ARITM`
ETICA
Primavera 2019
Llista per als laboratoris de problemes
Nombres complexos
1. Calculeu: (1 + 5i)(12 −17i), (19 + 4i)(19 −4i), (−4 + 19i)(19 −4i), 8+3i
7−11i.
2. Sigui α∈[0,2π]. Demostreu que cos α=eiα +e−iα
2, i que sin α=eiα −e−iα
2i.
3. Escriviu en forma bin`omica els nombres complexos 3e3π
4i, 12e
−22π
3i, 19e14π
2i,i(−√3 + i)8.
4. Escriviu en forma polar els nombres complexos √2
2+i√2
2, 5√2−5i√2, i
2.
5. Trobeu quatre nombres complexos diferents z1,z2,z3,z4, tals que z4
j= 1, per a j= 1, 2, 3, 4.
Divisibilitat
6. (a) En quina base el nombre (decimal) 136 s’escriu 2 5 3?
(b) En quina base el nombre (decimal) 621 s’escriu 2 5 1 3?
7. (a) Escriviu el nombre (235 678 943 215)1000 en base 10 i en base 100.
(b) Escriviu el nombre (ABC DE F 01234)16 en les bases 2, 4 i 8.
8. (a) Trobeu el m`axim com´u divisor i el m´ınim com´u m´ultiple dels nombres enters 2047 i 2225.
(b) ´
Idem per a 2200 i 2816.
9. (a) Trobeu el m`axim com´u divisor d > 0 de la parella de nombres enters a= 2795 i b= 2314.
(b) Trobeu nombres enters r,stals que d=ra +sb.
(c) Feu el mateix per a la parella a= 2842, b= 3567.
10. Calculeu, per a tot nombre enter n, mcd(28n−5,35n−8).
11. Siguin a,b∈Znombres enters tals que a > 0, b > 0 i mcd(a, b) = 1.
(a) Demostreu que si ab =c2, per a algun nombre enter c, llavors existeixen x,y∈Ztals que a=x2,
b=y2, i mcd(x, y) = 1.
(b) Doneu un exemple que ensenyi que en el cas en qu`e no sigui mcd(a, b) = 1, es pot tenir una
igualtat de la forma ab =c2, amb c∈Z, per`o aibno quadrats.
12. Siguin a,b∈Znombres enters.
(a) Proveu que si mcd(a, b) = 1, llavors mcd(an, bn) = 1, per a tot nombre natural n.
(b) Proveu que si mcd(a, b) = d, llavors mcd(an, bn) = dn, per a tot nombre natural n.
13. (a) Proveu que, per a tot nombre enter n, ´es mcd(n, n + 1) = 1.
(b) Sigui k∈Zun nombre enter tal que, per a tot t∈N, ´es mcd(t, t+k) = 1. Demostreu que k=±1.
(c) Esbrineu per a quins valors de k∈Zes t´e que, per a tot s∈N, ´es mcd(s, s +k) = 2.
1
