La integral de Riemann, Diapositivas de Métodos Matemáticos

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Tema 1

La Integral de Riemann

1.1 Concepto y cálculo de primitivas

de una función. Propiedades

Función primitiva

Función

(Conocida)

F(x)=x^3 +

Derivación

Derivada

f(x)=3x^2 =F’(x)

Primitiva

F(x)=x^3

Integración

Derivada

(Conocida)

f(x)=3x^2

Integral indefinida

Definición

La integral indefinida de una función f(x) es el conjunto

de todas las primitivas de f(x) y se representa por

f x dx( )  F x( ) C 

Se lee integral de f(x) diferencial de x

Propiedades:

 Integral del producto de un número real por una

función

Integral de la suma (diferencia) de funciones

 kf x dx( )^ ^ k^  f x dx k( )^ ,^ R

[ f x( )  g x dx( )]  f x dx( )  g x dx( )

Cálculo de Primitivas

Algunas primitivas inmediatas:

1    



^ 



  c

x x dx

dx^  xc.

ln.

dx x c x

e dx e c.

x x

ln

  a c a

a

a dx

x x

sen^ x^ dxcosxc.

cos^ x^ dxsenxc.

   

  , 1. 1

1    



^ 



  c

f x f x f x dx

 

 

ln  .

' dx f x c f x

f x   

   

 

e f' x dx e c.

f x f x

   

  , 0. ln

 '^  a c a

a

a f x dx

f x f x

sen^ f^  x^  f' x^ dxcos f x c^.

cos^ f^  x^  f' x^ dxsen f x^ c.

Cálculo de Primitivas: Integración por partes.

Algunos usos útiles:

 P x ln^ xdx^.

1. Polinómica por trascendente.

 P ^ x e dx^.

x

 . cos

sen  









 dx x

x P x 



u

u

u

2. Trascendente.

 ln^ x dx.

u

3. Trascendente por trascendente.

. cos

sen

 









 dx x

x e

x



  Circular. La elección de es irrelevante.

u

 u dv^ ^ u v^ v du

Cálculo de Primitivas: Primitivas de Funciones

Racionales ( )

( )

P x

Q x

1. G r a d o P ( x )  G r a d o Q ( x )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

P x R x dx C x dx dx Q x Q x  ^   

2. G r a d o P ( x )  G r a d o Q ( x ) ( Q ( x )  0 )

(log )

A Raiz real simple aritmo x

 

 

1 2 ( )^2 ..^ ( ) (log^ .)

r r

A A A Raiz real múltiple con multiplicidad r y potenc x x x

   

      

Cálculo de Primitivas Irracionales.

2

2 1

1

dx p q N cx d

ax b

cx d

ax b

cx d

ax b R x i i

q

p q

p q

p n

n

 

I. Irracionales del tipo

Cambio de variable: t ,^ m.c.m.^ q 1 , q 2 ,...,qn^. cx d

ax b   



dx x

x   

4

Ejemplos:

3 2 t dt t

t

1 , 4.. . 4 , 2 .

4

x  t mcm

dx x

x x

4

(^33)

, 12.. . 2 , 3 , 4 .

12

x t mcm

11 3

18 4 t dx t

t t 

dx

x

x x



3 2

, 3.. .  3. 2

3 t mcm x

x   

1.2 Integral de Riemann

 Trabajaremos siempre con funciones definidas y acotadas en el intervalo de integración [a, b].

f : (^)  a ,b (^)   R^ , f^ acotada

b

a  f^ x dx

 Vamos a construir la integral de f en ^ a b, que se simboliza mediante:

 Desde el punto de vista geométrico representa la siguiente área:

f  x

a b x

f  x

f(x) >

ordenados de menor a mayor tales que

Una partición de un intervalo es conjunto de puntos

 x 0 ,^ x 1 ,...,^ xn^   a b, 

x 0  a , xn  b.

Así, el intervalo queda dividido en n subintervalos:

Para construir la integral consideraremos los n subintervalos

 a b^ , 

 a x,^1  ,^  x 1 ,^ x 2  ,...,^  xn^  1 ,^ b.

 a x,^1  ,^ x 1 ,^ x 2  ,...,^  xn^  1 ,xn

que se solapan en los extremos.

a x 1 x 2 x^3 x 4 ... xn^  1 b

 a b^ , 

En general : ^ xi^ ,xi^  1  con i=0,1,..n-

 Partición:

Integral de Riemann

Conceptos Previos

Integral de Riemann

Conceptos Previos

 Partición más fina:

Dadas dos particiones P y Q, diremos que P es más fina que Q si todos los elementos de Q están en P.

 Medida de Lebesgue:

 a b ,   b a

Integral de Riemann

Construcción (II)

0 1 0 1 2 1

2 3 2 3 4 3

( , ) ( ) ( )

( ) ( )

S f P M x x M x x

M x x M x x

    

   

Dada una funciónf^ :^ ^ a^ ,b^   R^ , f^ definida y acotada en [a,b], en el

que se ha efectuado una partición

Suma Superior para la partición P

M 0

M 1

M 2

M 3

1

1 0

( , ) ( )

n

i i i i

S f P M x x



 

 (^)  

M (^) i  S u p (^)  f (^)  x (^)  / x  x (^) i ,x (^) i 1 

Amplitud del intervalo, x x x x medida de Lebesgue x

P  x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ,x 4 

En general, es un nº real dado por:

Integral de Riemann. Construcción (III)

Proposición: Sean y dos particiones del intervalo. Si

es más fina que se cumple que

P P'  a b, 

s (^)  f P , (^)   s (^)  f P, ' .

S (^)  f , P (^)  S (^)  f , P' ,

En otras palabras, particiones más finas producen aproximaciones más exactas al valor de la integral.

P' P

s f( , P)

P más finas

P más finas

S ( f P, )

Integral de Riemann

Construcción (IV)

Repitiendo el proceso, para particiones cada vez más finas,

Para el caso de las Sumas superiores, vemos que el valor de dicha Suma, cada vez es menor y se acerca más al valor del área que buscamos.

S ( f P, )

P más finas

Proposición: Para cualesquiera y , particiones del intervalo

sean o no comparables, se cumple que

S (^)  f P , (^)  s (^)  f P, ' .

P P'

 a b^ ,^ ,

En otras palabras, todas las sumas superiores son mayores que las sumas inferiores con independencia de la partición a la que estén asociadas.

Las sumas superiores están acotadas inferiormente por cualquiera

de las sumas inferiores. Por tanto, existe un valor ínfimo de las

sumas superiores.

Las sumas inferiores están acotadas superiormente por cualquiera

de las sumas superiores. Por tanto, existe un valor supremo de las

sumas inferiores.

Integral de Riemann

Construcción (V)