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MATEM
ATICAS I
Grado en Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas Industriales. Curso 2017-2018.
Departamento de Matem´atica Aplicada II. Universidad de Sevilla.
Lecci´on 1. C´onicas y cu´adricas.
Gui´on de la lecci´on.
- Elipses, hip´erbolas y par´abolas.
Par´abola. Dada una recta L, llamada directriz, y un punto fijo F (no pertene- ciente a la recta), llamado foco, el conjunto de los puntos del plano que equidistan de la recta L y del punto F se denomina par´abola de foco F y directriz L.
Ecuaci´on de la par´abola. Se toma el sistema de referencia dado por:
- eje OX , la recta que pasa por el foco F y es perpendicular a la directriz L;
- origen del sistema de referencia, el punto O de dicha recta que equidista del foco y de la directriz;
- eje OY , la recta que pasa por O y es paralela a la directriz. Si se denota la distancia del foco F a la directriz L por d(F, L) = p > 0 entonces tenemos que, en este sistema de ejes,
F =
(p 2
y L ≡ x = −
p 2
Adem´as, un punto P = (x, y) pertenece a la par´abola considerada si y s´olo si
y^2 = 2px
Observemos que esta par´abola es sim´etrica respecto al eje OX que tiene de ecua- ci´on y = 0.
Elementos notables de la par´abola.
- Eje de la par´abola es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco. En este caso es el eje OX.
- V´ertice es el punto de intersecci´on de la par´abola con dicho eje. En este caso, es el origen de coordenadas (0, 0).
Algunas variantes de la ecuaci´on de la par´abola.
- Si a esta par´abola le efectuamos un giro de 180 grados, obtenemos una par´abola
con v´ertice en (0, 0), con eje de simetr´ıa el eje OX, con foco F˜ = (−
p 2
, 0), con
directriz L˜ ≡ x =
p 2
y de ecuaci´on
y^2 = − 2 px con p = d( F ,˜ L˜) = d(F, L).
- Si en vez de efectuarle un giro se le hace una traslaci´on de manera que el eje de simetr´ıa tenga por ecuaci´on y = β y su v´ertice sea el punto (α, β) obtenemos otra
par´abola con foco F˜ = (
p 2
- α, β), con directriz L˜ ≡ x = −
p 2
(y − β)^2 = 2p (x − α) con p = d( F ,˜ L˜) = d(F, L).
- De forma an´aloga, si intercambiamos en todo momento los papeles de x e y, obtenemos que una ecuaci´on del tipo
x^2 = 2py con p = d(F, L).
define una par´abola con eje de simetr´ıa el eje OY y v´ertice el origen de coorde- nadas.
- Si a esta par´abola le efectuamos un giro de 180 grados, obtenemos una par´abola
con v´ertice en (0, 0), con eje de simetr´ıa el eje OY, con foco F˜ =
p 2
, con
directriz L˜ ≡ y =
p 2
y de ecuaci´on
x^2 = − 2 py con p = d( F ,˜ L˜) = d(F, L).
- Si en vez de efectuarle un giro se le hace una traslaci´on de manera que el eje de simetr´ıa tenga por ecuaci´on x = α y su v´ertice sea el punto (α, β) obtenemos otra
par´abola con foco F˜ =
α,
p 2
, con directriz L˜ ≡ y = −
p 2
(x − α)^2 = 2p (y − β) con p = d( F ,˜ L˜) = d(F, L).
El eje OX y el eje OY son ejes de simetr´ıa de dicha elipse, y por tanto, la elipse es sim´etrica respecto del punto medio de los focos que se llama centro de la elipse. La circunferencia no es m´as que un caso particular de la elipse, que se ob- tiene cuando los dos focos son un mismo punto que se denomina centro de la circunferencia: si F 1 = F 2 tenemos que c = 0 y, por tanto, a = b.
Elementos notables de la elipse.
- Centro de la elipse es el punto medio de los focos. En este caso es el origen de coordenadas (0, 0).
- Ejes de la elipse son dos: por un lado, la recta que une los dos focos y, por otro, la recta perpendicular a ´esta que pasa por el centro. En este caso son, el eje OX y el eje OY, respectivamente.
- V´ertices son los puntos en los que los ejes cortan a la elipse. En este caso, los puntos (±a, 0) y (0, ±b).
- Semiejes de la elipse, son las distancias de los v´ertices al centro de la elipse. En este caso, a y b.
Algunas variantes de la ecuaci´on de la elipse.
- Si a esta elipse se le hace una traslaci´on de manera que los ejes de simetr´ıa sean paralelos a los ejes coordenados y su centro sea el punto (α, β) obtenemos otra
elipse con focos ˜F 1 = (c + α, β) y ˜F 2 = (−c + α, β) y de ecuaci´on
(x − α)^2 a^2
(y − β)^2 b^2
= 1 con b^2 = a^2 − c^2 y 2c = d(˜F 1 , ˜F 2 ) = d(F 1 , F 2 )
- Si hacemos el mismo razonamiento que antes pero intercambiando en todo momento los papeles de x e y, esto es tomando como eje OY el que contiene a los focos, entonces obtenemos una ecuaci´on del tipo
x^2 a^2
y^2 b^2
= 1 con a^2 = b^2 − c^2
que corresponde a una elipse con semiejes a y b con a < b.
Hip´erbola. Se denomina hip´erbola al conjunto de los puntos del plano cuya diferencia de las distancias a dos puntos fijos F 1 y F 2 , que llamaremos focos de la hip´erbola, es constante. A esa constante se le suele denotar por 2a > 0 y debe ser menor que la distancia entre los focos.
Ecuaci´on de la hip´erbola. Se toma el sistema de referencia dado por:
- eje OX, la recta que une los focos F 1 y F 2 ;
- eje OY , la recta perpendicular al eje OX que pasa por el punto medio de los focos;
- origen O del sistema de referencia, tomamos dicho punto medio. Si la distancia entre los focos se denota por d(F 1 , F 2 ) = 2c > 0 con a < c, tenemos que en este sistema de referencia,
F 1 = (c, 0) y F 2 = (−c, 0).
Adem´as, un punto P = (x, y) pertenece a la hip´erbola considerada si y s´olo si
x^2 a^2
y^2 b^2
= 1 con b^2 = c^2 − a^2.
Notemos que el eje OX y el eje OY son ejes de simetr´ıa de dicha hip´erbola, y por tanto, la hip´erbola es sim´etrica respecto del punto medio de los focos que se llama centro de la hip´erbola.
Nota. La elipse, la hip´erbola y la par´abola son tambi´en llamadas secciones c´onicas pues son curvas que se obtienen al seccionar un cono circular recto mediante un plano (ver figuras). M´as concretamente, (a) La hip´erbola, se obtiene al cortar el cono con un plano que no pase por el v´ertice y cuyo ´angulo de inclinaci´on respecto al eje del cono sea menor que el de la generatriz del cono. (b) La par´abola, se obtiene al cortar el cono con un plano que no pase por el v´ertice y sea paralelo a una generatriz. (c) La elipse, se obtiene al cortar el cono con un plano que no pase por el v´ertice y cuyo ´angulo de inclinaci´on respecto al eje del cono sea mayor que el de la generatriz del cono. La circunferencia se obtiene como un caso particular de elipse si cortamos con un plano perpendicular al eje del cono.
- C´onicas.
C´onica. Una c´onica es el lugar geom´etrico de los puntos del plano cuyas coor- denadas (x, y) verifican una ecuaci´on de segundo grado del tipo
a 11 x^2 + a 22 y^2 + 2a 12 xy + 2a 1 x + 2a 2 y + a 0 = 0.
Las par´abolas, elipses e hip´erbolas son casos particulares. Pero tambi´en est´an las llamadas c´onicas degeneradas:
- Un par de rectas que se cortan en un punto. Por ejemplo: x^2 − y^2 = 0, esto es, x = ±y.
- Un par de rectas paralelas. Por ejemplo: x^2 − 4 = 0, esto es, x = ± 4.
- Un par de rectas coincidentes. Por ejemplo: x^2 = 0, esto es, x = 0 dos veces.
- Un ´unico punto. Por ejemplo: x^2 + y^2 = 0, esto es, (x, y) = (0, 0).
- El vac´ıo. Por ejemplo x^2 + y^2 + 1 = 0.
Reducci´on de la ecuaci´on de una c´onica sin t´ermino cruzado. En par- ticular aquellas ecuaciones de segundo grado sin t´ermino en xy (esto es, con a 12 = 0) corresponden a c´onicas cuyas ecuaciones pueden reducirse completando cuadrados y realizando una traslaci´on a uno de los siguientes tipos de ecuaciones:
AX^2 + BY 2 + C = 0 ,
AX^2 + BY + C = 0 ,
donde los coeficientes de los t´erminos de grado dos son no nulos. Estas ecuacio- nes se denominan ecuaciones reducidas de la c´onica o ecuaciones de la c´onica referidas a sus ejes.
C´onica tipo el´ıptico. Se obtiene cuando al reducir la ecuaci´on se llega a la expresi´on AX^2 + BY 2 + C = 0,
con los coeficientes A y B del mismo signo. Llegamos a uno de los tres casos siguientes, dependiendo del signo de C:
- Si C tiene distinto signo que el de A y B, entonces obtenemos una elipse.
- Si C tiene el mismo signo que el de A y B, entonces obtenemos el vac´ıo.
- Si C = 0, entonces obtenemos un punto.
C´onica tipo hiperb´olico. Se obtiene cuando al reducir la ecuaci´on se llega a la expresi´on AX^2 + BY 2 + C = 0,
con los coeficientes A y B de distinto signo. Llegamos a uno de los dos casos siguientes, dependiendo de C:
- Si C 6 = 0, entonces obtenemos una hip´erbola.
- Si C = 0, entonces obtenemos un par de rectas secantes.
C´onica tipo parab´olico. Se obtiene cuando al reducir la ecuaci´on se llega a la expresi´on AX^2 + BY + C = 0.
Llegamos a uno de los dos casos siguientes, dependiendo de B y de C:
- Si B 6 = 0, entonces obtenemos una par´abola.
- Si B = 0 y C tiene el mismo signo que A, entonces obtenemos el vac´ıo.
- Si B = 0 y C tiene distinto signo que A, entonces obtenemos un par de rectas paralelas.
- Si B = C = 0, entonces obtenemos una recta.
- Cu´adricas.
Cu´adrica. Una cu´adrica es una superficie formada por todos los puntos del espacio cuyas coordenadas (x, y, z) verifican una ecuaci´on de segundo grado del tipo
a 11 x^2 + a 22 y^2 + a 33 z^2 + 2a 12 xy + 2a 13 xz + 2a 23 yz + 2a 1 x + 2a 2 y + 2a 3 z + a 0 = 0.
Reducci´on de la ecuaci´on de una cu´adrica sin t´erminos cruzados. En particular aquellas ecuaciones de segundo grado sin t´erminos cruzados pueden
Caso 2: Un punto. La ecuaci´on
X^2 a^2
Y 2
b^2
Z^2
c^2
corresponde a un ´unico punto, es este caso, el (X, Y, Z) = (0, 0 , 0).
Caso 3: Vac´ıo. La ecuaci´on
X^2 a^2
Y 2
b^2
Z^2
c^2
no tiene soluci´on real y no corresponde a ninguna superficie real.
Cu´adrica tipo hiperboloide. Los hiperboloides se obtienen cuando, una vez completado cuadrados, aparecen las tres variables elevadas al cuadrado pero NO todos los coeficientes son del mismo signo. Llegamos a uno de los tres casos siguientes, dependiendo del signo del segundo t´ermino:
X^2
a^2
Y 2
b^2
Z^2
c^2
0 con a, b, c 6 = 0 − 1
Caso 1: Hiperboloide hiperb´olico o de una hoja. La ecuaci´on
X^2 a^2
Y 2
b^2
Z^2
c^2
corresponde a un hiperboloide hiperb´olico o hiperboloide de una hoja. Sus elemen- tos notables son:
- Centro del hiperboloide, que en este caso es el origen de coordenadas y es un punto de simetr´ıa.
- Eje del hiperboloide, que en este caso es el eje OZ ≡ {x = 0, y = 0}.
Hiperboloide de una hoja
Caso 2: Hiperboloide el´ıptico o de dos hojas. La ecuaci´on
X^2 a^2
Y 2
b^2
Z^2
c^2
corresponde a un hiperboloide el´ıptico o hiperboloide de dos hojas. Sus elementos notables son:
- Centro del hiperboloide, que en este caso es el origen de coordenadas y es un punto de simetr´ıa.
- Eje del hiperboloide, que en este caso es el eje OZ ≡ {x = 0, y = 0}.
- Sus v´ertices (puntos de intersecci´on de la superficie con su eje), que en este caso son los puntos (0, 0 , ±c).
Hiperboloide de dos hojas
Caso 3: Cono. La ecuaci´on
X^2 a^2
Y 2
b^2
Z^2
c^2
corresponde a un cono. Se puede considerar como un caso l´ımite o degenerado entre los dos tipos de hiperboloides que acabamos de describir. Sus elementos notables son:
- Eje del cono, que en este caso es el eje OZ ≡ {x = 0, y = 0}.
- V´ertice (punto de corte de la superficie con su eje) que en este caso es el origen de coordenadas y es un punto de simetr´ıa.
corresponde a un paraboloide hiperb´olico. Sus elementos notables son:
- Eje del paraboloide, que en este caso es el eje OZ ≡ {x = 0, y = 0}.
- V´ertice (punto de corte del paraboloide con su eje) que en este caso es el origen de coordenadas.
Paraboloide hiperb´olico
Cilindros. Los cilindros se obtienen cuando, una vez completado cuadrados, alguna de las variables no aparece en la ecuaci´on o, a´un apareciendo las tres variables, s´olo hay una de ellas elevada al cuadrado. Un cilindro puede entenderse como una c´onica desplazada a lo largo de todo un eje.
Caso 1: Una de las variables no aparece. Dependiendo de las otras dos variables se pueden obtener distintos cilindros: cilindros el´ıpticos, cilindros hiperb´olicos y cilindros parab´olicos. Estos tipos incluyen los casos degenerados. Por ejemplo,
(a) los puntos (X, Y, Z) que satisfacen
X^2
a^2
Y 2
b^2
= 1 y Z toma cualquier valor,
corresponde a un cilindro el´ıptico;
(b) los puntos (X, Y, Z) que satisfacen
X^2
a^2
Y 2
b^2
= −1 y Z toma cualquier
valor, corresponde a un cilindro hiperb´olico; (c) los puntos (X, Y, Z) que satisfacen Z^2 = 2pY y X toma cualquier valor, corresponde a un cilindro parab´olico, etc.
Cilindro el´ıptico Cilindro hiperb´olico Cilindro parab´olico
Caso 2: Dos variables de grado uno y una de grado dos. En este caso se obtiene un cilindro parab´olico en el que la recta que contiene a los v´ertices de las par´abolas no es paralela a ninguno de los ejes coordenados.
(a) x^2 + 2y^2 − 4 x − 45 y + 4 = 0. (b) x^2 + y^2 − 2 x − 6 y + 10 = 0. (c) y^2 − 4 y = 0.
Ejercicio 12. Determina, seg´un los valores de α ∈ R, el tipo de c´onica que corresponde a cada una de las ecuaciones siguientes: (a) 2x^2 + (α^2 − 1)y^2 − 2 x + (α − 1)y − 3 = 0. (b) x^2 + αy^2 + x + 2y + α − 1 = 0. (c) αx^2 + (α^2 − α)y^2 − 2 x − 4 y + 2 = 0.
Ejercicio 13. Determina, si existen, los valores de α ∈ R para los que la siguiente ecuaci´on corresponde a una circunferencia o a una hip´erbola equil´atera
2 x^2 + αy^2 − 6 x + 3y + α = 0.
Ejercicio 14. Determina a qu´e tipo de cu´adrica corresponde cada una de las ecuaciones siguientes. Halla sus elementos notables. (a) 16x^2 + 9y^2 + 4z^2 − 32 x − 36 y + 36 = 0. (b) 4x^2 − 4 y^2 − z^2 − 16 x − 2 z + 15 = 0. (c) x^2 − z^2 − 2 x + 4z + 1 = 0. (d) x^2 − 2 y^2 − 2 x + 8y − z − 5 = 0.
Ejercicio 15. Determina, seg´un los valores de a ∈ R, el tipo de cu´adrica al que corresponden las ecuaciones siguientes: (a) x^2 + ay^2 + z^2 − 6 x + 4z + 8 − a = 0. (b) ax^2 + (4 − a^2 )y^2 − z + 1 = 0. (c) (a + 1)x^2 + (a^2 − 4)y^2 + az^2 = −a^2 + a + 2. (d) x^2 − y^2 + z^2 − 2 x + 4y + 6z + a = 0. (e) x^2 + (a^2 − 4)y^2 + (a + 2)z^2 − a = 0.
Ejercicio 16. Clasifica, seg´un los valores de a ∈ R, la cu´adrica de ecuaci´on
4 x^2 − ay^2 + 9z^2 − 16 x − 2 ay − 18 z = 2a − 25.
Para a = 36, dibuja la cu´adrica que se obtiene y halla sus elementos notables.
Ejercicio 17. Observa la cu´adrica de la figura y determina su ecuaci´on en coor- denadas x, y y z.
Ejercicio 18. Completa cuadrados en las siguientes ecuaciones y determina el tipo de cu´adrica que es, sus elementos notables y su representaci´on gr´afica: (a) x^2 + 3y^2 + z^2 + 2x + 5y − 2 z + 1 = 0. (b) 3x^2 + y^2 − z^2 + x + 2y + 2z + 1 = 0. (c) x^2 + y^2 + x + 4y + 3z − 1 = 0. (d)x^2 + y^2 + x + 4y − z^2 − 1 = 0. (e) x^2 + y^2 + x + 4y − 1 = 0. (f) x^2 − y^2 + x + 4y − 1 = 0. (g) x^2 − y^2 + x + 4y + z − 1 = 0.
Ejercicio 19. Determina, seg´un los valores de α ∈ R, el tipo de cu´adrica que corresponde a cada una de las ecuaciones siguientes: (a) 2x^2 + (α^2 − 1)y^2 + z^2 + 2x + 5y − 2 z + 1 = 0. (b) x^2 + αy^2 + x + 2y + (α − 1)z + 1 = 0. (c) αx^2 + (α^2 − α)y^2 + α^3 z^2 + x + 4y − 1 = 0.
Ejercicio 20. Determina, seg´un los valores de α ∈ R, el tipo de cu´adrica que corresponde a cada una de las ecuaciones siguientes: (a) αx^2 + (4 − α^2 )y^2 − z + 1 = 0. (b) x^2 + αy^2 + z^2 − 6 x + 4z + 8 − α = 0. (c) x^2 − y^2 + z^2 − 2 x + 4y + 6z + α = 0. Ejercicio 21. Indica la respuesta correcta:
(a) La ecuaci´on y^2 − 6 x − 4 y − 20 = 0 corresponde a:
Una par´abola cuyo v´ertice es V = (− 4 , 2).
Una par´abola cuyo eje es la recta de ecuaci´on y = −4.
Dos rectas que se cortan en un punto.
(b) La ecuaci´on 5x^2 + y^2 = 1 corresponde a:
Una elipse con focos en el eje de abscisas.
Una elipse con focos en el eje de ordenadas.
Una hip´erbola.
(c) La cu´adrica x^2 − y^2 + z^2 + 4y + 6z + 13 = 0 verifica:
Tiene por centro C = (0, 2 , −3).
Contiene a la recta x − 1 = y − 2 , z = 4.
No tiene centro.
