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República Bolivariana De Venezuela
Ministerio Del Poder Popular Para La Defensa
Universidad Nacional Experimental Politécnica
De La Fuerza Armada Nacional Bolivariana
Unefa Miranda Extensión Ocumare Del Tuy
Carrera Bachiller Cédula de Identidad
Jean Gracia V 22530725
Ing. Sistemas Andrea Marsella V 22771951
Cuarto Semestre Mariela La Font V 28015089
Lógica matemática
Nos permite reconocer la valides de una argumentación o de algún tipo de
razonamiento.
Proposición
UNIDAD
I:
introducc
Es una unidad semántica que, o solo es verdadera o sólo es falsa.
5 es un numero par
Juan aprueba el curso de nivelación
Emilia fue presidente del curso
Brasil gano la final de la copa mundial de fútbol del 2002
En el momento en el que tengamos oraciones que no podamos catalogar como
verdadero o falso, que presente imprecisión o carezcan de sentido la denominaremos:
No proposiciones
Ayúdame, por favor = Petición
¿Cómo te llamas? = Una pregunta
¡Auxilio! = Exclamación
El color verde esta alegre = oración sin sentido
x + 3 = 5 = Esta ecuación, no es una proposición porque va a depender de los
valores que tenga x
Simbolización
Son conectores lógicos, sirven para unir dos o más proposiciones.
Conectores lógicos Símbolos no lógicos Símbolos auxiliares
Negador: ¬ Letras enunciativas: p Paréntesis:
Conjuntor: ∧ q […]
Disyuntor: ∨ r {...}
Condicional: → s
Equivaledor: ↔ t
Reglas de inferencia y demostración lógica
Son aquellas que le dan validez sensata a un buen argumento.
Modus Ponens (MP)
- P v Q
2) ¬P
3) Q
- P v Q
2) ¬Q
3) P
Esta regla nos dice que, si una disyunción de dos proposiciones es verdadera, y una
de las proposiciones es falsa, entonces la otra proposición es verdadera.
Dilema Constructivo (DC)
Si P implica Q y R implica S, entonces si P o R es verdadera, se deduce que, o
bien Q o S es verdadera.
Forma lógica:
1. (P → Q) ^ (R → S)
- P v R
- Q v S
El dilema constructivo es la versión disyuntiva del modus ponens.
Dilema Destructivo (DD)
Si P implica Q, y R implica S, y, o bien Q es falsa o S es falsa; entonces o P es falsa
o R es falsa.
Forma lógica:
1. (P → Q) ^ (R → S)
- ¬Q v ¬S
- ¬P v ¬ R
El dilema destructivo es la versión disyuntiva del modus tollens y establece que, si
dos condicionales son verdaderos, pero uno de sus consecuentes es falso, entonces uno
de sus antecedentes tiene que ser falso.
Conjunción (Conj.)
Si P es cierta y Q es cierta, entonces la conjunción “P y Q” también es cierta.
Forma lógica:
1) P
2) Q
3) P ^ Q
Sencillo, si de manera aislada dos proposiciones son verdaderas, entonces su
conjunción también lo es.
Simplificación (Simp.)
Si la conjunción de P y Q es cierta, entonces P es cierta y Q es cierta.
Forma lógica:
1. P ^ Q
2. P
3. P ^ Q
4. Q
Para que un conjunto como P^Q sea cierto, P y Q deben ser ciertas. Así que la
simplificación nos permite concluir de P^Q que P es cierta y que Q es cierta.
Absorción (Ab.)
Si P implica Q, entonces P implica P y Q.
Forma lógica:
- P → Q
- P → (P ^ Q)
Por medio de esta regla P es “absorbida” por el término Q en la consecuencia.
Adición (Ad)
Si P es verdadera, entonces su conjunción con cualquier otro enunciado también
será cierta.
Forma lógica:
1) P
- P v Q
Lógica Proposicional
Es una rama de la lógica clásica que estudia las variables proposicionales o
sentencias lógicas, sus posibles implicaciones, evaluaciones de verdad y en algunos casos
su nivel absoluto de verdad.
No es verdad que p q: Juan juega fútbol
1 0
No se da que p ¬q: No es cierto que Juan juegue fútbol
Nota: Toma en cuenta que si p es falso su negación seria verdadero y si p es verdadero su
negación seria falso.
Conjunción : se va a representar de esta forma (p ∧ q) p y q/p en conjunción con q.
Estructura: donde la más importante es la (y)
p y q p tal como q
p pero q p no obstante q
p q
p ∧
q
p más q p aunque q
p sin embargo q p a la vez que q
p también q p a pesar de q 1 0 0
p además q Signos de puntuación: 1 1 1
Nota: Cuando las proposiciones sean verdaderas el resultado de la conjunción también lo
será, si en la table se encuentra un valor falso, directamente la conjunción toma valores
falsos.
Ejemplo: Lo primero que debemos hacer es encontrar las proposiciones que
intervienen en esta situación. Y luego tomar en cuenta el término que se está usando para
representar la conjunción.
“Juan juega futbol y toma clases de música”
p: Juan juega futbol
q: Juan toma clases de música
Disyunción : (p ∨ q) Al momento de hacer la traducción simplemente debemos
encontrar la o
p ∧ q
Nota: Presenta
tres valores donde es verdadero, tendrá una característica importante si la disyunción es
falsa es porque sus proposiciones también lo son.
Disyunción exclusiva : (p ⊻ q)
Nota: Si los valores de las proposiciones son distintos la disyunción exclusiva es verdadera.
Por otro lado, si los valores de verdad son iguales la disyunción directamente es falsa.
Condicional: (p → q) consta con más de 20 estructuras para hacer la traducción,
ten en cuenta que acá si va a ser importante el orden de las proposiciones.
→
(p q)
Estructur
a: Ejemplo:
"Juan juega futbol o toma
clases de música"
p q p ∨ q
p o q 0 1 1
p: Juan juega fútbol 1 0 1
q: Juan toma clases de
música
La traducción correcta
seria:
p ∨ q
Estructura: Ejemplo:
p q p ⊻ q "O Juan juega fútbol o toma clases
de música" O p o q 0 0 0
p o solo q 0 1 1
p o solamente q 1 0 1 p: Juan juega fútbol
1 1 0 q: Juan toma clases de música
La traducción correcta seria:
p ⊻ q
Ya que Carlos estudia, aprueba el examen
Carlos aprueba el examen debido a que estudia
Carlos aprueba el examen siempre que estudie
Cuando Carlos estudia, aprueba el examen
Puesto que Carlos estudia, aprueba el examen
Los conectores que hemos usado representan la misma proposición.
Variaciones de la condicional
Original : p → q
Si Carlos estudia, entonces aprueba el examen
Recíproca : q → p
Si Carlos aprueba el examen, entonces estudia
Inversa : ¬ p → ¬ q
Si Carlos no estudia, entonces no aprueba el examen
Contrarrecíproca : ¬ q → ¬ p
Si Carlos no aprueba el examen, entonces no estudia
Teniendo en cuenta que en principio tenemos una condicional original, que
representa p implica q = p → q.
La reciproca invierte el orden del antecedente con el consecuente = q → p,
en la inversa abría que negar tanto el antecedente como el consecuente = ¬ p → ¬ q,
y en la contrarrecíproca se niegan las dos situaciones y se cambian de posición = ¬ q → ¬
p.
Bicondicional: ( p ↔ q) Esta se presenta de forma detallada.
Estructura: Ejemplo:
p q p ↔ q "Carlos se va de viaje si y solo
si aprueba el examen" p si y solo si q 0 0 1
p si y solamente si q 0 1 0
p cuando y solo cuando q 1 0 0 p: Carlos se va de viaje
p implica q y q implica p 1 1 1 q: Carlos aprueba el examen
La traducción correcta seria: p ↔ q
Bicondicional/Disyunción exclusiva
p q p ↔ q p ⊻ q
0 0 1 0 ¬ p ↔ q = p ⊻ q
1 0 0 1 ¬ p ⊻ q = p ↔ q
Para terminar, vamos a comparar estos dos operadores, por un lado, tenemos la
tabla del bicondicional y por el otro la tabla de la disyunción exclusiva, si comparamos los
valores de verdad, son valores contrarios en cada una de las posiciones. Entonces
podemos sacar una conclusión.
La negación del bicondicional es la disyunción exclusiva = ¬ p ↔ q = p ⊻ q
Y la negación de la disyunción exclusiva es una bicondicional = ¬ p ⊻ q = p ↔ q
Razonamientos válidos
Lo que a la lógica le interesa es la validez formal de estos razonamientos, es decir,
la relación que se establece entre las premisas y la conclusión. La validez de un
razonamiento es independiente de la verdad o falsedad de sus premisas y su conclusión.
