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Tipo: Monografías, Ensayos
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Palabras Claves: inecuaciones, desigualdades, inecuaci´on lineal, inecuaci´on no lineal.
Una inecuaci´on es una desigualdad de expresiones algebraicas en la cual se desconoce alg´un o algunos valores, los cuales se llaman variables. Por ejemplo:
2 x −
es una inecuaci´on en la que la letra x representa la variable, es decir, x simboliza lo que se desconoce. El objetivo es encontrar todos los posibles valores de x de tal manera que la desigualdad sea verdadera.
Observe de nuevo la inecuaci´on escrita arriba, una diferencia entre una ecuaci´on y una inecuaci´on es el signo de la de- sigualdad que compara las expresiones; recuerde que las ecuaciones son igualdades, y se representan con la notaci´on igual que:“=”. Las inecuaciones son desigualdades (expresiones que no son iguales), las cuales se representan con las notaciones: “>, <, ≤, ≥”. La siguiente tabla muestra el significado de cada uno. Tabla 1. Sí mbolos utilizados en las desigualdades
Otra de las diferencias entre ecuaciones e inecuaciones son el tipo de soluci´on de cada una, note que la soluci´on de la de-
sigualdad anterior no es solo un n´umero; por ejemplo al reemplazar por − 1 , − 2. 3 , − 17 3
, ..., la desigualdad es verdadera. El
conjunto soluci´on de una inecuaci´on es un intervalo.
Fuente: elaboración propia
Fuente: elaboración propia
Tabla 3: intervalos de n ú meros reales
Al igual que las ecuaciones, para resolver una inecuaci´on, se intenta encontrar una inecuaci´on equivalente m´as sencilla; dos inecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones. En el caso de las inecuaciones, estas soluciones se representan por medio de intervalos.
En las desigualdades se usan algunas propiedades (similares a las de la igualdad) para poder aislar la variable. En la si- guiente tabla se utiliza la notaci´on ≤ en cada propiedad, pero esta se puede aplicar con cualquiera de los cuatro s´ımbolos de desigualdades.
Fuente: elaboración propia
Note que algunas propiedades invierte la dirección de la desigualdad, por ejemplo: se sabe que 3 < 6, al hacer uso de la propiedad multiplicativa, se puede multiplicar por − 3 a ambas cantidades, quedando − 9 > −18, es decir, se invirtió la dirección de menor que a mayor que pues se multiplicó por una cantidad negativa.
Utilizando estas propiedades se puede encontrar la soluci´on de la inecuaci´on :
2 x − 3 2
Tabla 4. P ropiedades de las desigualdades
Resolver la inecuaci´on
2 u^ −^5 ≥ −^4 u^ +^ 1.
Soluci´on: El objetivo es, por medio de las propiedades de la tabla 4 encontrar una desigualdad equivalente donde la variable quede aislada, preferiblemente al lado izquierdo.
9 2
u − 5 ≥ − 4 u + 1 9 2
u − 5 + 4 u ≥ 1 Propiedad aditiva, se suma 4u 17 ( 2 u^ ≥^1 +^5 Propiedad aditiva, se suma 5 2 17
u ≥
(6) Propiedad multiplicativa, se multiplica por 2 17 2 17
0, no cambia la direcci´on de la desigualdad u ≥ 12 17
Simplificaci´on de t´erminos
El conjunto soluci´on est´a formado por los n´umeros mayores o iguales a
17 , la soluci´on es el intervalo
Resolver la inecuaci´on −x − 4 < 4 x^2 + 4.
Soluci´on:
−x − 4 < 4 x^ +^4 2 − 2 x − 8 < 4 x + 4 Propiedad multiplicativa, se multiplica por 2 2 > 0, se cambia la direcci´on de la desigualdad − 6 x − 8 < 4 Propiedad aditiva, se suma (− 4 x)
(^ −^6 x^ <^12 Propiedad aditiva, se suma 8 − (^16)
(− 6 x) > − 126 Propiedad multiplicativa, se multiplica por − (^16)
− 1 6
< 0, se cambia la direcci´on de la desigualdad x > − 2
El conjunto soluci´on est´a formado por los n´umeros mayores a −2, la soluci´on es el intervalo (− 2 , ∞).
Resolver las desigualdades 3 <
y + 1 2 ≤^
Soluci´on: Este tipo de desigualdades, en las que se comparan tres cantidades, tambi´en se pueden resolver utilizando las propiedades de la tabla 4, se busca una inecuaci´on equivalente en donde la variable y est´e aislada en la mitad de las desigualdades.
3 < y^ + 2 1 ≤ (^203) 6 < y + 1 ≤ 40 3
Propiedad multiplicativa, se multiplica por 2 2 > 0, no cambia la direcci´on de la desigualdad 5 < y ≤ 403 − 1 Propiedad aditiva, se suma (−1)
5 < y ≤
3 Simplificaci´on de t´erminos
El conjunto soluci´on est´a formado por los n´umeros que est´an entre 5, sin incluirlo, y^37 3
, incluy´endolo. la soluci´on es el
intervalo
En los siguientes problemas se evidencia el uso de las inecuaciones lineales:
La etiqueta de una bebida indica que se debe conservar a una temperatura entre − 2 ◦C y 5◦C. Si la relaci´on entre grados Celsius (◦C) y Fahrenheit (◦F)es:
C = 59 (F − 32)
¿A qu´e intervalo de temperaturas, en escala Fahrenheit, se debe conservar la bebida?
Soluci´on: La pregunta pide encontrar un intervalo en escala Fahrenheit, los datos del enunciado se pueden expresar como:
− 2 < C < 5
Al resolverla se llega a la soluci´on:
35000 n − (15000000 + 24000 n) > 0 35000 n − 15000000 − 24000 n > 0 Propiedad distributiva 11000 n − 15000000 > 0 Simplificaci´on de t´erminos semejantes 11000 n > 15000000 Propiedad aditiva, se suma 15000000 n > 15000000 11000
Propiedad multiplicativa, se multiplica por 1 1 11000 11000 >^ 0, se cambia la direcci´on de la desigualdad n > 15000 11
Simplificaci´on de t´erminos
15000 11
≈ 1363 .63, entonces, para obtener utilidades, se deben producir y vender mensualmente al menos 1364 unidades.
Las desigualdades que contienen cuadrados y otras potencias de la variable no se pueden resolver con los procesos utilizados en las desigualdades lineales, en realidad, se utiliza parte de estos pero se debe realizar unos pasos adicionales para encontrar reducir la desigualdad, utilice la siguiente gu´ıa para encontrar la soluci´on de desigualdades que no son lineales:
Resolver la inecuaci´on − 2 y^2 ≤ −8.
Soluci´on: Primero, todos los t´erminos que no son cero deben estar al lado izquierdo de la desigualdad, sumando 8 a ambos lados queda: − 2 y^2 + 8 ≤ 0, ahora se resuelve la ecuaci´on:
− 2 y^2 + 8 = 0 −2(y^2 − 4) = 0 Factor com´un −2(y − 2)(y + 2) = 0 Diferencia de cuadrados
y − 2 = 0 , y + 2 = 0 Propiedad de producto cero y = 2 , y = − 2
Las soluciones de la ecuaci´on son 2, −2.
La desigualdad no tiene restricciones, por tanto, la recta real se divide en tres intervalos: (−∞, −2), (− 2 , 2) y (2, ∞), ahora se escoge un n´umero en cada intervalo, se reemplaza en la desigualdad y se verifica si es verdadera o no.
: se escoge m = −6,
2 m^2 + 8 m + 6 2 − m −^3 =^
4 ≤^ 0(falso), por tanto, el intervalo no es soluci´on de la desigualdad.
: se escoge m = −1,^2 m
(^2) + 8 m + 6 2 − m −^3 =^
− 3 ≤ 0(verdadero), por tanto, el intervalo es soluci´on de la desigualdad.
(^2) + 8 m + 6 2 − m −^3 =^
13 ≤ 0(falso), por tanto, el intervalo no es soluci´on de la desigualdad.
(^2) + 8 m + 6 2 − m −^3 =^
− 51 ≤ 0(verdadero), por tanto, el intervalo es soluci´on de la desigualdad.
Como el s´ımbolo de desigualdad es menor o igual que, entonces −
2 y 0 satisfacen la desigualdad. La soluci´on de la
inecuaci´on
2 m^2 + 8 m + 6 2 − m ≤^ 3 es: − 112 ≤ m ≤ 0 , y m > 2
que en notaci´on de intervalo es:
Resolver la inecuaci´on 16t^2 < 20 t − 4.
Soluci´on: Primero, todos los t´erminos que no son cero deben estar al lado izquierdo de la desigualdad, sumando − 20 t y 4 a ambos lados se tiene 16t^2 − 20 t + 4 < 0, ahora se resuelve la ecuaci´on:
16 t^2 − 20 t + 4 = 0 4(4t^2 − 5 t + 1) = 0 Factor com´un 4(t − 1)(4y − 1) = 0 Factorizaci´on trinomio cuadrado
t − 1 = 0 , 4 t − 1 = 0 Propiedad de producto cero t = 1 , t =
Las soluciones de la ecuaci´on son^14 , 1.
La desigualdad no tiene restricciones, por tanto, la recta real se divide en tres intervalos:
y (1, ∞), ahora se
escoge un n´umero en cada intervalo, se reemplaza en la desigualdad y se verifica si es verdadera o no.
: se escoge t = 0, 16t^2 − 20 t + 4 = 16(0)^2 − 20(0) + 4 = 4, 4 < 0(falso), por tanto, el intervalo no es soluci´on de la desigualdad.
: se escoge t = 0 .5, 16t^2 − 20 t + 4 = 16(0.5)^2 − 20(0.5) + 4 = −2, − 2 < 0 (verdadero), por tanto, el intervalo es soluci´on de la desigualdad.
Como el s´ımbolo de desigualdad es menor que, entonces^1 4
y 1 no satisfacen la desigualdad. La soluci´on de la inecuaci´on
16 t^2 < 20 t − 4 es: 1 4 <^ t^ <^1
que en notaci´on de intervalo es:
En los siguientes problemas se evidencia el uso de las inecuaciones no lineales:
Lanzamiento de un proyectil: Suponga que cierto cuerpo se lanza hacia arriba a una velocidad v 0 m/s, desde una altura h 0 sobre el nivel del suelo. La altura del cuerpo despu´es de t segundos se puede modelar con la ecuaci´on:
h = − 4. 9 t^2 + v 0 t + h 0
donde h es la altura, medida en metros y t s el tiempo, medido en segundos. Si una bola se lanza con una velocidad de 4.87m/s hacia arriba, desde el ´ultimo piso de un edificio, a una altura de 40. 25 metros sobre el nivel del suelo. ¿Durante qu´e intervalo de tiempo la bola estar´a al menos a 10 metros sobre el suelo?.
Como el s´ımbolo de desigualdad es mayor o igual que, entonces 0 y 3.03 satisfacen la desigualdad. La soluci´on es aproxi- madamente: 0 ≤ t ≤ 3
Durante el intervalo [0, 3] la bola est´a al menos a 10 pies de altura.
Ingresos del fabricante: al precio de p pesos por unidad, n unidades de cierto producto pueden venderse al mes en el mer- cado, con p = 720000 − 6000 n. ¿Cu´antas unidades deber´an venderse cada mes de tal manera de garantizar un ingreso por lo menos de $15, 000 , 000
Soluci´on: En este ejemplo se debe tener en cuenta la ecuaci´on de Ingreso, la cual se determina con la multiplicaci´on de las unidades vendidas (n) y el precio por unidad (p):
I = p · n I = (720000 − 6000 n)n
La pregunta pide encontrar el n´umero de unidades que garantice un ingreso mayor o igual a $15, 000 , 000, esto se puede expresar como I ≥ 15000000, por tanto, al reemplazar los ingresos en la desigualdad se tiene:
(720000 − 6000 n)n ≥ 15000000 − 6000 n^2 + 720000 n − 15000000 ≥ 0
Para resolver esta inecuaci´on, primero se debe resolver la ecuaci´on − 6000 n^2 + 720000 n − 15000000 = 0, cuyas soluciones son t ≈ 27 .82 y t ≈ 82 .95. El n´umero de unidades vendidas debe ser positivo (no tiene sentido un n´umero negativo para n), por tanto, la recta real se divide en tres intervalos, : (0, 27 .82), (27. 82 , 82 .95) y (82. 95 , ∞). Ahora se escoge un n´umero en cada intervalo, se reemplaza en la desigualdad y se verifica si es verdadera o no.
Las unidades vendidas deben ser n´umeros enteros, la soluci´on es:
28 ≤ n ≤ 82
Se deben vender desde 28 hasta 82 unidades para garantizar un ingreso por lo menos de $15, 000 , 000.
Resuelva las siguientes inecuaciones:
4 t^ −^
x
< x
≤ 2 x^ −^13 12
(^2) − am − 3 1 − m
h = − 4. 9 t^2 + h 0
donde h es la altura, medida en metros y t s el tiempo, medido en segundos. Si una bola se deja caer desde un edificio de 175 metros de alto. ¿En qu´e intervalo de tiempo la bola est´a a una altura de al menos 70 metros sobre el suelo?
10 p^ +^13900 ¿En qu´e intervalo de precios se garantiza un ingreso de al menos de $150,000,000?
Referencias
Chappe, A., Zambrano, M., y Ar´evalo D. (2012). Introducci´on a las Matem´aticas. 1a. ed. Instituci´on Universitaria Polit´ecnico Grancolombiano.
Jaimes, N. (2013a). Inecuaciones lineales - Cartilla. Bogot´a, Colombia: Polit´ecnico Gran Colombiano - Educaci´on Virtual.
Jaimes, N. (2013b). Inecuaciones no lineales - Cartilla. Bogot´a, Colombia: Polit´ecnico Gran Colombiano - Educaci´on Vir- tual.
Stewart. I. (2008). Historia de las Matem´aticas en los ´ultimos 10.000 a˜nos. Cr´ıtica, Espa˜na.
Stewart. J. (2012). Prec´alculo. Matem´aticas para el c´alculo. Sexta edici´on. Editorial Cengage Learning.
