¡Descarga Intervalos, Desigualdades y Valor Absoluto: Conceptos y Ejercicios Resueltos y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
INTERVALOS, DESIGUALDADES Y VALOR ABSOLUTO
INTERVALOS
Los Intervalos son una herramienta matemática que se utiliza para delimitar un conjunto determinado de números reales. Por ejemplo el intervalo [-5,3] describe el conjunto de números reales que se encuentran entre -5 y 3. {-5,… -4,99… ,…, -4,9 ,………, 2,9… , 2,99… , 3}
TIPOS DE INTERVALOS
- Intervalo abierto: este tipo de intervalo como es abierto por ambos lados no se incluye “a” y “b” en el conjunto de números que delimita. 䙦ᡓ, ᡔ䙧 Notación de intervalo 䙨ᡶ‵ᡄ/ ᡓ 㐇 ᡶ 㐇 ᡔ䙩 Notación de conjunto Gráfica del intervalo
Ejemplo: 䙦㎘3,7䙧 Notación de intervalo 䙨ᡶ‵ᡄ/ ㎘3 㐇 ᡶ 㐇 7䙩 Notación de conjunto. En este caso, el conjunto que se delimita no incluye los números -3 y 7 porque se trata de un intervalo abierto por ambos lados Gráfica del intervalo
- Intervalo Cerrado: este tipo de intervalo como es cerrado por ambos lados incluye “a” y “b” en el conjunto de números que delimita. 䙰ᡓ, ᡔ䙱 Notación de intervalo 䙨ᡶ‵ᡄ/ ᡓ 㐉 ᡶ 㐉 ᡔ䙩 Notación de conjunto Gráfica del intervalo
Ejemplo: 䙰㎘4,8䙱 Notación de intervalo 䙨ᡶ‵ᡄ/ ㎘4 㐉 ᡶ 㐉 8䙩 Notación de conjunto. En este caso, el conjunto que se delimita incluye los números -4 y 8 porque se trata de un intervalo cerrado por ambos lados Gráfica del intervalo
- Intervalo Abierto por la derecha: este tipo de intervalo como es cerrado por el lado izquierdo incluye “a” y como es abierto por el lado derecho no incluye “b” en el conjunto que delimita. 䙰ᡓ, ᡔ䙧 Notación de intervalo
Ejemplo 䙦㎘1,12䙱 Notación de intervalo 䙨ᡶ‵ᡄ/ ㎘1 㐇 ᡶ 㐉 12䙩 Notación de conjunto En este caso, el conjunto que se delimita no incluye el número -1 por ser abierto por la izquierda pero incluye el número 12 por ser cerrado por la derecha. Gráfica del intervalo
- Intervalo cerrado por la izquierda hacia +∞ : este tipo de intervalo como es cerrado por el lado izquierdo incluye “a” y es abierto por el lado derecho hacia infinito positivo. 䙰ᡓ, ㎗∞䙧 Notación de intervalo 䙨ᡶ‵ᡄ/ ᡶ 㐐 ᡓ䙩 Notación de conjunto Gráfica del intervalo
Ejemplo 䙰㎘5, ㎗∞䙧 Notación de intervalo 䙨ᡶ‵ᡄ/ ᡶ 㐐 ㎘5䙩 Notación de conjunto En este caso, el conjunto que se delimita incluye el número -5 por ser cerrado por la izquierda hasta infinito positivo. Gráfica del intervalo
- Intervalo abierto por la izquierda hacia +∞ : este tipo de intervalo como es abierto por el lado izquierdo no incluye “a” y es abierto por el lado derecho hacia infinito positivo. 䙦ᡓ, ㎗∞䙧 Notación de intervalo 䙨ᡶ‵ᡄ/ ᡶ 㐈 ᡓ䙩 Notación de conjunto Gráfica del intervalo
Ejemplo 䙦9, ㎗∞䙧 Notación de intervalo 䙨ᡶ‵ᡄ/ ᡶ 㐈 9䙩 Notación de conjunto En este caso, el conjunto que se delimita no incluye el número 9 por ser abierto por la izquierda hasta infinito positivo. Gráfica del intervalo
- Intervalo cerrado por la derecha hacia -∞ : este tipo de intervalo es abierto por el lado izquierdo hacia infinito negativo y como es cerrado por el lado derecho incluye “b”. 䙦㎘∞, ᡔ䙱 Notación de intervalo
Ejemplo Notación de intervalo Notación de conjunto En este caso, el conjunto que se delimita no incluye el número 20 por ser abierto por la derecha hasta infinito negativo.
Gráfica del intervalo
DESIGUALDADES
Una desigualdad es una desigualdad. Los signos de desigualdad son:
no es igual < menor que
mayor que menor o igual que mayor o igual que
Ejemplos de desigualdades:
a) b) c)
Notación de intervalo Notación de conjunto En este caso, el conjunto que se delimita no incluye el número 20 por ser abierto por la derecha hasta infinito negativo.
Una desigualdad es una expresión matemática que contiene un signo de desigualdad. Los signos de desigualdad son:
Ejemplos de desigualdades:
c) d) e)
En este caso, el conjunto que se delimita no incluye el número 20 por ser abierto
matemática que contiene un signo de
Una desigualdad que tiene variable se llama inecuación.
INECUACIONES
Una inecuación es una desigualdad en la que hay una o más cantidades desconocidas (incógnitas) y que sólo se verifica (o demuestra) para determinados valores de las incógnitas. Las inecuaciones también se conocen como desigualdades de condición.
Ejemplos de inecuaciones
a) 6ᡶ ㎗ 20 㐐 5 ㎘ 3ᡶ ㎘ 16 b) ⡰⡱ ᡶ ㎗ 20 㐉 ㎘ ⡰⡳ ㎘ 2ᡶ c) ㎘ ⡩⡱ ᡶ ㎘ 13 㐇 ㎘ ⡴⡳ ᡶ ㎘ 6
d) ⡶⡱ ᡶ 㐈 ㎘ ⡰⡳ ᡶ ㎘ 4
Para resolver una inecuación deben encontrarse los valores de las incógnitas que satisfagan la inecuación.
Ejemplo 1: hallar el intervalo solución de la inecuación ᡶ ㎗ 2 㐈 5
ᡶ ㎗ 2 㐈 5 ᡶ 㐈 5 ㎘ 2 Organizar términos, variables en la izquierda y números a la derecha ᡶ 㐈 3 Intervalo solución en forma de conjunto Por lo tanto el intervalo solución es 䙦3, ㎗∞䙧
Ejemplo 2: hallar el intervalo solución de la inecuación 4ᡶ ㎘ 5 㐇 11 ㎗ ᡶ 4ᡶ ㎘ 5 㐇 11 ㎗ ᡶ 4ᡶ ㎘ ᡶ 㐇 11 ㎗ 5 Organizar términos, variables en la izquierda y números a la derecha.
䙦㎘1䙧 (^) ㎘ ᡶ 㐉 (^) ⡩⡨⡵ 䙦㎘1䙧 Como el término de la variable es negativo -x multiplicamos en ambos lados por (-1) y le damos la vuelta a la desigualdad ≤.
ᡶ 㐉 ㎘ (^) ⡩⡨⡵ Intervalo solución en forma de conjunto
Por lo tanto el intervalo solución es 䙦㎘∞, – (^) ⡩⡨⡵䙱
Ejemplo 5: hallar el intervalo solución de ⡱⡰ ᡶ ㎗ ⡩⡰ 㐐 ⡰⡱ ᡶ ㎘ ⡩⡲ ⡱ ⡰ ᡶ ㎗^
⡩ ⡰ 㐐^
⡰ ⡱ ᡶ ㎘^
⡩ ⡲ ⡱⡰ ᡶ ㎘ ⡰⡱ ᡶ 㐐 ㎘ ⡩⡰ ㎘ ⡩⡲ Organizar términos, variables en la izquierda y números a la derecha.
⡷け⡹⡲け ⡴ 㐐^
⡹⡰⡹⡲ ⡶ Operaciones con fracciones en ambos lados de la inecuación ⡳け⡴ 㐐 ⡹⡴⡶ Reducción de términos semejantes en ambos lados
⡳け ⡴ 㐐^
⡹⡱ ⡲ Simplificando la fracción 5ᡶ 㐐 ⡹⡱⡲ ᒙ 䙦6䙧 Despejar x, como el 6 está dividiendo pasa a multiplicar
5ᡶ ᒙ 䙦4䙧 㐐 ㎘3 ᒙ 䙦6䙧 Como el 4 está dividiendo pasa a multiplicar 20ᡶ 㐐 ㎘18 Como el 20 está multiplicando pasa a dividir
ᡶ 㐐 ㎘ ⡩⡶⡰⡨ Simplificando la fracción
ᡶ 㐐 ㎘ (^) ⡩⡨⡷ Intervalo solución en forma de conjunto
Por lo tanto el intervalo solución es 䙰– (^) ⡩⡨⡷ , ㎗∞䙧
VALOR ABSOLUTO
Definición: Si ”a” es un número real, el valor absoluto de “a” que se expresa como |ᡓ|^ se define como:
PROPIEDADES
A continuación se describen algunas propiedades de valor absoluto que se utilizan para resolver ecuaciones e inecuaciones de las formas:
- Ecuaciones de la forma |ᡶ ㎙ ᡓ| 㐄 ᡔ
- Inecuaciones de la forma |ᡶ ㎙ ᡓ| 㐉 ᡔ
- Propiedad |ᡶ| 㐄 |㎘ᡶ| Ejemplo 1: |7| 㐄 |㎘7| 㐄 7 Ejemplo 2: |25| 㐄 |㎘25| 㐄 25 Ejemplo 3: |125| 㐄 |㎘125| 㐄 125
Esta propiedad la utilizamos para resolver ecuaciones de la forma |ᡶ ㎙ ᡓ| 㐄 ᡔ siendo ᡔ 㐐 0.
Ejemplo 1: hallar los valores de x si |2ᡶ ㎘ 7| 㐄 5 Aplicando la primera propiedad planteamos que |2ᡶ ㎘ 7| 㐄 |5| 㐄 |㎘5|. Esto significa que: 2ᡶ ㎘ 7 㐄 5 o 2ᡶ ㎘ 7 㐄 ㎘
Resolviendo la primera ecuación con + 2ᡶ ㎘ 7 㐄 5 2ᡶ 㐄 5 ㎗ 7 2ᡶ 㐄 12 ᡶ 㐄 6
- Propiedad |ᡶ ㎙ ᡓ| 㐉 ᡔ ᡷ ᡔ 㐐 0 sí y solo sí ᡓ ㎘ ᡔ 㐉 ᡶ 㐉 ᡓ ㎗ ᡔ Como ᡔ 㐐 0 ᡷ |ᡶ| 㐉 ᡔ , entonces ㎘ᡔ 㐉 ᡶ 㐉 ᡔ
Ejemplo1: resolver la inecuación |ᡶ ㎘ 3| 㐉 2 |ᡶ ㎘ 3| 㐉 2 ㎘2 㐉 ᡶ ㎘ 3 㐉 2 Aplicando: como ᡔ 㐐 0 ᡷ |ᡶ| 㐉 ᡔ , entonces ㎘ᡔ 㐉 ᡶ 㐉 ᡔ. En este caso, como 2 㐐 0 ᡷ |ᡶ| 㐉 2 , entonces ㎘2 㐉 ᡶ 㐉 2 ㎘2 ㎗ 3 㐉 ᡶ 㐉 2 ㎗ 3 Despejar x, el -3 pasa a sumar a ambos lados aplicando ᡓ ㎘ ᡔ 㐉 ᡶ 㐉 ᡓ ㎗ ᡔ 1 㐉 ᡶ 㐉 5 Intervalo solución en forma de conjunto
Por lo tanto el intervalo solución es: 䙰1,5䙱
Ejemplo 2: resolver la inecuación |2ᡶ ㎗ 7| 㐇 9 |2ᡶ ㎗ 7| 㐇 9 ㎘9 㐇 2ᡶ ㎗ 7 㐇 9 Aplicando: como ᡔ 㐐 0 ᡷ |ᡶ| 㐉 ᡔ , entonces ㎘ᡔ 㐉 ᡶ 㐉 ᡔ. En este caso, como 9 㐐 0 ᡷ |ᡶ| 㐉 9 , entonces ㎘9 㐉 ᡶ 㐉 9 ㎘9 ㎘ 7 㐇 2ᡶ 㐇 9 ㎘ 7 Despejar x, el +7 pasa a restar a ambos lados aplicando ᡓ ㎘ ᡔ 㐉 ᡶ 㐉 ᡓ ㎗ ᡔ ㎘16 㐇 2ᡶ 㐇 2 Despejar x, el 2 pasa a dividir a ambos lados
㎘ ⡩⡴⡰ 㐇 ᡶ 㐇 ⡰⡰ Simplificar fracciones en ambos lados cuando sea posible
㎘8 㐇 ᡶ 㐇 1 Intervalo solución en forma de conjunto
Por lo tanto el intervalo solución es: 䙦㎘8,1䙧
- Propiedad |ᡶ ㎙ ᡓ| 㐐 ᡔ ᡷ ᡔ 㐐 0 sí y solo sí ᡶ 㐉 ᡓ ㎘ ᡔ ᡧ ᡶ 㐐 ᡓ ㎗ ᡔ
Ejemplo 1: resolver la inecuación |3ᡶ ㎘ 7| 㐈 8 Aplicando ᡶ 㐉 ᡓ ㎘ ᡔ ᡧ ᡶ 㐐 ᡓ ㎗ ᡔ se obtiene: 3ᡶ ㎘ 7 㐈 8 ᡧ 3ᡶ ㎘ 7 㐇 ㎘ Solución de primera inecuación 3ᡶ ㎘ 7 㐈 8 3ᡶ 㐈 8 ㎗ 7 3ᡶ 㐈 15 Despejar x, pasamos el 3 a dividir
ᡶ 㐈 ⡩⡳⡱
ᡶ 㐈 5 Primera solución
Solución de la segunda inecuación 3ᡶ ㎘ 7 㐇 ㎘ 3ᡶ 㐇 ㎘8 ㎗ 7 3ᡶ 㐈 ㎘1 Despejar x, pasamos el 3 a dividir
ᡶ 㐇 ㎘ ⡩⡱ Segunda solución
Por lo tanto la solución completa es: 䙦5, ㎗∞䙧^ ᔕ 䙦㎘∞, ㎘ ⡩⡱䙧
Ejemplo 2: resolver la inecuación |2ᡶ ㎗ 1| 㐐 2 Aplicando ᡶ 㐉 ᡓ ㎘ ᡔ ᡧ ᡶ 㐐 ᡓ ㎗ ᡔ se obtiene: 2ᡶ ㎗ 1 㐐 2 ᡧ 2ᡶ ㎗ 1 㐉 ㎘
