Circuitos Electricos II
IN1172C
2017‐II
Transformada deLaplace
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Aplicaciones y cálculo de la Transformada de Laplace en circuitos eléctricos, Apuntes de Cálculo
La Transformada de Laplace es una herramienta matemática utilizada en ingeniería y física para resolver ecuaciones diferenciales. En este documento se presentan ejemplos y aplicaciones de su cálculo en circuitos eléctricos, incluyendo la obtención de la transformada inversa y la función de transferencia. Se explican los conceptos de residuos y polos complejos, y se proporcionan ejemplos de cálculo algebraico de la transformada inversa. También se presentan ejemplos de aplicación de la transformada de Laplace en el análisis de circuitos eléctricos, como el cálculo de la respuesta a una entrada escalón.
Tipo: Apuntes
2019/2020
1 / 56
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Circuitos Electricos II
IN1172C
2017‐II
Transformada de Laplace
Introducción
-^
La transformada de Laplace es de amplio uso en Ingeniería Eléctrica porvarias razones. Primero, puede aplicarse a una variedad más amplia deentradas que el análisis fasorial.
-^
En Segundo lugar, proporciona una manera fácil de resolver problemas decircuitos que involucran condiciones iniciales, debido a que permitetrabajar con ecuaciones algebraicas, en lugar de hacerlo con ecuacionesdiferenciales.
-^
Tercero, la transformada de Laplace es capaz de proporcionar, en una solaoperación, la respuesta total del circuito que comprende las respuestasnaturales y las forzadas.
Definición
Por otra parte, la transformada inversa de Laplace
ଵ
, se define
Como: Debido a la complejidad de la resolución de esta integral compleja, seasumirá: La función inversa de Laplace no esta definida para t<0.
ଵ
ݐ^
݀௦௧
ఙାஶఙିஶ݂
ݐ^
Transformada de Laplace
Ejemplo:
Obtener la Transformada de Laplace para las siguientes
funciones:
݂௧
ݐ^
௧
uሺtሻࣦ݁ି
௦௧
ି݁௧
݀௦௧
௦ା ௧ ܽ ݏ
|^
ష ஶ
ஶ ି݁షࣦ^
௧
ି݁௧
௦௧
௦ା ௧ ܽ ݏ
|^
ష ஶ
ஶ ݂ష^
ൌ uሺtሻࣦ
݀௦௧
௦ ௧ ݏ
|^
ష ஶ
ஶ ష^
ݐ^
݁ ௧
Transformada de Laplace
Otras funciones de Transformada de Laplace relevantes son:݂
ݐ^
݀௦௧
ఠ௧
ఠ௧ ି݆݁
௦௧
ஶ ష^
ஶ ష^
ሺ௦ିఠሻ௧
ሺ௦ାఠሻ௧݁ି
௦௧
ଶ
ଶ
ஶ ܿషࣦ^
ଶ
݂ଶ
Propiedades Transformada de Laplace
Fuente: Introduccion a
Circuitos Eléctricos – Dorf, Svodoba
Transformadas de Laplace Inversa
Fuente: Introducción a
Circuitos Eléctricos – Dorf, Svodoba
Generalmente, la Transformada de Laplace se puede representar como unpolinomio en función de
s
Donde las raíces del polinomio N(s) se denominan ceros, y las raíces delpolinomio D(s) se denominan polos. Los polos podrán ser reales o complejos.La forma de encontrar la Inversa de la Transformada de Laplace es a través defracciones parciales. De esta forma se descompone la función F(s). Loscoeficientes de las funciones parciales se denominan residuos, y se evalúan paracada polo:
ଵ^
ଶ
ଷ^
Finalmente, se busca una expresión que coincida con las formas típicas deTransformada de Laplace.
Transformada Inversa de Laplace
Ejemplo:
Obtener la Transformada Inversa de Laplace para la siguiente
función:
ଶ
ଶ
ଵ
ଶ
ଵ
|^ ௦ୀିଶ
ଶ
|^ ௦ୀିହ
Transformadas de Laplace Inversa
Fuente: Introducción a
Circuitos Eléctricos – Dorf, Svodoba
Si un polinomio posee polos complejos, entonces el residual también poseenúmeros complejos:Donde
ଷ
es la expresion asociada a otros polos o ceros de la funcion
Resolviendo la expresión anterior:
Transformadas de Laplace Inversa
Fuente: Introducción a
Circuitos Eléctricos – Dorf, Svodoba
La expresión anterior se puede reescribir como:Donde
ଵ
ൌ 2 ܿy ܭ
ଶ
.^
Resolviendo la expresión anterior con
Transformada Inversa de Laplace:
Transformada Inversa de Laplace
ݐ^
ଵ^
ଵ
ݐ^
௧
ݐ ܾcos
௧
ݐ^
ଵ
ݐ^
ଷ௧
cos ݐ
ଷ௧
ݐ^
ଶ௧
Transformadas de Laplace Inversa
Fuente: Introducción a
Circuitos Eléctricos – Dorf, Svodoba
Si un polinomio posee polos repetidos (polos dobles o mas):Donde
ଷ
es la expresion asociada a otros polos o ceros de la funcion.
Entonces, los residuos asociados a los polos repetidos están dados por: Resolviendo la expression anterior:
Transformada Inversa de Laplace
ݐ^
ଵ^
ଵ
ଶ
ଶ
ݐ^
௧^
௧^
ଶ௧
Transformadas de Laplace Inversa
Por ultimo, existe también un método algebraico de calculo de la TransformadaInversa de Laplace que consiste en calcular los factores del Método de losresiduos en forma algebraica. Ejemplo:
Obtener la Transformada Inversa de Laplace para la siguiente función:
ଶ
ଶ
ଶ
ଷ
ଶ
ଵ^
ଶ
ଷ
ଶ
ଵ^
ଶ
ଶ
ଶ
ଷ
ଶ
Al igualar los coeficientes:
ଵ
ଵ^
ଵ
ଶ
ଷ
ଶ
ଷ
ଵ^
ଶ^
ଷ^
ଶ
ଷ
ଶ
ଷ