Introducción régimen sinusoidal, Diapositivas de Sistemas Eléctricos

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TEMA 3 ELEMENTOS DE PROBABILIDAD

Pablo Buenestado

Curso 2020-2021 Otoño

Departamento de Matemáticas (UPC)

PROBABILIDAD

Índice

1 PROBABILIDAD

Introducción Ideas básicas Combinación de eventos Eventos mutuamente excluyentes Probabilidades Axiomas de la probabilidad Espacios muestrales con resultados igualmente probables Regla de la suma Probabilidad condicional e independencia Eventos independientes La regla de la multiplicación Ley de la probabilidad total Regla de Bayes Métodos de conteo Permutaciones Combinaciones

PROBABILIDAD Ideas básicas Probabilidad condicional e independencia Métodos de conteo

El desarrollo de la teoría de la probabilidad fue financiada por apostadores en el siglo XVII, quienes contrataron a algunos matemáticos famosos para que calculasen la probabilidad correcta de ciertos juegos de azar.

Con el tiempo, la gente se dio cuenta de que los procesos científicos también son azarosos y desde entonces se han empleado métodos de probabilidad para estudiar el entorno físico.

Actualmente, la probabilidad constituye una gran rama de las matemáticas. Existen muchos libros al respecto y numerosos investigadores han dedicado bastante de su tiempo con el propósito de ampliar su desarrollo.

En este tema se presenta una introducción de los conceptos de probabilidad más relevantes para el estudio de la estadística.

PROBABILIDAD Ideas básicas Probabilidad condicional e independencia Métodos de conteo

Esquema

1 PROBABILIDAD

Introducción Ideas básicas Combinación de eventos Eventos mutuamente excluyentes Probabilidades Axiomas de la probabilidad Espacios muestrales con resultados igualmente probables Regla de la suma Probabilidad condicional e independencia Eventos independientes La regla de la multiplicación Ley de la probabilidad total Regla de Bayes Métodos de conteo Permutaciones Combinaciones

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Ejemplos de espacios muestrales finitos:

Al lanzar al aire una moneda se puede utilizar el conjunto {”cara”, ”cruz”} como el espacio muestral.

Al lanzar un dado de seis caras se puede usar al conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

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Algunos experimentos tienen espacios muestrales con un número infinito de resultados:

Por ejemplo, imaginemos que un buril^1 con diámetro de 10 mm hace perforaciones en una lámina de metal. Debido a las variaciones en el ángulo de la perforación y a los pequeños movimientos en la lámina de metal, los diámetros de los agujeros varían entre 10 y 10.2 mm.

Por tanto, para el experimento de perforación sería razonable un espacio muestral que esté en el intervalo (10.0, 10.2), o en notación de conjuntos, {x| 10. 0 < x < 10. 2 }. Obviamente, este conjunto contiene un número infinito de resultados.

(^1) Instrumento usado principalmente por los grabadores para grabar metales o piedra que consiste en una barra prismática fina y puntiaguda de acero.(Punzón)

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Con frecuencia, al estudiar experimentos, se está interesado en un subconjunto particular de resultados.

Por ejemplo, se puede tener interés en la probabilidad de que un dado caiga en un número par. El espacio muestral para el experimento es {1, 2, 3, 4, 5, 6} y el correspondiente a que caiga en un número par es el subconjunto {2, 4, 6}.

En el ejemplo del buril usado para perforar, se puede tener interés en la probabilidad de que un hueco tenga un diámetro menor a 10.1 mm. Esto último corresponde al subconjunto {x| 10. 0 < x < 10. 1 }.

Existe un nombre especial para el subconjunto de un espacio muestral:

Definición

Un subconjunto de un espacio muestral se denomina evento o suceso.

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Observemos que para cualquier espacio muestral, el conjunto vacío ∅ es un evento, como lo es todo el espacio muestral.

Se dice que un evento ocurrió si el resultado del experimento es alguno de los resultados en el evento.

Por ejemplo, si un dado cae en el número 2, habrán ocurrido los eventos {2, 4, 6} y {1, 2, 3}, junto con cualquier otro evento que contenga el resultado ”2”.

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Solución

Un buen espacio muestral es el conjunto de pares ordenados en el que el primer elemento representa la resistencia del primer resistor (primera caja) y el segundo elemento constituye la del segundo resistor (segunda caja).

Así, el espacio muestral S es:

S = {(9, 18), (9, 19), (9, 20), (9, 21), (10, 18), (10, 19), (10, 20), (10, 21),

(11, 18), (11, 19), (11, 20), (11, 21), (12, 18), (12, 19), (12, 20), (12, 21)}

Los eventos A, B y C están dados por:

A = {(11, 18), (11, 19), (11, 20), (11, 21), (12, 18), (12, 19), (12, 20), (12, 21)}

B = {(9, 18), (10, 18), (11, 18), (12, 18)} C = {(9, 19), (10, 18)}

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Combinación de eventos

Con frecuencia se construyen eventos mediante la combinación de eventos más sencillos. Debido a que aquéllos son subconjuntos de espacios muestrales, es usual emplear la notación de conjuntos para describir los eventos construidos de esta forma. A continuación se repasará la notación necesaria.

La unión de dos eventos A y B, se denota por A ∪ B, es el conjunto de resultados que pertenecen ya sea a A o B, o a ambos. Esto es, A ∪ B significa ”A o B”. Por tanto, el evento A ∪ B se presenta siempre que ocurre A o B (o ambos). La intersección de dos eventos A y B se denota como A ∩ B; es decir, constituye el conjunto de resultados que pertenece tanto a A como a B. Por consecuencia, A ∩ B significa ”A y B”. Por consiguiente, el evento A ∩ B se presenta siempre que A y B ocurren. El complemento o complementario de un evento A se denota por Ac (o A¯), es el conjunto de resultados que no pertenecen a A. Es decir, Ac^ significa ”no A”. Por consiguiente, el evento Ac^ se presenta siempre que no ocurra A.

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Ejemplo (Continuación)

A partir de los eventos definidos en el ejemplo de los resistores, determinemos B ∪ C

Solución

El evento B ∪ C contiene todos los resultados que pertenecen a B o a C, o a ambos. Por tanto,

B ∪ C = {(9, 18), (10, 18), (11, 18), (12, 18), (9, 19)}

Observemos que el suceso (10, 18) forma parte tanto de B como de C y en la unión B ∪ C lo especificamos una sola vez.

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Ejemplo (Continuación)

A partir de los eventos definidos en el ejemplo de los resistores, determinemos A ∩ Bc

Solución

El evento Bc^ contiene los resultados en el espacio muestral que no pertenecen a B.

Bc^ = {(9, 19), (9, 20), (9, 21), (10, 19), (10, 20), (10, 21),

(11, 19), (11, 20), (11, 21), (12, 19), (12, 20), (12, 21)}

De ahí, el evento A ∩ Bc^ contiene los resultados que pertenecen a A y no pertenecen a B. Por consiguiente,

A ∩ Bc^ = {(11, 19), (11, 20), (11, 21), (12, 19), (12, 20), (12, 21)}

PROBABILIDAD Ideas básicas Probabilidad condicional e independencia Métodos de conteo

El diagrama de Venn de la figura muestra los eventos A y B mutuamente excluyentes.

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Ejemplo (Continuación)

A partir de los eventos definidos en el ejemplo de los resistores, si se realiza el experimento, ¿es posible que los eventos A y B ocurran al mismo tiempo?

¿Qué pasa con B y C? ¿A y C?

¿Qué par de eventos es mutuamente excluyente?

Solución

Si el resultado es (11, 18) o (12, 18), entonces tanto el evento A como el B ocurren.

Si el resultado es (10, 18), entonces ocurren los eventos B y C.

Es imposible que ocurran al mismo tiempo A y C, ya que estos eventos son mutuamente excluyentes al no tener ningún resultado en común.