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Resumen IPC
1° Parcial
Lección N°1: “El reconocimiento de argumentos”
Argumento:
1. Es un fragmento del lenguaje, ya sea escrito u oral → Pero no todo fragmento del
lenguaje es un argumento
2. Es un conjunto de enunciados → Pero no todo conjunto de enunciados es un
argumento
Enunciados: Son oraciones que pueden afirmar o negar, es decir, evaluarse en términos
veritativos (V o F). Las oraciones que hacen afirmaciones o negaciones son enunciados, los que
no, son oraciones declarativas (preguntas, favores, ordenes, etc.)
Algunos ejemplos de enunciados son: Mary Shelley es la escritora de Frankenstein – La raíz
cuadrada de 4 es 2 – El 10% de la población es zurda
3. Es un conjunto de enunciados que mantienen una estructura → Premisas y
conclusiones
Premisas: Conjunto de enunciados que se ofrecen como razones → Las premisas
sostienen, abonan, establecen o dan razones a favor de la conclusión
Conclusión: Es una oración a favor de la cual se argumenta y es única → Puede aparecer
en cualquier lado del argumento.
Indicadores de premisas y conclusión:
Indicadores de premisas Indicadores de conclusión
Dado que…
Puesto que…
Porque…
Pues…
En primer lugar…, En segundo lugar…
Además…
Se puede inferir del hecho…
Debido a…
Teniendo en cuenta que…
Atendiendo a…
En efecto…
Luego…
Por lo tanto…
Por consiguiente…
En consecuencia…
Concluyo que…
Podemos inferir…
Se sigue que…
Queda demostrado entonces que…
Lo cual prueba que…
Lo cual justifica…
Consecuentemente…
4. Un argumento es un conjunto de proposiciones
Proposiciones → La distinción entre el soporte material de una oración de lo que afirman →
Son las expresiones, el significado de la oración
A lgunas oraciones pueden tener una sucesión de palabras diferente y aun así tener el mismo
significado/expresión, como también pueden tener una sucesión de palabras parecidas y tener
significado diferente → Una oración puede expresar dos proposiciones diferentes
Uso y mención de expresiones
Una palabra o conjunto de palabras es USADA cuando se la usa para referirse a algo
extralingüístico, es decir, fuera del lenguaje (una persona, un lugar)
Cuando se usa las palabras para referirse a ellas mismas, se las MENCIONA (suelen
tener “” y cursiva)
Lección N°2: Tipos de enunciados
Los enunciados se pueden clasificar en:
Enunciados Simples Enunciados complejos
Aquellos que no tienen expresiones lógicas , ni se
pueden descomponer en otros enunciados
Aquellos que constituyen una combinación de
enunciados a través de las expresiones lógicas
Ej.: Plutón es un planeta. Ej.: Plutón , marte y saturno son planetas. Por lo
tanto, Plutón es un planeta
Misma proposición:
Barbara McClintock hizo importantes aportes a la
practica
Importantes aportes a la genética fueron hechos
por Barbara McClintock
Diferente proposición:
Los aportes de Barbara McClintock a la genética fueron importantes para
descifrar el ADN, pero fue James Watson quien recibió el premio nobel
Los aportes de Barbara McClintock a la genética fueron importantes para
descifrar el ADN, y junto con James Watson recibieron el premio nobel
En resumen, la noción del argumento seria:
“Un argumento es un conjunto de enunciados en donde alguno o algunos de
ellos se esgrimen como razón a favor del otro, que pretende ser así
establecida. A los primeros se los llama premisas; a los últimos conclusión”
A B A y B
Verdadera Falsa Verdadera
Verdadera Verdadera Verdadera
Falsa Verdadera Verdadera
Falsa Falsa Falsa
Disyunciones exclusivas:
- Afirma que uno de los dos es verdadero, pero es imposible que los dos lo sean (o es
una o es otra) → Usa la expresión O BIEN/ O
- Solo es verdadera cuando uno es falso y el otro verdadero
Ej. : O bien Stephen Hawking está vivo o bien está muerto
A B A y B
Verdadera Falsa Verdadera
Verdadera Verdadera Falsa
Falsa Verdadera Verdadera
Falsa Falsa Falsa
Condicionales
Son aquellas en las que una oración condiciona a la otra. No se afirma ni se compromete,
simplemente que existe una relación entre ambas oraciones → Usa las expresiones SI –
ENTONCES – O SI
Si A entonces B / A B / Antecedente Consecuente
Condiciones suficientes
- Afirma que hay una condición, pero que no es necesaria para que ocurra la
característica
- Usa las expresiones: SI – ENTONCES – PARA – BASTA QUE – ES SUFICIENTE
- Introduce al ANTECEDENTE (Si → Antecedente)
- Solamente es falso cuando el antecedente es verdadero y consecuente falso
Ej. Si un tsunami azota Buenos Aires, la ciudad se inunda
Condiciones necesarias
- Es necesario que ocurra la proposición para que la condición suceda
- Usa las expresiones: SOLO SI – SOLAMENTE SI – UNICAMENTE SI – ES CONDICION
NECESARIA QUE
- Introducen al CONSECUENTE (Solo si → Consecuente)
- Al igual que en las suficientes, solamente es falso cuando el antecedente es verdadero
y el consecuente falso
Ej. Buenos Aires se inunda solo si es azotada por un tsunami
Tabla de verdad de condiciones suficientes y necesarias
A B A y B
Verdadero Falso Falso
Verdadero Verdadero Verdadero
Falso Verdadero Verdadero
Falso Falso Verdadero
Bicondicionales
Es una relación condicional que va en ambos sentidos: es tanto necesaria como suficiente
- Usan la expresión: SI Y SOLO SI – SIEMPRE Y CUANDO
- A B : Se condicionan (Para que pase A tiene que pasar B y viceversa)
- Solamente son verdaderas cuando ambas oraciones son verdaderas o ambas son
falsas
Ej. Buenos Aires se inunda siempre y cuando sea azotada por un tsunami
A B A y B
Verdadero Falso Falso
Verdadero Verdadero Verdadero
Falso Verdadero Falso
Falso Falso Verdadero
Negaciones
Al negar una oración, no es posible combinarla con otra oración (Aunque las negaciones no
son oraciones simples)
- Simplemente afirman que no es el caso que ocurra algo
- Se usan las expresiones: ES FALSO QUE – NO – NO ES CIERTO QUE – NADIE – DES, IN
- El valor de la verdad depende de la oración que se esta siendo negada. Si se niega
algo verdadero, entonces la oración es falsa. Pero si se niega algo falso, la oración es
verdadera.
Ej. No es cierto que Marte este habitado
A No A
1 Verdadera Falsa
2 Falsa Verdadera
*en este caso A es el
antecedente y B es
el consecuente
Tautologías
- Son oraciones verdaderas en cualquier circunstancia, son necesariamente verdaderas
- Son verdaderas, no por su contenido, sino por su estructura lógica (expresiones
lógicas) → Nunca son falsas
Ej. Camila aprobó o no aprobó IPC – Llueve o no llueve → Lógicamente es verdadero, porque
no es posible que llueva y no llueva
Contradicciones
- Son oraciones falsas en cualquier circunstancia, son necesariamente falsas
- Son negaciones de las tautologías, por lo tanto, siempre van a ser falsas
Ej. Llueve y no llueve – Es de dia y es de noche – No es cierto que Camila aprobó o no aprobó
Lección N°3: “Los argumentos deductivos y su evaluación”
Argumentos deductivos
➔ Ofrecen premisas concluyentes a favor de la conclusión
➔ La conclusión se sigue necesariamente de las premisas
➔ Tiene una formalidad, el vinculo entre premisa y conclusión está asociada a que tienen
una estructura, esta estructura garantiza que, si las premisas serian verdaderas, la
conclusión también lo seria.
➔ Dentro de los argumentos deductivos existen los argumentos validos e inválidos
Argumentos validos
- Si las premisas son verdaderas, la conclusión también es verdadera → Es imposible
que las premisas sean V y la conclusión F
- Los argumentos deductivos o validos preservan la verdad de premisas a conclusión
- Las oraciones pueden ser V o F → Se le llama un argumento “solido” a una oración
que tenga todas sus premisas y conclusión verdaderas.
- La validez de los argumentos es garantizada por las reglas de inferencia
Premisas V V F F
conclusión V F V F
Reglas de inferencia
1. MODUS PONENS
Es condicional: Es falso si el antecedente es V y su consecuente F
Si está lloviendo, te espero dentro del teatro.
Está lloviendo.
Por lo tanto, te espero dentro del teatro
2. MODUS TOLLENS
Es condicional
Si apruebo entonces hago una fiesta
No hice una fiesta.
Por lo tanto, no aprobé.
3. SILOGISMO HIPOTETICO
Es condicional
Si estudio mucho aprobare el examen
Si apruebo el examen, hago una fiesta
Por lo tanto, si estudio mucho hago una fiesta
4. SIMPLIFICACION
Es conjunción : Ambos tienen que ser V para que sea V
Camila desaprobó ICSE e IPC
Por lo tanto, Camila desaprobó IPC
5. ADJUNCION
Es conjunción
Camila desaprobó ICSE
Camila desaprobó IPC
Por lo tanto, Camila desaprobó ICSE e IPC
6. SILOGISMO DISYUNTIVO
Es disyunción: para que sea V, uno tiene que ser V y otro F
Miramos Netflix o vamos al cine
No vamos al cine.
Por lo tanto, miramos Netflix
7. INSTACIACION DEL UNIVERSAL
Es universal: V cuando todos cumplen la prop y F cuando uno no
Todos los argentinos nacieron en América
Camila es argentina
Por lo tanto, Camila nació en América
Lo que se hace es suponer que lo que se quiere probar no es el caso y se intenta llegar a una
contradicción aplicando reglas de inferencia → Se agrega un supuesto/premisa (C) y se hace la
negación (No C) → Si se llega a la contradicción, entonces el supuesto C es falso
Es decir, se hacen los mismos pasos que en la deducción, pero a las premisas se le agrega un
supuesto provisional negando a la conclusión que se quería llegar
Ej. Se quiere probar → “No estamos en verano” teniendo las premisas:
- Si estamos en verano hay humedad
- Si estamos en verano no hay humedad _1. Si estamos en verano hay humedad (premisa)
- Si estamos en verano no hay humedad (premisa)_ **_3. Estamos en verano Supuesto provisional (negación de “no estamos en verano”
- Hay humedad (Modus ponens entre 1 y 3)
- No hay humedad (Modus Ponens entre 2 y 3)
- Hay humedad y no hay humedad (Adjunción entre 4 y 5)_**
Esto prueba de que se llegó a una contradicción, por lo tanto, negamos el supuesto (estamos
en verano) y llegamos a la conclusión de que “No estamos en verano” → Es valido
Lección N°4: “Los argumentos inductivos y su evaluación”
Argumentos inductivos
Las premisas no ofrecen un apoyo absoluto a la conclusión sino un apoyo parcial
Por su forma son inválidos → La verdad de las premisas no garantizan la verdad de la
conclusión
Aunque no se evalúan según su validez sino por el grado de su fortaleza →
Argumentos buenos o malos – Fuertes o débiles
Para evaluarlos es necesario tener en cuenta su contenido
La conclusión no se sigue necesariamente de las premisas
Tipos de argumentos inductivos:
➢ Por analogía
A partir de la comparación de algunos casos respecto a ciertas propiedades, concluir que
son similares también en otra propiedad → Es decir, se basa en establecer similitudes
entre distintas cosas, eventos, propiedades y a partir de esas similitudes, concluir que
también son similares en otra propiedad
La mosca es un insecto y tiene alas
El mosquito es un insecto y tiene alas
La cucaracha es un insecto
Por lo tanto, la cucaracha tiene alas
Criterios de evaluación (más fuerte o débil)
1. La relevancia de las propiedades: La propiedad o característica que utilizo para
establecer la similitud tiene que ser relevante con relación a la propiedad que quiero
inferir
Ej: “Que me tome el colectivo 60 y tardare 40 minutos en ir a la facultad” es más
relevante que “me tome un café y tardare 40 minutos en ir a la facultad” porque el “me
tome un café” es más subjetivo.
2. La cantidad de propiedades relevantes → Cuanto + cantidad de propiedades + fuerte
es
3. La cantidad de casos observados → Cuanto + casos + fuerte es
Ej de casos observados: “Ayer me tome el 60 y tarde 40 minutos” menos fuerte que
“Durante un mes tome el 60 y tarde 40 minutos”
➢ Por enumeración incompleta
La información disponible en las premisas se usa para generalizar en la conclusión a
partir de ellas → Es decir, a partir de una serie de casos generaliza a todos los
miembros de ese conjunto
Criterios de evaluación
1. Representatividad de la muestra: Agregando mas casos la muestra se vuelve mas
representativa
Evaluar si esa cantidad de casos observados es representativa respecto a la
clase sobre la cual queremos establecer la conclusión
Depende la relación entre la cantidad de casos y el tamaño total de la muestra
Por Ej: Camila tiene un jardín y una huerta
Martin tiene un jardín y una huerta
Santiago tiene un jardín y una huerta
Todas las personas que tienen un jardín tienen una huerta
➢ Por silogismo inductivo
Una de las premisas presenta una generalización estadística y luego se presenta un
caso que tiene una de estas propiedades estadísticas, para concluir que ese caso
cumple con lo establecido por la generalización.
El canguro es un mamífero y amamanta
El perro es un mamífero y amamanta
El gato es un mamífero y amamanta
Por lo tanto, todos los mamíferos
amamantan
Para que sea mas fuerte el argumento
se podría agregar “ La gente que tiene
un Jardín y hacen un curso de
agricultura tienen una huerta”
Entonces el argumento se vuelve más
representativo y no tan amplio
- Se aplicaba una matemática concreta en situaciones concretas de la vida cotidiana y
para resolver problemas específicos
Geometría griega
- Son los creadores de la ciencia → Forma de especulación racional sobre la naturaleza
(ya no dan explicaciones de los fenómenos naturales a través de elementos míticos o
sobrenaturales)
- Adquirieron un carácter más abstracto y mayor generalización
- En los griegos aparece la organización del conocimiento matemático en un sistema
(teoría) que se demostraban a través de la aplicación de los métodos deductivos.
- Tales de Mileto fue uno de los primeros en usar el método deductivo en la geometría
(es decir, que podía justificar un enunciado a partir de otros enunciados conocidos)
- Lo que hizo tales de Mileto no fue la resolución de problemas específicos sino el
tratamiento general de esos problemas → Gracias a esto pudo formular y aplicar
propiedades de carácter general (Es decir, si antes se resolvía la suma de los lados
midiendo un campo, ahora Tales de Mileto formula el rectángulo que se podía aplicar a
cualquier objeto de la vida real.)
Geometría Aristotélica
Lo que había que lograr era que el conjunto de las afirmaciones de una ciencia (teoremas) se
deduzcan de un conjunto de enunciados (axiomas) Este conjunto de enunciados tiene que ser
evidentes, necesariamente verdaderos y generales que funcionen de punto de partida
( principios) de las que no se necesita demostración para llegar a teoremas mediante un
razonamiento deductivo
Principio 1 Principio 2
Principio 3
Razonamiento lógico
(demostración)
Teorema 1 Teorema 2
Teorema 3
Teorema 4
Camila Diaz
Euclides y la geometría → Adopta la geometría aristotélica
- Euclides logro organizar y sistematizar por 1° vez todos los conocimientos matemáticos
acumulados en una obra en donde todos esos conocimientos esta organizado en la
forma de un sistema axiomático → Elementos
- Establece una serie de enunciados que se aceptan sin demostración y que constituyen
los principios a partir de los cuales se va a poder demostrar el resto de los enunciados
del sistema
Construye una organización axiomática de la geometría usando distintos elementos →
Establece 3 principios:
1. Postulados : son aquellos que se refieren a una ciencia en particular (En la geometría
estableció 5 postulados)
2. Nociones comunes: hacen referencia a cuestiones generales que pueden aplicarse
tanto a la geometría, como a otros ámbitos de la ciencia o de la vida cotidiana
Ej: Las cosas iguales a una misma cosa son iguales entre si
3. Definiciones: define todos los términos con los que trabaja, por ejemplo, punto o
recta. Quería dar descripciones de los objetos que trataba la geometría para evitar
errores
A partir de los postulados y nociones comunes, se obtienen deductivamente una serie de
enunciados llamados por él PROPOSICIONES que son verdaderos.
Euclides construye DEMOSTRACIONES de las proposiciones, en las que a partir de las premisas
se deduce la conclusión por aplicación de las reglas de inferencia (Aunque no las explicita)
El problema con el quinto postulado
A diferencia de los otros 4 postulados, el 5 no era tan evidente y que éste podría ser un
teorema que se deduce a partir de los primeros cuatro. Y cuando se intentaba
demostrar se creaba otro enunciado equivalente/igual al 5to postulado
En el SXVII John Playfair encontró otra formulación del 5to postulado más sencilla:
Con sistematizar se refiere a
presentar los enunciados
articulados, organizados,
estructurados entre si
Ahora se llaman
teoremas
Si una línea recta (C) corta a dos rectas
(A y B), estas rectas determinan 4
ángulos una vez que se las corta. Los
ángulos (α y Ω) si los sumamos dan
menos de 180°
C
A
B
α
Por un punto exterior a una
recta, puede trazarse una única
recta paralela a la recta dada
hiperbólica Infinitas Menor que 180° Infinita
elíptica Ninguna Mayor que 180° Cerrada
Estos sistemas axiomáticos fueron concebidos como sistemas formales, que, partiendo de
ciertos enunciados, permitían construir sistemas coherentes. Por Ej, el régimen democrático
de EE. UU. no sirve para Argentina, pero aun así sigue siendo una estructura coherente
La geometría euclidiana siguió siendo la mas importante hasta principios del SXX cuando
llega Einstein con la teoría de la relatividad y necesita recurrir a las geometrías no
euclidianas → A partir de esto ya no podía decirse que las geometrías no euclidianas eran
meros juegos de símbolos y logro reunificarlas como una teoría que describiera el espacio
físico real (La física)
Concepción contemporánea → SXX
Elementos de un sistema axiomático:
Axiomas:
Enunciados que se aceptan sin demostración y son el punto de partida de las
demostraciones (los postulados)
No se exige que sean verdades evidentes → Son meros constructos formales que no cabe
ni siquiera predicar de ellos verdad o falsedad (Aunque se trabaja con ellos como si
“fueran verdaderos”)
Solo cabe preguntarse por la verdad de los axiomas cuando el sistema se interpretó.
Teoremas:
Son enunciados que se demuestran, se obtienen deductivamente a través de las reglas de
inferencia → Conclusiones que se obtienen a partir de los axiomas
Los sistemas axiomáticos tienen que incluir explícitamente las reglas de inferencia, porque
garantizan que, si se parte de enunciados verdaderos, la conclusión también lo va a ser
Demostraciones:
Parten de axiomas o teoremas ya demostrados, y por aplicación de las reglas de inferencia,
permiten obtener nuevos teoremas (deducción)
Los axiomas pueden funcionar como premisas y los teoremas como conclusiones
Términos:
- Términos lógicos (expresiones como todos, son, pasan por, si, etc)
- Términos no lógicos (recta, punto, triangulo, circulo)
- Términos primitivos: se aceptan y emplean sin definición
- Términos definido s: se definen a partir de los primitivos
Reglas de formación:
Indican como combinar los diferentes términos, como construir sintácticamente los
enunciados que pueden cumplir el rol de axiomas o teoremas
Ej, las reglas de formación indican que sea “2+2=4” y no “224+=”
La selección de los axiomas
¿Por qué es necesario tomar a los axiomas como puntos de partida?
Si no tomáramos algunos axiomas como puntos de partida, para justificar el enunciado A,
necesitaríamos otro enunciado B y para poder justificar B es necesario C y así sucesivamente
se caería a una regresión al infinito
Y si se quiere evitar esto y C se justificaría con A, se caería en un circulo vicioso. Por lo tanto, es
necesario aceptar algunos enunciados sin demostración/justificación.
Propiedades de los sistemas axiomáticos
INDEPENDENCIA
Un enunciado es independiente cuando no puede demostrarse a partir
de los demás enunciados. Para que un sist. axiomático sea
independiente, todos los axiomas deben serlo
CONSISTENCIA
Si dentro del enunciado se puede probar “A” y su negación “No A”, el
sistema es inconsistente. Un enunciado y su negación no pueden ser
probados en el sistema porque se pretende que no haya falsedades.
COMPLETITUD
Un sistema es completo cuando permite demostrar todo lo que pretende
demostrar a la hora de construir el sistema, cuando hay garantía que
ninguna verdad queda afuera del sistema.
Euclides definió incluso los
términos primitivos que ahora son
punto, recta, etc.
Si hay algún enunciado verdadero que no se puede obtener como teorema y no esta
incluido como axioma, entonces ese sistema no logra sistematizar la teoría (no está
completo)
