INTERSECCIONES Y SOMBRAS, Apuntes de Geometría

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EJERCICIOS DE INTERSECCIONES Y SOMBRAS: ELEMENTOS POLIÉDRICOS por ANA GONZÁLEZ URIEL mi] CUADERNOS DEL INSTITUTO JUAN DE HERRERA DELA ESCUELADE ARQUITECTURA DE MADRID 5-75-01 EJERCICIOS DE INTERSECCIONES Y SOMBRAS: ELEMENTOS POLIÉDRICOS por ANA GONZÁLEZ URIEL CUADERNOS DEL INSTITUTO JUANDE HERRERA DELA ESCUELA DE ARQUITECTURA DE MADRID 5-75-01 / 1S EA J + EA ñ $ A O INTERSECCIÓN RECTA—PLANO Una recta y un plano siempre tienen, al menos, un punto en común: Si se CORTAN tienen un punto común (intersección) y sólo uno (*). Puede ocurrir que ese punto quede fuera de la porción de plano -o de recta- que "vemos", pero sigue existiendo, podemos hallarlo y dibujarlo si lo necesitamos. Si la recta PERTENECE al plano, entonces tienen todos sus puntos (los de la recta) en común. * Una recta paralela a un plano tiene también un punto común con él, pero en este caso ese punto es impropio, pertenece a la recta del infinito del plano. Si una recta pertenece a un plano, entonces el punto de intersección de esa recta con otro plano tiene que pertenecer a la recta común a ambos planos. En particular, si usamos un plano horizontal de referencia y la palabra traza horizontal (o TRAZA a secas) para referirnos a las intersecciones de elementos cualesquiera con ese plano de referencia, entonces: cuando una recta pertenece a un plano, la traza de la recta (que es un punto) pertenece a la traza del plano (que es una recta). La TRAZA de una RECTA es inmediata si conocemos su proyección horizontal. (Es el punto donde ambas coinciden.) La TRAZA de un PLANO resulta fácil de determinar si conocemos dos de sus rectas: debe pasar por las trazas de esas rectas. (Esto es, se trata de dibujar una recta que pasa por dos puntos.) Cualquier recta definida por su proyección directa y su proyección horizontal puede incluirse muy fácilmente en un plano vertical, cuya traza horizontal es la proyección horizontal de la recta. (Se llama también PLANO PROYECTANTE de la RECTA porque la proyecta sobre el horizontal de referencia.) Una ventaja de los planos verticales es lo fácil que resulta determinar su intersección con otros elementos, ya que la proyección horizontal de cualquier punto que pertenezca al plano vertical tiene que estar sobre su traza. ql Ñ INTERSECCIÓN DE DOS PLANOS Dos planos siempre tienen UNA RECTA común (*) Esa recta puede transcurrir por las regiones de planos que vemos o quedar fuera de ellas, Dicho de otro modo, si estamos dibujando la intersección de dos planos y uno de ellos "se termina" (deja de ser visible), entonces la recta intersección también "se termina" (íd.) * De nuevo, si los planos son paralelos, la recta común a ambos es su recta impropia o del infinito. Un plano cualquiera inclinado siempre contiene rectas horizontales (= intersección de ese plano con cualquier plano horizontal). Las rectas HORIZONTALES DE un PLANO son PARALELAS entre sí (cada una estará a una cota). Sin embargo, un plano cualquiera inclinado NO contiene rectas verticales. Sólo los planos verticales contienen rectas verticales. (La INTERSECCIÓN DE DOS PLANOS VERTICALES es necesariamente una recta yertical.) DO Para determinar la intersección de dos planos cualesquiera, que es una recta, bastará con que encontremos dos puntos de ella. Para eso: 1. Tomamos una recta de uno de los planos y hallamos su intersección con el otro. 2. Repetimos el proceso con otra recta. 2b. Alternativamente, podemos usar el punto de intersección de sus trazas, ya que la intersección de dos planos ha de pasar por la intersección de sus trazas. Otro modo de encontrar puntos de la intersección es (generalizando 2b) cortar ambos planos por un tercer plano auxiliar, generando sendas rectas que (coplanarias) se han de cortar. Usar este método tiene sentido si las intersecciones con ese plano auxiliar son fáciles de determinar, ya sea porque tengamos alguna información previa sobre ellas o porque tomemos un plano proyectante, etc. O En diédrico podemos usar la misma táctica o utilizar otros recursos, como por ejemplo un cambio de proyección en que uno de los planos quede de canto. SOMBRA DE UNA RECTA Si hacemos pasar por cada punto de una recta un rayo de luz, generamos un plano de luz (o de sombra). La intersección de este plano con otro elemento es la sombra que la recta arroja sobre ese otro elemento. Como la intersección de dos planos es una recta, la SOMBRA QUE UNA RECTA ARROJA SOBRE UN PLANO es otra RECTA. Teniendo esto en cuenta, podemos hallar la sombra que un punto de la recta arroja sobre el plano, luego la de otro, y "unirlas" (sabemos que la recta que pase por ambos puntos de sombra es la sombra arrojada que buscamos). Algunas observaciones pueden ahorramos mucho trabajo ... La sombra de una recta sobre un plano pasa por el punto de intersección de la recta con el plano. (...si ese punto de intersección es impropio...) Si una recta es paralela a un plano, la sombra que la recta arroja sobre el plano es otra recta paralela a ella. Con rayos de luz en la misma dirección (foco impropio o luz paralela): La sombra de una recta vertical sobre planos horizontales lleva la dirección de la proyección horizontal de la luz. Las sombras de dos rectas paralelas sobre cual- quier plano son también paralelas entre sí. Las sombras de una misma recta sobre planos paralelos entre sí tienen la misma dirección. De modo que rectas paralelas don sombras paralelas sobre planos paralelos. 23 24 O AFINIDAD Y SOMBRA Las figuras contenidas en un plano y su sombra sobre otro plano son afines. El eje de afinidad es la recta intersección de ambos planos. Recordemos que si conocemos dos puntos afines y el eje de afinidad podemos hallar el afín de cualquier otro punto considerando: (a) que un punto y su afín están alineados en la dirección de afinidad, y (b) que rectas afines se cortan en el eje. CONTRAPROYECCIÓN Para hallar la sombra de un sólido sobre otro a veces resulta útil recurrir a la contraproyección: . Proyectamos la sombra de ambos objetos sobre un plano horizontal de referencia. + Localizamos los puntos de intersección de las sombras arrojadas de las aristas. . Si retrocedemos, a partir de esos puntos, con la dirección de la luz, encontraremos qué partes del segundo objeto están recibiendo sombra del primero.