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4. INTEGRACI ´ON DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE
4.1. LA INTEGRAL DE RIEMANN
La integral de Riemann est´a motivada por el c´alculo de ´areas de regiones planas. Concretamente, se trata de hallar el ´area de la regi´on plana limitada por la gr´afica de una funci´on acotada positiva, sobre un intervalo del eje de abscisas.
Si f : [a, b] −→ R es una funci´on acotada y positiva, la integral de Riemann calcula el ´area del recinto:
R(f ; a, b) = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f (x)} O
y
x
f
a (^) b
R(f ; a, b)
4.1.1. Particiones de un intervalo
Una partici´on del intervalo cerrado y acotado [a, b] es cualquier colecci´on finita de puntos del intervalo que contenga a los extremos:
P = (a = x 0 < x 1 < x 2 <... < xn = b) , n ≥ 1
que lo dividen en n subintervalos [xi− 1 , xi], 1 ≤ i ≤ n, y se llama di´ametro de la partici´on a la longitud del mayor de ellos:
a x 0 x 1 x 2 x 3 · · · xi− 1 xi · · · xn− 1
b xn
δ(P ) = max {x 1 − x 0 , x 2 − x 1 ,... , xn − xn− 1 } = max 1 ≤i≤n {xi − xi− 1 }
Dadas dos particiones P y Q del mismo intervalo [a, b], se dice que Q es m´as fina que P si P ⊂ Q, es decir, si Q contiene todos los puntos de P. Obviamente, si Q es m´as fina que P , entonces δ(Q) ≤ δ(P ).
4.1.2. Sumas de Riemann
Se definen las sumas inferior y superior de Riemann de una funci´on acotada f : [a, b] −→ R asociadas a la partici´on P = (a = x 0 < x 1 < x 2 <... < xn = b) como:
s(f, P ) = m 1 (x 1 − x 0 ) + m 2 (x 2 − x 1 ) +... + mn(xn − xn− 1 ) =
∑^ n
i=
mi(xi − xi− 1 )
S(f, P ) = M 1 (x 1 − x 0 ) + M 2 (x 2 − x 1 ) +... + Mn(xn − xn− 1 ) =
∑^ n
i=
Mi(xi − xi− 1 )
donde mi y Mi son, respectivamente, el ´ınfimo y el supremo de f en el subintervalo [xi− 1 , xi], 1 ≤ i ≤ n.
O
y
x
a x 0 x 1 x 2... xi− 1 xi... xn
b
Si f es positiva, la suma inferior de Riemann es la suma de las ´areas de los rect´angulos que tienen por base los subintervalos y altura el ´ınfimo de la funci´on en los mismos, que es menor o igual que el ´area limitada por la gr´afica y el eje x.
O
y
x
a x 0 x 1 x 2... xi− 1 xi... xn
b
Si f es positiva, la suma superior de Riemann es la suma de las ´areas de los rect´angulos que tienen por base los subintervalos y altura el supremo de la funci´on en los mismos, que es mayor o igual que el ´area limitada por la gr´afica y el eje x.
Cuando en cada subintervalo, en lugar de tomar los valores ´ınfimo o supremo, se toma el valor de la funci´on en un punto intermedio αi ∈ [xi− 1 , xi], 1 ≤ i ≤ n, se obtiene la suma de Riemann asociada a dichos puntos:
S (f, P, {αi}) = f (α 1 )(x 1 − x 0 ) + f (α 2 )(x 2 − x 1 ) +... + f (αn)(xn − xn− 1 ) =
∑^ n
i=
f (αi)(xi − xi− 1 )
Es f´acil comprobar que se verifican las siguientes propiedades:
- Cualquier suma de Riemann est´a comprendida entre las sumas superior e inferior asociadas a la misma partici´on: s(f, P ) ≤ S (f, P, {αi}) ≤ S(f, P )
- Si Q es una partici´on m´as fina que P , entonces:
s(f, P ) ≤ s(f, Q) ≤ S(f, Q) ≤ S(f, P )
- Cualquier suma inferior es menor o igual que cualquier suma superior, es decir, para cualesquiera particiones P y Q: s(f, P ) ≤ S(f, Q)
4.1.3. Integral de Riemann
Se dice que una funci´on acotada f : [a, b] −→ R es integrable Riemann (o, simplemente, integrable) cuando el supremo de las sumas inferiores coincide con el ´ınfimo de las sumas superiores, y se representa por: ∫ (^) b
a
f (x) dx = sup {s(f, P ) : P es partici´on de [a, b]} = inf {S(f, P ) : P es partici´on de [a, b]}
Puesto que las sumas de Riemann est´an comprendidas entre las sumas superiores e inferiores, cuando una funci´on es integrable se puede definir tambi´en su integral como el siguiente l´ımite de sumas:
∫ (^) b
a
f (x) dx = lim δ(P )→ 0 S (f, P, {αi}) = lim δ(P )→ 0
∑^ n
i=
f (αi)(xi − xi− 1 )
siendo este l´ımite independiente de la elecci´on de los {αi}.
4.1.4. Criterio de integrabilidad Riemann. Funciones integrables
Si f : [a, b] −→ R es una funci´on acotada, entonces:
f es integrable Riemann ⇐⇒ ∀ε > 0 existe P tal que S(f, P ) − s(f, P ) < ε
Usando este criterio de integrabilidad, se puede probar que:
- Todas las funciones mon´otonas en [a, b] son integrables en [a, b].
- Todas las funciones continuas en [a, b] son integrables en [a, b].
- Todas las funciones acotadas con un n´umero finito (o incluso infinito numerable) de discontinuidades son integrables en [a, b].
4.1.5. Ejemplo
- Usando sumas de Riemann, calcula:
0
x^2 dx.
- Demuestra que no es integrable sobre [0, 1] la funci´on: f (x) =
1 , si x ∈ Q 0 , si x /∈ Q
4.1.8. Teorema fundamental del C´alculo
Sea f : [a, b] −→ R una funci´on continua y F : [a, b] −→ R la funci´on ´area barrida:
F (x) =
∫ (^) x
a
f (t) dt
Entonces, F es continua y derivable en [a, b] con
F ′(x) = f (x), para todo x ∈ [a, b] O
y
t
f
a (^) x
F (x)
b
Demostraci´on: Si x ∈ [a, b) y h > 0, entonces:
F (x + h) − F (x) =
∫ (^) x+h
a
f (t) dt −
∫ (^) x
a
f (t) dt =
∫ (^) x+h
x
f (t) dt
Si mh y Mh son, respectivamente, el m´ınimo y el
m´aximo de f en [x, x + h], que se alcanzan por ser
O
y
t
f
a (^) x x + h b
©^ © ©º
F (x + h) − F (x)
continua, entonces
mhh ≤
∫ (^) x+h
x
f (t) dt ≤ Mhh =⇒ mhh ≤ F (x + h) − F (x) ≤ Mhh =⇒ mh ≤
F (x + h) − F (x) h ≤ Mh
Por la continuidad de f , lim h→ 0 +^
mh = lim h→ 0 +^
Mh = f (x), de donde se deduce que:
F ′(x+) = lim h→ 0 +
F (x + h) − F (x) h
= f (x)
An´alogamente, se obtiene que F ′(x−) = f (x), para todo x ∈ (a, b], con lo que se concluye que F es derivable y F ′(x) = f (x), para todo x ∈ [a, b].
4.1.9. Corolario
Sean I y J intervalos, f : I −→ R una funci´on continua, y u, v : J −→ I dos funciones derivables. Entonces la funci´on
F (x) =
∫ (^) v(x)
u(x)
f (t) dt
es derivable y F ′(x) = f (v(x))v′(x) − f (u(x))u′(x)
4.1.10. Ejemplo
Estudia la derivabilidad, y halla la derivada, de la funci´on: F (x) =
∫ (^) sin x
x^2 +
dt 1 + t^2
4.1.11. Primitiva o antiderivada
Una funci´on F se llama primitiva o antiderivada de f en D ⊂ R si F ′(x) = f (x), para todo x ∈ D. Usando el corolario 3.3.7, dos primitivas de una misma funci´on en un intervalo se diferencian en una constante, es decir:
F ′(x) = G′(x) para todo x ∈ I (intervalo) =⇒ F (x) − G(x) = c, c ∈ R, para todo x ∈ I
4.1.12. Regla de Barrow
Si f : [a, b] −→ R es continua y Φ es una primitiva de f en [a, b], entonces ∫ (^) b
a
f (x) dx = [Φ(x)]ba = Φ(b) − Φ(a)
Demostraci´on: Puesto que, por el teorema fundamental del C´alculo, F (x) =
∫ (^) x a f^ (t)^ dt^ es tambi´en primitiva de f en [a, b], entonces F y Φ se diferencian en una constante:
F (x) − Φ(x) = c , para todo x ∈ [a, b]
Haciendo x = a se puede hallar la constante:
F (x) − Φ(x) = c =⇒ x=a F (a) − Φ(a) = c =⇒ F (a)=
c = −Φ(a)
y entonces, F (x) = Φ(x) − Φ(a), para todo x ∈ [a, b]. En el caso particular de x = b, se obtiene el resultado:
F (x) = Φ(x) − Φ(a) =⇒ x=b F (b) = Φ(b) − Φ(a) =⇒ F (b) =
∫ (^) b
a
f (t) dt = Φ(b) − Φ(a)
4.1.13. Ejemplos
Halla las siguientes integrales e interpreta geom´etricamente el resultado obtenido:
(a)
∫ (^) π
0
sin x dx (b)
0
x(x − 2) dx (c)
− 1
x^3 dx
4.1.14. Teorema de valor medio integral
Si f : [a, b] −→ R es una funci´on continua, entonces existe α ∈ (a, b) tal que: ∫ (^) b
a
f (x) dx = f (α)(b − a)
El valor f (α) se llama valor medio de f en [a, b]. (^) O
y
x
f
a
F (x)
α b
f (α)
Demostraci´on: Puesto que la funci´on ´area barrida
F (x) =
∫ (^) x
a
f (t) dt
es continua en [a, b] y derivable en (a, b), se le puede aplicar el teorema de valor medio 3.3.5 y existe α ∈ (a, b) tal que:
F (b) − F (a) = F ′(α)(b − a) =⇒
∫ (^) b
a
f (t) dt − 0 = f (α)(b − a) =⇒
∫ (^) b
a
f (x) dx = f (α)(b − a)
4.1.15. Valor medio de una funci´on continua
Se llaman valor medio y valor medio cuadr´atico, respectivamente, de la funci´on f en el intervalo [a, b] a:
V M (f, [a, b]) =
b − a
∫ (^) b
a
f (x) dx V M C(f, [a, b]) =
b − a
∫ (^) b
a
f 2 (x) dx
4.1.16. Ejemplo
Halla el valor medio y el valor medio cuadr´atico de la funci´on f (x) = x^2 en el intervalo [0, 2].
CUESTIONES
- Contesta razonadamente si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones:
(a) E(x) es integrable en [0, 3]. (b) F (x) =
∫ (^) x 0 E(t)^ dt^ es una primitiva de^ E(x). (c) E(x) no admite primitivas.
PROBLEMAS PROPUESTOS
- Eval´ua, mediante integrales, los siguientes l´ımites:
(a) (^) n→lim+∞
n n
n (b) (^) n→lim+∞
n^2
n^2 − 1
n^2 − (n − 1)^2
- Decide cu´ales de las siguientes funciones son integrales (Riemann) en [0, 2]:
(a) f (x) = x + E(x) (b) f (x) =
x + E(x) si x ∈ Q 0 si x /∈ Q
(c) f (x) =
E(1/x) si 0^ < x^ ≤^1 0 en el resto
- Estudia la derivabilidad de la funci´on F (x) =
∫ (^) x 0 f^ (t)^ dt, donde:
f (x) =
|x| , si x < 1 x^2 , si 1 ≤ x ≤ 2 ln x , si x > 2
- Halla la derivada de las siguientes funciones:
(a) F (x) =
∫ (^) x 2
0
sin t^2 dt (b) F (x) =
∫ (^) x
x^2
1 + t^2 dt
- Halla el valor medio de cada una de las siguientes funciones en el intervalo que se indica:
(a) f (x) = 2x − x^2 en [0, 2] (b) f (x) = f (x) = sin x + cos x en [0,
π 2
]
