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Análisis de Circuitos. 1º Ing. Telecomunicación
4-
1.- Redes Eléctricas. Leyes de Kirchhoff. Elementos de Circuito2.- Métodos de Análisis de Circuitos Eléctricos3.- Elementos reactivos. Respuesta transitoria4.- Régimen Permanente Sinusoidal
4.1.- Conceptos fundamentales: definición de amplitud, fase, frecuencia, valor eficaz4.2.- Respuesta de un circuito ante una excitación sinusoidal4.3.- Formalismo de fasores. Impedancia y admitancia.4.4.- Métodos de análisis y teoremas en el régimen sinusoidal estacionario4.5.- Función de transferencia en el dominio de la frecuencia. Diagrama de Bode.4.6.- Análisis de Fourier. Concepto de filtro.4.7.- Potencia en el régimen sinusoidal permanente. Potencia activa y reactiva. Factorde potencia4.8.- Acoplamiento magnético: transformador lineal.
5.- Análisis de Circuitos basado en la Transformada de Laplace6.- Cuadripolos
Tema 4
Análisis de Circuitos. 1º Ing. Telecomunicación
4-
4.1.- Conceptos fundamentales: amplitud, fase, frecuencia, valoreficaz
Estudiamos en este tema los circuitos en condiciones AC: excitaciones sinusoidales
aplicadas desde un tiempo suficientemente largo para que se haya alcanzado el régimenpermanente o estacionario ¾
Importancia de estas señales: cualquier señal periódica puede descomponerse como
superposición de señales sinusoidales
)
cos(
) (
=
t
X
t x^
m
m
= Amplitud
-^
= frecuencia angular.
f, con f = frecuencia. T = periodo
-^
= fase inicial o fase en el origen
f
T
(^
)
(^
)^
(^
) ϕ
ω
ϕ
ω
t T t t x T t
x^
cos
cos
(^
)'
sin
sin
cos(
⎛^ ⎜ ⎝
t X t X t X t
x^
m
m
m
Análisis de Circuitos. 1º Ing. Telecomunicación
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4.3.- Formalismo de Fasores. Impedancia y admitancia
- Fasores complejos: Oliver Heaviside (1850 – 1925). Idea básica:
)
sin(
)
cos(
) (
=
t
jX
t
X
t x^
m
m
)
cos(
) ( 1
=
t
X
t x^
m
)
sin(
) ( 2
=
t
X
t x^
m
) (
) (
) (^
2
1
t
jy
t y
t y^
) = ( t 1 y
) ( t 2 y
)
(
) (
ϕ ω +
=
t j m
e X
t x
- Formalismo: En lugar de una onda seno o coseno, aplicamos una entrada compleja deltipo
. Obtenemos una salida
. Como
- En general, el origen de fases se puede elegir como
= 0, pero si ya se ha elegido nula
para una magnitud, la fase de las demás nos dará el desfase relativo con respecto a ella.
)
(
)
sin(
)
cos(
) (
ϕ ω ϕ ω ϕ ω
m
m
e X
t
jX
t
X
t x
)
(
) (
θ ω +
=
t j m
e Y
t y
{
}
{
}^
)
sin(
) (
Im , )
cos(
) (
Re
=
=
t Y t y t Y t
y^
m
m
Nos quedamos con la parte real de la salida si la entrada era de tipo coseno, o con la parteimaginaria de la salida si la entrada era de tipo seno
Análisis de Circuitos. 1º Ing. Telecomunicación
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jω
t^ es común a todas las magnitudes,
separamos la parte temporal del resto:
φ j
m
e
X
X
= ~
(^
)^
⇒
=
=
+^
t j
t j m
e X e X t x
ω
φ ω
~
) (
: Fasor complejo definido por suamplitud y su fase
a) Resistor:b) Condensador:c) Inductor:
t j m t j m
e R I R t i t v e I t i
ω
ω^
R t i
t v^
) ( ~ ) ( ~
=
RI
V
V
V
I
I^
m
m
= ⇒ = = t j m
e V
t v
ω
= ) ( ~
t v C j t i e
CV
j
vd dt
C
t
i^
t j m
ω
ω
ω^
= ⇒ = = t j
m^
e
I
t
i
ω
t i L j t v e
LI
j
id dt
L
t
v^
t j m
ω^
- Impedancia: Relación entre los fasores tensión y corriente de un bloque de dos terminales
~ I
~ V
V^ I
Z
I V
Z
Y
V
C
j
CV
j
I
V
V
m
m
I
L
j
LI
j
V
I
I^
m
m
Análisis de Circuitos. 1º Ing. Telecomunicación
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4.4.- Métodos de análisis y teoremas en el régimen sinusoidalestacionario
Procedimiento de análisis:1)
Si las fuentes independientes son de distintas frecuencias, se aplica el principio desuperposición, seleccionando las de una misma frecuencia y anulando las demás
Si las fuentes independientes son de la misma frecuencia, se asigna un fasor a cadafuente. La fase de una de las fuentes puede elegirse cero, y la de las demás sería eldesfase con respecto a la fuente de referencia
Se representa cada elemento por su impedancia a la frecuencia dada
la tensión y la
corriente resultan así proporcionales
Se plantean las ecuaciones del circuito, que resultan ser algebraicas
Se resuelven las ecuaciones, obteniendo los fasores para las magnitudes de salida
A partir de los fasores de salida, se obtienen las dependencias temporales
Se repite para cada frecuencia, sumando las respuestas
en el dominio del tiempo
(^
)^
(^
) φ
ω
ω
φ^
t Y t y e Y Y X X t X t x
m
j m
m
m
sin
sin
- Ejemplo:• En el contexto de líneas eléctricas o sistemas eléctricos (motores, ...):
ϕ
ϕ^
j m
j
rms
e
X
e
X
X
(^
)^
(^
) φ
ω
ω
φ^
t Y t y e Y Y X X X t X t x
m
j
rms
m
rms
m
sin
sin
Análisis de Circuitos. 1º Ing. Telecomunicación
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- Al haber llegado a una relación de proporcionalidad entre la tensión que soportacualquier elemento y la corriente que lo atraviesa en el dominio de los fasores complejos,todos los teoremas y métodos que hemos aplicado en condiciones de corriente continuason igualmente aplicables en el régimen sinusoidal estacionario (asociaciones deimpedancias, teoremas de Thèvenin y Norton, métodos de análisis de las corrientes en lasmallas y las tensiones en los nudos, etc...)Ejemplo: Cálculo de v
o^
en el circuito de la figura con v
s^
= V
m
cos
t
vo L
C
R
Vs
vo Z
Z
Vs
2
1 2
ω^ ω
jL LC
jL
C j
jL C j
jL
C j
Z
R
Z
2
1
2
Z
Z
Z
V
V
s
o
(^
)^
jL R
LC
jL R
V
jL
LC
R
jL
V
jL LC
R
jL LC
V
V
s
s
s
o
2
2
2 2
(^
)^
−
2
1
2
2 2
tan
2
L R^ LC
L R
LC
L R
V
V
V
V
m
o
m
s
Análisis de Circuitos. 1º Ing. Telecomunicación
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4.5.- Función de transferencia en el dominio de la frecuencia.Diagrama de Bode
Definida una fuente externa como variable de entrada y otra magnitud (tensión o corriente)
como variable de salida, la relación entre los fasores de salida y entrada, a la frecuencia dada,será un número complejo. Si cambia la frecuencia de la fuente de entrada, cambiará el valorde ese número
Definimos la función de transferencia como la relación entre los fasores de
salida y de entrada en función de la frecuencia de la entrada
~ X
~ Y
Y X
T
~ ~
) (^
= ω (^
) T
X
T
X^
j m
j
j m^
e X T Y e T T e X X
ϕ ϕ
ϕ
ϕ
ω
ω
ω
=
⇒
=
=
) ( ~ ) ( ) ( , ~
C
R
Vs
vo
L
R
Vs
vo
Ejemplos:
RC
j
C
j
R
C
j
V V
T
o S
L R
L R j j
jL
R
jL
V V
T
o S
~ ~^1
Análisis de Circuitos. 1º Ing. Telecomunicación
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- Diagrama de Bode: Conjunto de dos gráficos en los que se representan el módulo y la fase de lafunción de transferencia, con las siguientes características:
1) Se usa escala logarítmica para el eje de abscisas
se representa el logaritmo decimal
de la frecuencia: log(f) o log(
). Su unidad es la “década”.
2) También se representa el módulo de la función de transferencia en escala logarítmica.Su unidad es el decibelio:
Y^ X
T
T
dB
log
log
(^
ω
ω
out^ in
dB
P P
T
log
(^
ω
si la función de transferencia se definecomo cociente de señales
si la función de transferencia se definecomo cociente de potencias
( )
log 20
dB
T
Y X
(^
)^
dB
T
Y X
dB
log 20
(^
)^
dB
T
Y X
dB
log 20
(^
)^
dB
T
Y X
dB
log 20
(^
)^
dB
T
Y X
dB
log 20
Atenuación
Amplificación
Análisis de Circuitos. 1º Ing. Telecomunicación
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-10 -20 -30 -40 -50 - 1E-3^0
0,
0,
1
10
100
1000
log(
ω/
ωc
)
|T| (dB)
1E-
0,
0,
1
10
100
1000
log(
ω/
ωc
)
(^2) / π Fase (rad)^0
Ejemplo 2:
L
R
Vs
vo
C C
o S
j j
V V
T
(^
con
R L
C^
(^0) ⎣ ⎦ 1 1
(^
C C
C
j j
T
C
C
C C
C^
j
j j
T
⎢^ ⎢⎣
j j
T
C
log 20
T
T
ϕ
ω
(^
)^
(^
)^
log 20
log 20 ) (
log 20
T
C
T
(^
)^
log 20
) (
log 20
T
dB
T
(recta de pendiente +20 dB/década)
Respuestapaso alta
Análisis de Circuitos. 1º Ing. Telecomunicación
2 4-
. 0
δ
1
δ
1 2
δ
(^2). 0 = δ 1 = δ
1 2
δ
(^0) π −
0,
0,
1
10
100
-20 -40 -60 - 20 0
log(
ω/
ω^0
)
|T| (dB)
0,
0,
1
10
100
log(
ω/
ω^0
)
Fase (rad)
Ejemplo 3:
L
R
Vs
C
vo
RC
j
LC
C
j
jL
R
C
j
V V
T
O S
2
0
(^220)
0
j
T
C L
R
LC
⎣^ 0 ⎦ 1 1 ) (
0
ω
ω
ω
T
⎣^
⎦
2 0 2
2 0 2
0
(^
T
(^
)^
(^
)
log 40
log 40 ) (
log 20
0
T
(Recta de pendiente -40 dB/década)
max
(^220) 2
2 (^220)
ω ω ω
ω ω δ
ω ω
ω
T d d
T
max
max
T
2
max
2
0
max
δ
δ
δ
ω
ω
δ^
<^
T
Frecuencia de resonancia
Análisis de Circuitos. 1º Ing. Telecomunicación
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4.6.- Análisis de Fourier. Concepto de Filtro“
Cualquier señal periódica puede descomponerse como una serie de funciones sinusoidales” • Si x(t) es una señal periódica de periodo T, tal que x(t+T) = x(t)
∞ ∑=
1
0
sin(
(^
n
n
n^
t n X t x t x
T
f
T
f
π
π
ω
0
0
0
A las componentes sinusoidales se les llama armónicos de la señal, y al primero de ellos,con frecuencia f
0
igual que la de la señal x(t) se le llama armónico fundamental.
- Otras formas de expresar el mismo resultado:
∑
∑
∞ =
∞ =
1
0
1
0
cos(
sin(
(^
n
n
n
n^
t n B t n A t x t x
0
(^
0
n n j n n n
jn n^
C C e C C t x C e C t
x^
n^
−
∞ ∑−∞=
φ
ω
⎡^ ⎢⎣
sin(
sin(
sin( )
sin(
(^
0
0
0
0
t t t t X t
x^
m
0
1 x 10
1.5^1 0.5^0 -0.5 -1 -1.
(^1) = n
3 ≤ n 5 ≤ n
7 ≤ n
Análisis de Circuitos. 1º Ing. Telecomunicación
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- Filtro: Circuito que actúa de forma selectiva sobre las distintas componentes armónicas de unaseñal, según sea su frecuencia. Puede ser:
a) Paso bajab) Paso altac) Paso bandad) Elimina banda
C
R
Vs
vo
C
o S
j
V V
T
(^
con
RC
C
∞ ∑=
=
1
0
)
sin(
) (^
n
n
n
S^
t
n
V
t v
Aplicamos el principio de superposición: Si suponemos que sólo actúa el armónico n-ésimo,
−
C n C n j n C j n
on
n
V n
e V n j e V n T V
n
n
φ
φ^
0 1 2 0 2 0 0
tan
(^
)^
−
∞ =
∞ =
∑
∑
C
n
n
n
n
C n
n
on
o
n
con
t
n
V n
t
v
t
v
0
1
0
1
2 0
2
1
tan
sin
Señal periódica,no armónica
Análisis de Circuitos. 1º Ing. Telecomunicación
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4.7.- Potencia en el régimen sinusoidal permanente. Potencia activay reactiva. Factor de potencia
- Potencia instantánea:• Potencia media o activa:
(^
t v t i t p
T
dt
t v t i T t p P
0
cos(
cos(
cos(
cos(
θ ω ω θ ω ω
t t V I t p t I t i t V t
v^
m m
m
m
[^
] θ ω ω θ ω
sin)
sin()
cos(
cos)
cos
(^
2
t t t V I t
p^
m m^
θ
cos
(^
m
VIm
t
p
cos rms
rms
V I
P
=
cos
= Factor de potencia
(^
) V I S e I I V V
Si
j
rms
rms
−
θ
Definimos el fasor Potencia Aparente:
θ
θ^
j
rms
rms
j m m^
e V I e V I S V I S
sin()
cos(
cos
(^2)
t
t
t
ω
ω
ω
Potencia activa:Potencia reactiva:
[^
]
θ
cos
Re
rms rms
V
I
S
P
[^
]
θ
sin
Im
rms
rms
V
I
S
Q
- Resistor:• Condensador:• Inductor:
Q
V
I
P
rms rms
rms rms
V
I
Q
P
π^2
rms rms
V
I
Q
P
π^2
Análisis de Circuitos. 1º Ing. Telecomunicación
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4.7.- Acoplamiento magnético. Transformador lineal• Existe acoplamiento magnético entre dos o más inductores que comparten un núcleo común:la corriente que circula por uno de ellos genera un campo magnético en el interior del núcleo. Siel flujo de ese campo magnético es variable en el tiempo, induce una diferencia de potencial enlos demás inductores• El elemento resultante del acoplamiento de dos o más inductores se llama transformador• El transformador es lineal si las características de su núcleo no dependen del valor del campomagnético que fluye en su interior• Modelo:
−
−
1 v
2 v
i^^1
i^2
1 L
2 L
M
di dt M
di dt L
v
di dt M
di dt L
v
1
2
2
2
2
1 1
1
=
=
2 1
k
L
L
k
M
Transformador sin pérdidas de flujo: k = 1
1
2
2
2
2
1
1
1
~
~
~
~
~
~
I
jM
I
jL
V
I
jM
I
jL
V
=
=
2
(^2221)
2 1
n
N N
L^ L
