Estimación por Intervalos: Guía de Ejercicios y Aplicaciones, Ejercicios de Estadística

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Estimación por

intervalos

María del Pilar Alonso Reyes

UNAM

Estimación por intervalos

1.1. Estimación por intervalos

Puede suceder que la estimación puntual de un parámetro no ofrece

información completa, se puede saber la precisión del estimador, pero aun

así se requiere muchas veces una variación de la estimación del parámetro.

Para lograr esto la estimación que se propone es a través de un intervalo.

Para estimar por intervalos se encuentra precisamente un intervalo que con

una probabilidad alta (fijada previamente) incluya al verdadero parámetro

de la población.

Definición 3.1. Un intervalo de confianza es un intervalo con extremos

aleatorios que con un nivel de confianza determinado, contiene al verdadero

valor del parámetro.

Definición 3.2. El nivel de confianza es la probabilidad de que el intervalo

contenga al verdadero valor del parámetro.

Definición 3.3. El nivel de significancia es la probabilidad de que el

intervalo de confianza no contenga al verdadero valor del parámetro cuando

se ha supuesto que sí lo contiene.

Para calcular los intervalos de confianza de algún parámetro se utiliza

generalmente el método de la cantidad pivotal, el cual consiste en:

1. Dar una cantidad pivotal.

2. Proponer el nivel de confianza deseado.

3. Ese nivel de significancia sirve para que se calcule el intervalo que

incluye a la cantidad pivotal.

4. Se despeja el parámetro de tal forma que los extremos queden

aleatorios.

Es decir el intervalo de confianza se calcula como:

1 2

P q  Q  q   1 

Una cantidad pivotal Q debe cumplir las siguientes características para

serlo:

Definición 3.4. Una función de la muestra aleatoria simple y del parámetro

desconocido θ es una cantidad pivotal, pero debe cumplir que la

distribución de Q no depende de θ, debe además cumplir: i) Q debe ser una

función de la muestra aleatoria simple y del parámetro desconocido θ, ii) la

distribución de Q no debe ser función del parámetro desconocido θ y iii)

Debe ser manipulable.

El concepto de construcción repetida de intervalos permite ver que el

verdadero valor del intervalo se encuentra en los intervalos, aunque no en la

misma posición, ver figura 1.

Figura 1. Construcción de varios intervalos de confianza para el parámetro 



P a Q b

x

P a b

n

P a x b

n n

P a x b x

n n

P a x b x

n n

Recordando que la distribución normal es simétrica respecto a miu, y en

este caso miu es cero, se pueden escoger a y b de tal forma que a = -b y

contenga 1 - .

P a Q b

P b Q b

P Q b P Q b

P Q b P Q b

P Q b P Q b

P Q b

P Q b

P Q b

P Q b

P Q b

Así que b es un cuantil Normal (0,1) con probabilidad acumulada 1-/2.

Considerando eso en el intervalo de miu (1)

P a x b x 1

n n

 

 

,

se sustituye a = -b y queda el intervalo:

1

2

x b , x b ; con b N 0,

n n



 



 

al

de confianza para la media de la distribución.

1.3. Intervalo de confianza para la media,

varianza desconocida

Sea

1

n

X X

una m. a. de

 

2 2

N   , ;

desconocida y se quiere calcular un

intervalo al (1-)100% para la media ().

La cantidad pivotal que se propone es la siguiente:

 

n 1

x

Q t

S

n



El por qué se propone esta cantidad pivotal es por lo siguiente:

 

 

2

2

1

2

2

, ; m.a.

Estandarizando

i

n

i

i

x N

x N n n

x N

n

x

N

n





El problema es que la cantidad de arriba no es cantidad pivotal porque tiene

como desconocidas las variables miu y sigma cuadrada, por lo que se tiene

que quitar esa dependencia de las dos incógnitas.

 

 

 

2

2 1

(n 1) 2

2 2 1 2 1 2 1 2 1 1

n

i

i

n

n

i

i

n

n

i

i

n

x x

x

N

n

x

n

t

x x

n

x

t

x x

n n

x

t

S

n

      







Tomando esta última como la cantidad pivotal y encerrándola entre dos

números a y b con probabilidad 1- , queda:

P a Q b

x

P a b

S

n

S S

P a x b

n n

S S

P a x b x

n n

S S

P a x b x

n n

La distribución t es simétrica y se procede hacer lo mismo que en el caso de

la normal, resultando a = -b y b cuantil 1- /2 de una distribución t(n-1).

El intervalo de confianza al

de confianza para la media de la

distribución queda:

 

1

2

1

, ; con

n

S S

x b x b b t

n n







.

1.4. Intervalo de confianza para la varianza, con

media conocida

Sea

1

n

X X

una m. a. de

 

2

N   , ;

conocida y se quiere calcular un

intervalo al (1-)100% para la varianza (

2

La cantidad pivotal que se propone es la siguiente:

 

2

2 1

2

n

i

i

n

x

Q











Esta cantidad pivotal surge de:

2

2

(1)

2

2

(n)

1

i

i

n

i

i

x

N

x

x





Esta expresión se coloca en dos cantidades y se calcula su probabilidad al 1- ,

quedando:

1 2

2 1

P q Q q

P Q q P Q q

Así que q 1

es un cuantil /2 de una Ji cuadrada con n grados de libertad y q 2

es cuantil 1 - /2 de una Ji cuadrada con n grados de libertad.

Por lo que el resultado es: Intervalo de confianza al

para la

varianza de la distribución normal queda:

2 2

2 2 1 1

1 2

, 1 ,

2 1 2 2

n n

i i

i i

n n

x x

con q q

q q

 

 

   



   

   

 

.

1.5. Intervalo de confianza para la varianza, con

media desconocida

Sea

1

n

X X

una m. a. de

 

2

N   , ;

desconocida y se quiere calcular un

intervalo al (1-)100% para la varianza (

2

La cantidad pivotal que se propone es la siguiente:

 

2

2 1

2 1

n

i

i

n

x x

Q 







Esta cantidad pivotal surge de:

2

2

(1)

2

2

(n)

1

2 2

2

1 1

2 2 2

2

2

(1) 2

2

2 1

(n 1) 2

i

i

n

i

i

n n

i i

i i

n

i

i

x

N

x

x

x x x

x

n

Donde

x

n

x x



 







 



Esta expresión se coloca en dos cantidades y se calcula su probabilidad al 1- ,

quedando:

1 2

2

1

1 2 2

1 2

2

2 2

1 1

2 2

1 2 1

2 1

n

i

i

n n

i i

i i

n n

i i

i i

P q Q q

x x

P q q

q q

P

x x x x

x x x x

P

q q



 

 



 

 

1.6. Intervalo de confianza para la diferencia de

medias de dos poblaciones, las dos varianzas

conocidas

Sea

1

1

n

X X

una m. a. de

 1  1

2 2

1

N  ,  ;

conocida y

2

1

n

Y Y

una m. a. de

 2  2

2 2

2

N  ,  ;

conocida se quiere calcular un intervalo al (1-)100% para la

diferencia de medias ( 1

2

Calculando la cantidad pivotal,

 

2 2

1 2 1 2

2 2

1 2

1 2

1 2

1 2

2 2

1 2

1 2

X Y N

x y N

n n

x y

N

n n

Calculando la probabilidad con esta cantidad pivotal queda:

1 2

2 2

1 2

1 2

2 2 2 2

1 2 1 2

1 2

1 2 1 2

2 2 2 2

1 2 1 2

1 2

1 2 1 2

P b Q b

x y

P b b

n n

P b x y b x y

n n n n

P x y b x y b

n n n n

Así que el intervalo de confianza para la diferencia de medias al

de confianza es:

2 2 2 2

1 2 1 2

1 2 1 2

x y b , x y b

n n n n

   

Donde

1

2

b N 0,





1.7. Intervalo de confianza para la diferencia de

medias de dos poblaciones, las dos varianzas

desconocidas

Se resolverá el caso más general, pero se supone que las varianzas son

desconocidas pero iguales.

Sea

1

1

n

X X

una m. a. de

 

2 2

1

N  ,  ;

desconocida y

2

1

n

Y Y

una m. a. de

 

2 2

2

N  ,  ;

desconocida se quiere calcular un intervalo al (1-)100% para

la diferencia de medias ( 1

2

Calculando la cantidad pivotal,

 

2 2

1 2

2 2

1 2

1 2

1 2

2 2

1 2

X Y N

x y N

n n

x y

N

n n

El problema es que no es una cantidad pivotal, ya que el denominador es

desconocido.

 

 

   

   

   

   

 

1 2

1 2 1 2

1 2

2 2

1 1

1 2 1 2

2 2 2 2

1 1 1 1

1 2

1 2 1 2 1 2 1 2

1

1

1 1

2

1 1 1 1

1

2 2

n n

i j

i j

n n n n

i j i j

i j i j

P b Q b

x y

P b b

x x y y

n n n n

x x y y x x y y

P b x y b x y

n n n n n n n n

P



 



  

 

   

    

 

 

 

 

  

      

 

  

 

 



 

 

 

 

       

 

            

 

   

 

 

 

       

1 2 1 2

2 2 2 2

1 1 1 1

1 2

1 2 1 2 1 2 1 2

1 1 1 1

1

2 2

n n n n

i j i j

i j i j

x x y y x x y y

x y b x y b

n n n n n n n n

  

   

 

       

 

          

 

   

 

 

 

Así que el intervalo de confianza para la diferencia de medias al

de confianza es:

 

 

1 2 1 2

2 2 2 2

1 1 1 1

1 2 1 2 1 2 1 2

n n n n

i j i j

i j i j

x x y y x x y y

x y b x y b

n n n n n n n n

   

   

con

 

1 2

1

2

n n 2

b t





 

.

1.8. Intervalo de confianza para el cociente de

varianzas con medias desconocidas

Sea

1

1

n

X X

una m. a. de

 

2

1 1

N  ,

desconocida y

2

1

n

Y Y

una m. a. de

 

2

2 2

N  ,

se quiere calcular un intervalo al (1-)100% para el cociente de

varianzas

2

2

2

1





Calculando la cantidad pivotal,

1

1

2

2 1

(n 1) 2

n

i

i

x x







 

2

2

2

1 2

(n 1) 2

n

j

j

y y







 

1

1 1 2

2

1

2

1

1

1, 1

2

1

2

2

2

n

i

i

n n n

i

i

x x

n

F

x x

n



 







 

 

 

 

 

1

2 1 2

1

2 1 2

1 2

2

1

2

1

1

1, 1

2 1 2 2 2 2 1 2

2 1

2 1, 1

2

1

1

2

2 2

2

2 2 1, 1

1

n

i

i

n n n

j

j

n

i

i

n n n

j

j

x

n n

y

x x

n

F

y y

n

x x

n

F

y y

n

S

F

S



 





 



 







