La programación no lineal, Apuntes de Matemáticas

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RESUMEN TEMA 2

Carmen Domingo Juan

Tema 2: PROGRAMACI ´ON NO LINEAL

En todo el tema consideramos todas las funciones al menos de clase C

2 .

Definici´on 1

En un problema de maximizar, una restricci´on es can´onica si es g(x) ≤ 0.

En un problema de minimizar, una restricci´on es can´onica si es g(x) ≥ 0.

• Consideramos un problema de programaci´on no lineal (P)

(P )

Opt f (x 1 , x 2 ,... , xn)

s.a g 1 (x 1 , x 2 ,... , x n ) ≤ b 1

g 2 (x 1 , x 2 ,... , x n ) ≥ b 2

x 1 ≥ 0 , x 2

Definici´on 2

Funci´on de Lagrange del problema (P)

L = f (x) + λ 1 (b 1 − g 1 (x)) + λ 2 (b 2 − g 2 (x)) + · · · + μ 1 (0 − x 1 ) + μ 2 (0 − x 2

Se llama multiplicadores de Kuhn-Tucker a λ 1 , λ 2 , · · · , μ 1 , μ 2

Condici´on suficiente de Kuhn-Tucker.

Dado el problema (P) tal que:

• todas las funciones son de clase C

2

• S es convexo

Entonces:

1. Si f es convexa (estrictamente) y el problema es de minimizar, todo punto

de Kuhn-Tucker es un m´ınimo global (´unico).

2. Si f es c´oncava (estrictamente) y el problema es de maximizar, todo punto

de Kuhn-Tucker es un m´aximo global (´unico).

Definici´on 4

Una soluci´on factible es regular si :

• es interior
• es frontera y los gradientes de las restricciones saturadas son linealmente in-

dependientes.

Definici´on 5

Si un problema (P) verifica una de las tres condiciones siguientes:

• No hay restricciones.
• Todas las restricciones son lineales.
• Todas las soluciones factibles son regulares.

se dice que cumple una de las cualificaciones de restricciones.

Condici´on necesaria de Kuhn-Tucker.

Dado el problema (P) tal que:

• todas las funciones son de clase C

2

• cumple una cualificaci´on de restricciones

Entonces:

Todos los ´optimos han de cumplir las condiciones de Kuhn-Tucker.