Topologia (Grau de Matem`atiques), 2013–14, Semestre de
primavera
Laboratori 1: Complecions d’espais m`etrics
Recordem que si (X, d) ´es un espai m`etric, una successi´o {xj} ⊂ X´es de Cauchy si
per a tot ϵ > 0 existeix un ntal que per qualssevol j, k ≥nse satisf`a d(xj, xk)< ϵ.
(1) Demostreu que tota successi´o convergent ´es de Cauchy. Sigui X=Qamb la
dist`ancia donada pel valor absolut, d(x, y) = |x−y|. Demostreu que la successi´o
{xj= [j√2]/j}´es de Cauchy per`o no convergeix.
Un espai m`etric X´es complet si qualsevol successi´o de Cauchy de Xconvergeix. Veurem
que qualsevol espai m`etric es pot convertir en un espai complet afegint-hi prou punts.
Sigui (X, d) un espai m`etric, i sigui C(X) el conjunt de les successions de Cauchy de
X. Definim una relaci´o d’equival`encia a C(X) identificant dues successions de Cauchy
(xj),(yj)⊂Xquan limj→∞ d(xj, yj) = 0. Llavors escrivim (xj)∼(yj).
(2) Comproveu que efectivament ∼´es una relaci´o d’equival`encia.
Sigui X′:= C(X)/∼. Definim una m`etrica a X′prenent d′([x],[y]) = limj→∞ d(xj, yj)
per qualssevol x= (xj) i y= (yj), on els claud`ators denoten classe d’equival`encia.
(3) Comproveu que d′est`a ben definida.
Associant a cada punt x∈Xla classe d’equival`encia de la successi´o de Cauchy constant
xj:= x, obtenim una aplicaci´o ι:X→X′.
(4) Demostreu que ι´es una inclusi´o, i que d′(ι(x), ι(y)) = d(x, y ) per tots els x, y ∈X.
(5) Demostreu que (X′, d′) ´es un espai m`etric complet.
(6) Demostreu que si (X , d) ´es complet aleshores ι:X→X′´es una isometria.
L’espai (X′, d′) s’anomena la compleci´o de (X , d).
(7) Sigui d:Q×Q→Rla dist`ancia donada pel valor absolut. Demostreu que la
compleci´o de (Q, d) ´es isom`etrica a Ramb la dist`ancia donada pel valor absolut.
(8) Sigui p´es un nombre primer i dp:Z×Z→Rla dist`ancia p-`adica. Demostreu
que (Z, dp) no ´es complet.
(9) Sigui pun nombre primer. Denotem per πj:Z/pjZ→Z/pj−1Zla projecci´o que
associa a la classe d’un enter m`odul pjla seva classe m`odul pj−1. Definim
Z={(a1, a2, a3, . . . )|aj∈Z/pjZ, aj=πj(aj−1)}.
Definim una dist`ancia a Zprenent, per a= (aj), b = (bj)∈Z,
dZ(a, b) = {0,si a=b,
p−ν,on ν= min{j|aj=bj}, si a=b.
Demostreu que la compleci´o de (Z, dp) ´es isom`etrica a (Z, dZ).
(10) Sigui Xl’espai vectorial de les funcions f: [0,1] →Rinfinitament diferenciables.
Definim una m`etrica a Xprenent: d(f , g) := sup[0,1] |f−g|.Demostreu que (X, d)
no ´es complet, i que la compleci´o de (X, d) es pot identificar amb C0([0,1]), l’espai
de les funcions cont´ınues g: [0,1] →R.
1