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Oscilaciones Amortiguadas
R.D.Arias (201532733), E.J. García (201423067)
Licenciatura en Matemáticas y Física (3487), Universidad del Valle, Cali, Colombia
(010 de marzo de 2017)
Resumen
En dos situaciones experimentales, que involucraban el análisis físico de las oscilaciones amortiguadas obtenidas
en un circuito RLC en serie, haciendo uso de dos modelos lineales:
ln V
00
=− γtt +ln V
0
y w
2
LC
R
2
4 L
2
, se
determinaron los valores experimentales para γt y L , mediante el registro de los datos: a) visualizados en un
osciloscopio, relacionado con el voltaje y el tiempo, en una primera situación; y b) asociados con los valores
calculados para el cuadrado de la frecuencia angular del sistema oscilatorio y las variaciones efectuadas en el
inverso de la capacitancia, para la segunda situación. De esta forma, se investigó la corriente y voltaje del
circuito RLC como función de la frecuencia. Los valores calculados, experimentalmente, de γt y L , son,
respectivamente:( 7,6 ± 0,
3
[
s
− 1
] y (
− 1
[
H
], con errores porcentuales de 3 % y 4%, e
incertidumbres relativas porcentuales de 4% y (
− 3
, correspondientemente. Finalmente, se comprobó una
tendencia lineal para las gráficas:
ln V
00
vs .t y w
2
vs. C
− 1
, una significativa precisión en los datos calculados
(menor al 5%, en las dos situaciones) y se obtuvieron errores porcentuales significativamente bajos (menores al
5%) para γt y L.
INTRODUCCIÓN
En los sistemas oscilantes idealizados no existen
fuerzas no conservativas, la energía mecánica
total es constante y, en este sentido, el sistema
puesto en movimiento sigue oscilando
eternamente sin disminución de la amplitud. No
obstante, los sistemas del mundo real siempre
tienen fuerzas disipadoras, y las oscilaciones
cesan con el tiempo, a menos que un mecanismo
reponga la energía mecánica disipada [1].
Además, se evidencia, en caso de no presentarse
reposición, que la energía mecánica pérdida se
transforma en energía interna en el objeto y el
medio retardador [2].
La disminución de la amplitud causada
por fuerzas disipadoras se denomina
amortiguamiento , y el movimiento
correspondiente se denomina oscilación
amortiguada [1].
Una situación dinámica, perteneciente a
la vida cotidiana, como la oscilación de una
campana que, tarde o temprano, dejaría de oscilar
por la resistencia del aire y la fricción en el punto
de su suspensión, representa un movimiento
amortiguado [1]. Pero no es la única situación
representativa. Se presencia un movimiento
amortiguado al hacer uso de intensidades de
corrientes parásitas, en el rango de 0,2 A −0,8 A ,
en un sistema oscilante de torsión (ver Fig. 1 ),
conformado, fundamentalmente, por un péndulo
de torsión cuya fuerza restauradora está asociada
con la torsión experimentada por una espiral
acoplada al disco rodante [3].
El presente informe de laboratorio,
describe y analiza un movimiento amortiguado, a
partir de situaciones experimentales que
involucran al sistema oscilante de torsión
mencionado anteriormente. La ecuación
diferencial de las oscilaciones amortiguadas en el
péndulo de torsión es [3]
ϕ + 2 γtϕ + ω
0
2
ϕ = 0
Donde
γt es la constante de
amortiguamiento,
ω
0
es la frecuencia natural del
sistema oscilante y ϕ es la elongación angular. La
solución de (1) corresponde a [3]:
ϕ = ϕ
0
e
− γtt
cos
wt + α
ϕ
00
= ϕ
0
e
− γtt
Donde
ϕ
0
es la amplitud de la oscilación
angular a t = 0 , w es la frecuencia angular de las
oscilaciones amortiguadas, y
ϕ
00
es el
decaimiento exponencial de la amplitud de
oscilación angular n función del tiempo[3].
Obteniendo una linealización de (3) , por
medio del logaritmo natural, se consigue el
primer modelo lineal, de
ln ϕ
00
en función del
tiempo, que se presenta a continuación:
ln ϕ
00
=− γtt +ln ϕ
0
Con pendiente
m
1
=− γt
e intercepto con el eje y igual a
b
1
=ln ϕ
0
De acuerdo con (7) , el factor de
amortiguamiento experimental, se determina a
través de la expresión
γt
E
=− m
1
Es importante tener en cuenta que la
frecuencia de oscilación y la frecuencia angular
son obtenidas, respectivamente, por las siguientes
expresiones
f =
T
w = 2 πff (13)
Siendo
T
el período de oscilación.
La frecuencia de las oscilaciones
amortiguadas está dada por la expresión
w
0
= 2 πf f
0
√
LC
Donde
f
0
es la frecuencia del generador
de señales.
Con (14) es posible deducir la frecuencia
angular del sistema oscilador, la cual se expresa
como sigue
w
2
L
C
R
2
4 L
2
(15) es el segundo modelo lineal, de w
2
en
términos del inverso de la capacitancia, el cual es
base para los análisis de la práctica experimental,
objeto del presente informe. La pendiente de
dicho modelo es
m
2
L
2
Figura 3. Gráfica de Desplazamiento en función del
tiempo, para un sistema de oscilaciones forzadas
(0.2 amp).
Figura 4. Gráfica de Desplazamiento en función del
tiempo, para un sistema de oscilaciones forzadas
(0.41 amp).
Figura 5. Gráfica de Desplazamiento en función del
tiempo, para un sistema de oscilaciones forzadas
(0.61 amp).
Figura 6. Gráfica de Desplazamiento en función del
tiempo, para un sistema de oscilaciones forzadas
(0.79 amp).
Conclusiones
Se determinó de forma experimental el valor de
γt
3
[
s
− 1
] con un error porcentual del
3 % y una incertidumbres relativa porcentual de
Se determinó de forma experimental el
valor de L :( 8,3333 ± 0,
− 1
[
H
] con un
error porcentual del 4% y una incertidumbres
relativa porcentual de (
− 3
Se verificó una tendencia lineal para las
gráficas:
ln V
00
vs .t
y w
2
vs. C
− 1
Se observó mediante el osciloscopio, que
las ondas cuadradas a diferencia de las ondas
sinusoidales alternan su valor entre dos valores
externos sin pasar por valores intermedios.
Para un circuito RLC con C variable, se
observó que a medida que se aumenta la
capacitancia, también aumenta el periodo de la
onda de oscilación, por lo que su frecuencia
disminuye.
Referencias Bibliográficas
[1] Young, H. & Freedman, R. (2009). Física
Universitaria, con Física Moderna,
Volumen 2. México: Pearson.
[2] Jewett, J. & Serway, R. (2009). Física
para Ciencias e Ingeniería Con Física
Moderna Volumen 2. México: Cencage
Learning.
[3] Baca, E. & Campillo, G. (s.f.) Guía de
Laboratorio nro.4: Oscilaciones
amortiguadas, forzadas y resonancia
mecánica. Departamento de Física -
Universidad del Valle Sede Meléndez.
Apéndice
A continuación, se presentan las expresiones que
facilitaron el cálculo de los errores y las
incertidumbres experimentales.
S
m
∑
1
n
( F
i
− m x
i
− b )
2
N − 2
N
N
∑
1
N
x
i
2
(
∑
1
N
x
i
)
2
Incertidumbre en la pendiente de la regresión lineal
S
b
∑
1
n
( F
i
− m x
i
− b )
2
N − 2
∑
1
N
x
i
2
N
∑
1
N
x
i
2
(
∑
1
N
x
i
)
2
Incertidumbre del intercepto de la regresión Lineal
E
r
V
exp
− V
teórica
V
teórica
Error relativo porcentual
I
R %
∆ V
V
%
Incertidumbre relativa porcentual
ΔVo =
|
∂ Vo
∂ LnVo
|
∆ LnVo
Incertidumbre Vo experimental
