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TEMA 5. INCERTIDUMBRE
5.1. Introducción.
Hasta el momento en todas las asignaturas de micro se ha supuesto que los agentes tomaban sus decisiones con información completa. Sin embargo en numerosas ocasiones estos deciden en condiciones de incertidumbre.
Incertidumbre: Existe cuando los resultados asociados a determinadas acciones dependen de elementos que en el momento de tomar la decisión no son conocidos con certeza por el agente decisor. Por ejemplo, el resultado de la cosecha que depende del tiempo o cuando se contrata a alguien. La existencia de incertidumbre es muy frecuente en economía y por ello existen instituciones que permiten paliarla o eliminarla (los seguros). El objetivo de este tema es estudiar el comportamiento individual de los agentes bajo incertidumbre. Para ello comencemos estudiando el siguiente ejemplo: Un agricultor que posee una serie de terrenos cultivables. El agente sabe que si el clima es favorable, no llueve demasiado obtendrá una renta de Y 0 = 5000 u.m. mientras que si el clima es desfavorable obtendrá Y 1 = 500 u.m. El agricultor estima que la probabilidad de que el clima sea favorable es p 1 y que sea desfavorable p 2 = (1-p 1 ). Supongamos que el agente tiene la posibilidad de contratar una póliza de seguros por la que recibiría una indemnización de I = 1000 u.m. en caso de que el clima fuera desfavorable, siendo el coste de esta póliza de C = 500 u.m. ¿de qué depende que el agente se asegure o no? Para responder a esta cuestión debemos comenzar analizando los elementos del problema, elementos que son comunes a cualquier situación de incertidumbre. 4 elementos:
1. Alternativas o acciones entre las que puede elegir el agente.
ai
2. Estados de la naturaleza o elementos que la gente no conoce con certeza en el
momento de tomar la decisión.
Sj
3. Probabilidad asignada a cada estado de la naturaleza.
S 1 F 0 E 0p 1 ; S 2 F 0 E 0p 2
4. Beneficios o rendimientos que obtendrá el agente en función de la alternativa
que elija y de cuál sea el estado de la naturaleza. Yij beneficios (renta que obtiene el agente si a (^) 1 y Sj )
S 1 (favorable) P (^1)
S 2 (desfavorable) P (^2)
A 1 (incierta) Y 11 = 1500 Y 12 = 500
A 2 (segura) Y 21 = 1000 Y 22 = 1000
En resumen:
Y 11 = Y 0 = 1500; Y 12 = Y 1 = 500;
Y 21 = Y 0 – C = 1500 – 500 = 1000; Y 22 = Y 1 – C + I = 1500 – 500 + 1000 = 1000
Esta situación es muy frecuente en economía. Por un lado hay una alternativa, asegurarse, que elimina la incertidumbre sobre la renta futura. Independientemente de cual sea el estado de la naturaleza, obtendrá 1000 u.m. Por otro lado, la alternativa de no asegurarse conlleva incertidumbre. Si el agente la elige podría obtener una renta mayor que asegurándose si se da el estado favorable, pero también incurre en el riesgo de que su renta se vea reducida a 500 u.m. La decisión que tome el agente dependerá en parte de cuales sean las probabilidades asignadas a los estados de la naturaleza, las cuales pueden ser objetivas o subjetivas. Por ejemplo, la probabilidad de que al tirar una moneda al aire salga cara es de 1/2 y es una probabilidad objetiva; la probabilidad de que a largo plazo el clima sea favorable o desfavorable es difícil de estimar, por lo que en este caso el valor asignado dependerá del agente decisor, siendo por tanto una probabilidad subjetiva. Conocidas las probabilidades, un criterio de elección que podría parecer razonable es elegir la alternativa de mayor valor o rendimiento esperado. Def./ El valor esperado de una alternativa es la suma de los diferentes rendimientos posibles de dicha alternativa ponderados por la probabilidad de que se produzca cada uno de ellos. VE (a 1 ) = P 1 Y 11 + P 2 Y 12 = P 1 1500 + P 2 500 VE (a 2 ) = 1000 Ej./ P 1 = y P 2 = F 0 E 0VE (a 1 ) = 1500 + 500 = 750 VE (a 2 ) = 1000 Si el agente eligiera de acuerdo a este criterio, elegiría asegurarse. Sin embargo, este criterio de elección no es válido para la mayoría de las personas, de hecho en economía está totalmente aceptado que en general los agentes no toman sus decisiones de acuerdo al valor esperado sino de acuerdo a la utilidad esperada de cada alternativa. Veamos porqué en el siguiente punto.
5.2. Función de utilidad esperada o función de utilidad de Von
Neuman.
Para entender porque elegir de acuerdo al VE puede dar lugar a numerosas contradicciones, supongamos el siguiente ejemplo: Un individuo dispone de una renta de Y = 10.000 u.m. que puede apostar a cara o cruz, a todo o nada.
S 1 (cara) P 1 =1/
S 2 (cruz) P 2 =1/
A 1 (apostar) Y 11 = 2Y=
Y 12 = 0
A 2 (no apostar) Y 21 = 10.000 Y 22 = 10.
VE (a 1 ) = 20.000 + 0 = 10.
1.- Para todos los agentes esta función es creciente (a mayor renta, mayor utilidad) = U’ > 0
Y
2.- La forma concreta, es decir, la curvatura de esta función, depende de cual sea la
actitud ante el riesgo del agente en cuestión:
AVERSO FU cóncava = = U’’ < 0 (a ↑ renta, ↓ ut.mg.)
Y
PROPENSO FU convexa U’’ > 0 (a ↑ renta, ↑ ut.mg.)
Y
NEUTRAL FU lineal U’’ = 0 (a ↑ renta, ↑↓ ut.mg.)
Y
Para entender esta clasificación y definición con mayor precisión cada una de estas actitudes ante el riesgo, consideremos el siguiente ejemplo:
Un agente puede elegir entre participar o no en dos apuestas que consisten en tirar una moneda al aire. Para ello dispone de una renta Y= 2000 u.m. Posibles resultados:
S 1 (cara) p 1 =(1/2) S 2 (cruz) p 2 =(1/2)
a 1 = apuesta 1 2Y= 4000 0
a 2 = apuesta 2 1,5 Y= 3000 0,5 Y= 1000
a 3 = no apuesta Y = 2000 Y= 2000
Características del juego.
1.- Las tres alternativas tienen igual rendimiento esperado:
V E(a 1 )= p 1 (4000) + p 2 (0) = 0,5 (4000) + 0,5 (0) = 2000
V E(a 2 )= p 1 (3000) + p 2 (1000) = 0,5 (3000)+ 0,5 (1000) = 2000
V E(a 3 )= 2000
2 .- Sin embargo, el “riesgo” en el que incurre el agente en cada alternativa es diferente_._ Evidentemente, si no juega no incurre en ningún riesgo. En caso de jugar ¿Cuál de las dos apuestas es más arriesgada?
El término “riesgo” se refiere a la variabilidad de los rendimientos de una alternativa y se puede medir a través de la varianza: σ^2 (ai ). El riesgo será mayor cuanto mayor sea σ^2.
Para hallarla debemos obtener, en primer lugar, la desviación de cada rendimiento, Dij , o diferencia entre ese rendimiento y el valor esperado de la acción en cuestión.
S 1 (cara) S 2 (cruz)
a 1 = apuesta 1 D 11 = 4000-2000 D 12 =0-
a 2 = apuesta 2 D 21 = 3000-2000 D 22 = 1000-
La varianza es el promedio, ponderado por la probabilidad de que se de cada resultado, de las desviaciones al cuadrado:
σ^2 (ai ) = P 1 (D (^) i1) 2 + P 2 (D (^) i2) 2
σ^2 ( a 1 ) = 0,5 (4000 - 2000)^2 + 0,5 (0- 2000)^2 = 4.000.
σ^2 ( a 2 ) = 0,5 (3000 - 2000)^2 + 0,5 (1000- 2000)^2 = 1.000.
La apuesta 1 es “mas arriesgada que la 2”, ya que la variabilidad de sus posibles rendimientos es mayor: σ 2 ( a 1 ) > σ^2 ( a 2 ).
A través de este ejemplo podemos explicar y definir con mayor precisión los conceptos de aversión, propensión y neutralidad al riesgo.
A-¿Por qué si la FU de la renta del agente, U = U(Y), es cóncava, lo que implica que la utilidad marginal de la renta es decreciente, U''< 0, decimos que es averso al riesgo?
Para responder a esta cuestión estudiemos sobre el gráfico 1 cuál es la UE de cada una de las tres alternativas entre las que puede elegir.
a 3 : No jugar es una alternativa que da lugar a una renta segura o cierta, Y = 2000 u.m. Por tanto, UE(a 3 ) = U(2000) , y gráficamente viene determinada por la altura del punto M.
a 2 : Apuesta 2_._ Si el agente participara en ella incurriría en un riesgo y obtendría una UE:
UE(a 2 )= p 1 U(3000) + (1- p 1 ) U(1000) = U(3000) + U(1000). Observar que esta expresión no es mas que una combinación lineal de U(3000) y de U(1000). Por tanto, gráficamente, su valor vendrá determinado por un punto perteneciente al segmento que une los puntos A y B, el cual dependerá, a su vez, del valor de p1. Dado que en este caso, p 1 =0,5, la UE viene dada por la altura del punto medio del segmento, es decir, por la altura del punto N.
a1: Apuesta 1:
UE(a 1 )= p 1 U(4000) + (1-p 1 ) U(0) = U(4000) + U (0).
Siguiendo el razonamiento anterior, la UE vendrá determinada por un punto del segmento que une los puntos 0 y C. Dado que p 1 = 0.5 , la UE viene dada por la altura del punto medio del segmento, es decir, por la altura del punto W. segmento
a 3 : UE(a 3 )= U(2000) F 0 E 0gráficamente viene determinada por la altura del punto M.
a 2 : UE(a 2 )=0,5 U(3000)+0,5 U(1000) F 0 E 0punto medio del segmento AB (altura del
punto N).
a 1 : UE(a 1 )= 0,5 U(4000)+ 0,5 U(0) F 0 E 0punto medio del segmento 0 C ( altura del
punto W).
Comprobamos que si la función de utilidad del agente es lineal, entonces, UE(a 1 ) = UE(a 2 )= UE(a 3 ), de forma que el agente estaría indiferente entre no jugar o jugar cualquiera de las dos apuestas ¿Por qué decimos que el agente es neutral al riesgo?
Def. 1: Porque el agente está indiferente ante diferentes alternativas de igual rendimiento esperado (VE), aunque estas impliquen diferente riesgo.
Observad que si diferentes alternativas de igual rendimiento esperado dan lugar a igual utilidad esperada, podemos concluir que para un agente neutral Max UE ≡ Max VE. Por tanto, ante diferentes alternativas un agente neutral al riesgo siempre elegirá aquella que de lugar a un rendimiento esperado mayor.
CUESTIONES SOBRE LA ACTITUD ANTE EL RIESGO
1.- En general, individualmente, las personas se comportan ante cuestiones básicas o importantes como aversas al riesgo. Esto no descarta que ante determinadas actividades lúdicas o de entretenimiento, se comporten como propensos o neutrales. Son las empresas de seguros, las financieras, etc. a las que se considera neutrales al riesgo las que asumen los riesgos de las personas aversas. Asumir que las empresas son neutrales es una hipótesis adecuada ya que en la mayoría, los propietarios son accionistas que poseen una pequeña parte del capital social. Esto difumina el riesgo y hace que conjuntamente se comporten como neutrales.
2.- Si conocemos la función de utilidad de un agente, ¿cómo podemos saber cual es su actitud ante el riesgo?
U = Y1/2^ F 0 E 0U’ = ½ Y-1/2^ y U’’ = ¼ Y -3/2^ < 0 F 0 E 0 AVERSO
U = Y 2 F 0 E 0 U’ = 2 Y y U’’ = 2 > 0 F 0 E 0 PROPENSO
U = 4 Y F 0 E 0U’ = 4 y U’’ = 0 F 0 E 0 NEUTRAL
Conocida la función de utilidad de un agente, para saber qué decisión tomará ante diferentes alternativas, simplemente tendremos que comprobar cual de ellas le da mayor utilidad esperada.
3.- En ocasiones no vamos a conocer la función de utilidad del agente, sino sólo su actitud ante el riesgo. En este caso podemos llegar a algunas conclusiones respecto al comportamiento de estos agentes a través del valor esperado de las diferentes alternativas.
Dos alternativas, a 1 menos arriesgada que a 2 o a 1 de renta cierta y a 2 de renta incierta. Si el agente es averso
Si VE(a 1 ) ≥ VE(a 2 ) elegirá a 1. Si VE(a 1 ) < VE(a 2 ) podría elegir cualquiera de las 2.
Si el agente es propenso
Si VE(a 1 ) ≤ VE(a 2 ) elegirá a 2. Si VE(a 1 ) > VE(a 2 ) podría elegir cualquiera de las 2.
Si el agente es neutral
Elige la que tiene mayor VE. 4.- Un concepto importante es el de equivalente cierto. Def./ El equivalente cierto es el nivel de renta segura que proporcionaría a un agente un nivel de utilidad igual a la utilidad esperada de una situación incierta (con riesgo). Ej,/ Un individuo tiene que decidir entre 2 empleos. Uno de ellos le daría una renta cierta y el otro una renta incierta basada en comisiones.
S 1 (rentas altas) S 2 (rentas bajas)
e 1 (empleo 1) 1000 1000
e 2 (empleo 2) 2000 (P 1 =0,4) 500 (P 1 =0,6)
a) ¿Podemos saber qué decisión tomará un agente averso sin conocer su
función de utilidad? ¿Y un propenso? ¿Y un neutral?
b) Si la función de utilidad es U = Y 1/2^ ¿qué decisión tomará el agente?
c) ¿cuál es el equivalente cierto del empleo 2?
a) 1º calculo el VE y veo cual tiene más riesgo.
VE(e 1 ) = 1000
VE(e 2 ) = 0,4. 2000 + 0,6. 500 =
La e 2 más riesgo pero más VE.
- Un propenso elegiría con toda probabilidad e 2.
- Un neutral elegiría con toda probabilidad e 2.
- Un averso no sabemos cual sería su decisión. Podría elegir tanto el empleo 1 como el 2.
b) Función de utilidad: U = Y1/2^ F 0 E 0U’ = ½ Y- 1/2^ y U’’ = - ¼ Y-3/2^ < 0 AVERSO
UE(e 1 ) = U(1000) = 10001/2^ = 31,
UE(e 2 ) = 0,4. U(2000) + 0,6. U(500) = 0,4. 2000 1/2^ + 0,6. 5001/2^ = 31,
Consideremos un individuo averso al riesgo. Este agente, que tiene una renta inicial de “Y” u.m., estima que existe una probabilidad “p” de que esta renta se vea disminuida en una cuantía “L” (por ejemplo, existe una probabilidad de que se incendie su casa). Para reducir este riesgo puede suscribir un seguro por el que recibirá una indemnización de “I” u.m. si experimenta dicha perdida. La prima que debería pagar por esa cobertura es de “C =c I” u.m., donde c es la prima por unidad monetaria cubierta.
S 1 (no siniestro)(1-p) S 2 (siniestro)(p)
a 1 =asegurarse y 11 = y - c I y 12 = y - c I – L + I
a 2 =no asegurarse y 21 = y y 22 = y - L
En este contexto, ¿cuál es el beneficio esperado de la compañía de seguros, a la que suponemos neutral al riesgo? Si no ocurre el sinistro la compañía recibirá “c I” u.m., si ocurre “c I – I” u.m., con que:
∏E = (1 – p)(c I) + p (c I – I) = c I – p I = (c – p) I
Con estos datos, el objetivo de este punto es analizar la siguiente cuestión: Si el agente decidiera asegurarse y pudiera elegir el valor de la indemnización, ¿Cuál sería el valor de “I” que desearía controlar? Responderemos a esta cuestión bajo dos contextos. En primer lugar, supondremos que el mercado de seguros es competitivo, de forma que el beneficio esperado de la empresa a largo plazo es igual a cero. A continuación, compararemos los resultados obtenidos con los que se obtendrían si el mercado de seguros no fuera competitivo y el beneficio esperado de la empresa a largo plazo fuera positivo.
1.- MERCADO DE SEGUROS COMPETITIVO (∏E=0)
∏E = c I – p I = 0 F 0 E 0c I = p I F 0 E 0c = p
Observar que en este caso la prima total que cobra la empresa, “c.I”, es exactamente igual al riesgo que asume, que es tener que pagar al individuo con una probabilidad igual a p, una indemnización de I u.m.; es decir, c I = p I. Por ello, cuando c = p, se dice que la compañía cobra una prima actuarialmente justa.
Con estos datos, ¿cuál sería el valor de “I” que desearía contratar? El problema consiste en obtener la indemnizaron que maximizaría la UE del individuo, en caso de asegurarse. Dadas las rentas que obtendría, para cada “estado de la naturaleza”: S 1 (no siniestro)(1–p) S 2 (siniestro)(p)
a 1 =asegurarse y 11 = y - c I y 12 = y - c I – L + I
Max UE = (1 – p) U(Y 11 ) + p U(Y 12 )
= (1 – p) + p = 0 F 0 E 0 (1 – p)U(Y 11 ) (-c) + p U’(Y 12 ) (1–c) = 0 F 0 E 0
Observamos que la indemnización optima depende de cuál sea la prima unitaria del seguro, “c” y la probabilidad de siniestro “p”.
Si p=c F 0 E 0= = 1 F 0 E 0= (2)
El agente maximiza su UE contratando una indemnización tal que la utilidad marginal de la renta obtenida en caso de que se produzca el siniestro y en caso de que no se produzca coincidan. ¿Cuándo se cumplirá esta condición si el agente es averso al riesgo?
Sabemos que la aversión al riesgo implica que = U’’ < 0 F 0 E 0↑y ↓U’(Y)
Esto implica que:
- si Y 11 > Y 12 F 0 E 0U’(Y 11 ) < U’(Y 12 );
- si Y 11 < Y 12 F 0 E 0U’(Y 11 ) > U’(Y 12 );
- si Y 11 = Y 12 F 0 E 0U’(Y 11 ) = U’(Y 12 ).
Por tanto, para que se cumpla (2) es necesario que ambas rentas coincidan:
Y 11 = Y 12 F 0 E 0y – c I = y – c I – L + I F 0 E 0I* = L Se aseguraría a todo riesgo
CONCLUSION : siempre que las empresas aseguradoras cobren una prima actuarialmente justa, los agentes aversos al riesgo maximizarán su UE asegurándose totalmente contra la pérdida L, es decir, a todo riesgo.
2.- MERCADO DE SEGUROS NO COMPETITIVO
∏E = c I – p I > 0 F 0 E 0c I > p I F 0 E 0C > p F 0 E 0prima actuarialmente no justa.
Para hallar la indemnización óptima analicemos de nuevo la condición de primer
orden (1):
Max UE = (1 – p) U(Y 11 ) + p U(Y 12 )
= 0 F 0 E 0= (1)
Ahora, c>p, por lo que:
Si c>p F 0 E 0= > 1 F 0 E 0> (3)
¿Cuándo se cumplirá esta condición?
Si el agente es averso al riesgo, sabemos que U’’(y) < 0 F 0 E 0↓y ↑U’(y).
Esto implica que: U’(y 12 ) > U’(y 11 ) F 0 E 0y 11 > y 12
Por tanto para que se cumpla (3):
y 11 > y 12 F 0 E 0y – c I > y – c I – L + I F 0 E 0I* < L
