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RUNGE KUTTA DE ORDEN 4 PARA SISTEMAS APLICADO A CIRCUITOS ELECTRICOS
Ecuación Diferencial Aplicada a un Circuito Eléctrico tipo RLC de 2º Orden
Ejemplo:
Considere un circuito RLC con R=50ohms(Ω), L=0.1henry(H) y C=5×10−4farad(F). En
el tiempo t=0, cuando tanto I(0) como Q (0) son cero, el circuito se conecta a un generador
de corriente alterna de 110Volts,60Hz. Encuéntrese la corriente en el circuito.
Hallar la corriente I(1). Considere h=
Circuito Eléctrico RLC conectado en serie
Donde, los elementos mostrados son:
- Un resistor con una resistencia R ohms
- Un inductor con una inductancia de L henries,
- Un capacitor con una capacitancia de C faradios,
- Una fuente de Corriente Alterna que suministra un voltaje E(t)de 110 V
a 60 Hz, en el
tiempo t.
Elementos del
circuito
Símbolo Caída de Voltaje(representación
diferencial)
Valores
Inductor L
100 mH
Resistor R iR 50 Ω
Capacitor C
500 μF
Fuente de corriente
alterna
E(t) Voltaje suministrado en el tiempo t 110 V a
60Hz
La Ecuación Diferencial que representa un circuito RLC conectado en serie.
Todos los elementos del Circuito RLC de este ejemplo están conectados en serie
con la fuerza Electromotriz que suministra el voltaje de E(t) en el tiempo xt, como
lo muestra la Figura 1. Si el interruptor mostrado en la Figura 1, se cierra, esto
provoca una corriente I(t) en amperes en el circuito y una carga Q(t) en coulombs
en el capacitor en el tiempo t. La relación entre las funciones I y Q es:
La corriente eléctrica o intensidad eléctrica es el flujo de carga (eléctrica) por
unidad de tiempo que recorre un material.
Esta relación se deriva de la relación entre la corriente y la carga crecientes, que se
obtienen de la experimentación.
Para modelar matemáticamente el circuito de la Figura 1 , utilizamos una de las
leyes de Kirchoff - la aplicada a mallas-, las cuales se basan en la conservación de la
energía y la carga aplicada a circuitos eléctricos.
Ley de Kirchoff (mallas)
La suma (algebraica) de las caídas de voltaje a través de los elementos en una
malla cerrada de un circuito eléctrico es igual al voltaje aplicado.
Ecuación Diferencial para un circuito eléctrico mixto RLC
De modo que, sumando las caídas de voltaje e igualándolas al voltaje de la fuente
de corriente alterna, tenemos:
Podemos notar que si sustituimos las ecuaciones (1) y (2), para tener solo una
función como incógnita (digamos QQ), obtenemos:
2
2
Esto sería igual a:
2
2
Si tomamos:
𝑅
𝐿
𝑋
𝐿𝐶
𝐼( 0 ) = 0 = Y (0) Q (0) = 0 = X (0)
l 1
= g(x n
, y n
, z n
) = y = 0
k 2
= f(x n
/2, z n
/2) = f(1/2, 4147/2, 0/2)
50
- 1
4147
2
𝑋
- 1 ∗ 5 ∗ 10
− 4
110 𝐶𝑜𝑠( 377 𝑡)
1
5 ∗ 10
− 1
5 ∗ 10
− 5
l 2 = g(xn + h/2, yn + k 1 /2, zn + l 1 /2) = g(1/2, 4147/2, 0)
k 3 = f(xn + h/2, yn + k 2 /2, zn + l 2 /2) = f(1/2, - 1042603 /2, 2073.5/2)
50
- 1
− 1042603
2
5 ∗ 10
− 1
5 ∗ 10
− 5
l 3
= g(x n
/2, z n
/2) = g(1/2, - 1042603 /2, 2073.52)
k 4
= f(x n
, z n
) = f(1, 260644897 , - 52 1301.5)
50
- 1
1
5 ∗ 10
− 5
l 4 = h · g(xn + h, yn + k 3 , zn + l 3 ) = g(1, 260644897 , - 52 1301.5)
k = 1/6 · (k 1 + 2 · k 2 + 2 · k 3 + k 4 )
K = - 21633875936.
l = 1/6 · (l 1
I = 43267740.
X 1 = x 0 + h = 1
Y 1 = y 0 + k = - 21633875936.
Y’
1
=Z
1
= z 0
POR LO TANTO:
I (1) = - 21633875936.
