Procesos Estocásticos: Tipos, Características y Ejemplos, Diapositivas de Procesos Estocásticos

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PROCESOS – ESTOCÁSTICOS

ING. PAMELA CASTRO

Introducción

• En las comunicaciones, el procesamiento de señales se realiza con

modelos matemáticos

• Deterministas
• Estocásticos
• Es determinista: si no hay incertidumbre en su comportamiento a

través del tiempo.

• Un modelo estocástico: su comportamiento a través del tiempo esta

descrito en términos probabilísticos

Definición

• Proceso estocástico o aleatorio PE
  • Conjunto o familia de funciones de

tiempo, descritas en un espacio

muestral S.

• Un PE se denota por X(t,S) siendo

t la variable de tiempo

S el espacio muestral de la variable

aleatoria observada

Definición

• Para un evento particular 𝑠

∈ 𝑆, un proceso estocástico define una

función temporal 𝑋

= 𝑋 𝑡

= 𝑋(𝑡

, 𝑆), asociada a una función de

densidad 𝑓𝑥

(𝑥

, 𝑡

)

• PE esta descrito en un espacio muestral S, su notación será

simplemente 𝑋 𝑡

• Se hace referencia a un proceso estocástico indistintamente de

variables de tiempo continuo o discreto

Tipos de procesos estocásticos

SED

SEC

PED

PED

Ejemplo

• Cadena SED

SEC

PED

PEC

PEC

SEC

PED

SED

SEC

Resultado de tomar muestras de

amplitud en instantes de tiempo

discretos

PEC

SEC

PED

SED

SED

Resultado de aproximar las

amplitudes a niveles discretos de

amplitud

Caracterización de procesos estocásticos

• Para un instante de tiempo 𝑡

, el PE 𝑋 𝑡 define la variable aleatoria

𝑋

caracterizada de densidad de primer orden

• Para dos instantes de tiempo 𝑡

y 𝑡

, el PE 𝑋 𝑡 define dos variables

aleatorias 𝑋

y 𝑋

caracterizada de densidad de segundo orden

• Para caracterizar completamente PE 𝑋 𝑡 , se define una función de

densidad de orden 𝑛

Que caracterizan a las variables aleatorias

Definidas en los instantes de tiempo

1

1

1

2

1

2

1

2

1

2 ,…

𝑛

1

2

ሶ 𝐽

𝑛

𝑖

1

2 ,…

𝑛

1

2 ,…

𝑛

Procesos estocásticos independientes

• Dos PE son estadísticamente 𝑋 𝑡 y Y 𝑡 independientes si las v.a.

definidas en los instantes de tiempo son estadísticamente

independientes de las v.a. definidas en los instantes de tiempo

esto es

1

2 ,…

𝑛

1

2 ,…

𝑚

1

2 ,…

𝑛

1

2 ,…

𝑚

1

2 ,…

𝑛

1

2 …

𝑚

1

2 …

n

1

2

𝑚

1

2 ,…

𝑛

1

2 …

n

1

2 …

𝑚

1

2

𝑚

Características Estadísticas – Función de

Medias

Se define:

• Para un PE 𝑋 𝑡
• • Para un SE 𝑋 𝑛

−∞

∞

−∞

∞

Características Estadísticas – Función de Auto

correlación

• Esta función define la relación que existe entre las variables 𝑋

y 𝑋

definidas en los instantes del proceso 𝑋 𝑡. Así,

dado un PE 𝑋 𝑡 , la función de autocorrelación se define como

Para un SE 𝑋 𝑛

𝑡 1

, 𝑦 𝑡 2

Funciones de Correlación Cruzada

• Dados los procesos 𝑋 𝑡 y Y 𝑡 , las funciones de correlación cruzada

se definen como

y

𝑅𝑋𝑌 𝑡, 𝑡 + 𝜏 = 𝐸 𝑋 𝑡 𝑌 𝑡 + 𝜏

𝑅𝑌𝑋 𝑡, 𝑡 + 𝜏 = 𝐸 𝑌 𝑡 𝑋 𝑡 + 𝜏

Funciones de Correlación Cruzada - Matriz de

Correlación

• Dados los procesos 𝑋 𝑡 y Y 𝑡 , la matriz de correlación R se define

como la representación matricial de las funciones de autocorrelación

y correlación cruzada, así