrar la suma 𝑃 e l cual, si se recibe
en el presente y se invierte durante 𝑛 años, tendría el mismo valor que el ingreso futuro
F que la persona recibirá.
Supongamos que la tasa de interés que podría obtenerse en tal inversión es igual a 𝑅 por
ciento. Entonces, después de 𝑛 años, la suma P se habría incrementado a 𝑃( 1 + 𝑖)
𝑛
donde 𝑖 =
𝑅
100
. Haciendo esto igual a F, obtenemos la ecuación
𝑛
𝑛
Llamamos a 𝑃 valor presente del ingreso futuro 𝐹.
En el cálculo del valor presente, es necesario hacer algunas suposiciones acerca de la
tasa de interés 𝑅 que se obtendría durante los 𝑛 años. En tales circunstancias, 𝑅 se
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Otra forma
𝑛
20
20
20
20
20
EJERCICIO 8: Si $2000 se invierten a un interés compuesto anual del 6%, encuentre el
valor de la inversión después de 12 años.
Solución: 𝐹 = 𝑃
𝑛
12
12
EJERCICIO 9 : Si $ 100 se invierten a un interés compuesto anual del 8 %, calcule el valor
de la inversión después de 10 años.
Solución: 𝐹 = 𝑃
𝑛
10
10
EJERCICIO 10: Un capital de $2000 se invierte a una tasa de interés nominal anual del
12%. Calcule su valor:
a. Después de 1 año si la capitalización es mensual.
b. Después de 6 años con capitalización trimestral.
Solución a: 𝐹 = 𝑃
𝑛
12
( 100
)( 12
)
= 0. 01 , 12 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑎ñ𝑜
12
12
Solución b: 𝐹 = 𝑃
𝑛
12
( 100
)( 4
)
= 0. 03 , 4 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑎ñ𝑜
24
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EJERCICIO 11 : Encuentre la tasa de interés anual efectiva que sea equivalente a 8% de
tasa nominal con capitalización trimestral.
Solución: 1 + 𝑖 𝑒𝑓
𝑛
8
( 100
)( 4
)
𝑒𝑓
4
𝑒𝑓
𝑒𝑓
𝑒𝑓
𝑒𝑓
EJERCICIO 12 : Encuentre la tasa de interés nominal anual que corresponde a una tasa
efectiva de 12 .55% compuesta trimestralmente.
Solución: 1 + 𝑖 𝑒𝑓
𝑛
4
4
4
4
4
EJERCICIO 13 : Una suma de dinero se invierte 5 años a un interés del 3% anual y luego
4 años más a un interés del 𝑅 por ciento. Determine 𝑅 si el valor del dinero se duplica
exactamente a los 9 años.
Solución: 𝐹 = 𝑃( 1 + 𝑖)
𝑛
5
4
4
4
4
4
4
