Leyes de los Exponentes: Teoría y Ejemplos, Guías, Proyectos, Investigaciones de Matemáticas

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INFORME LEY DE LOS EXPONENTES

INDICE

INTRODUCCION

• INTRODUCCION.................................................................................................................................. Contenido
• MARCO TEORICO................................................................................................................................
  • 1. Leyes de los Exponentes.............................................................................................................
    • 1.1. ¿Qué son los exponentes?...................................................................................................
      • Ejemplo: Halle el valor de c6 ∙c7c7
  • 1.2. Ley #2: (a ∙b)n=an∙bnb)n=an ∙b)n=an∙bnbn - Ejemplo: Halla el valor de (2a)5.................................................................................................
  • 1.3. Ley #3: (ab)n=anbn..................................................................................................................
    • Ejemplo: Halle el valor de (3xy)4................................................................................................
  • 1.4. Ley #4: (an)m=an ∙b)n=an∙bnm
    • Ejemplo: Halle el valor de (5g4)3................................................................................................
  • 1.5. Ley #5: aman=am-n, a≠0.........................................................................................................
    • Ejemplo: Halle el valor de 8c154c3.............................................................................................
  • 1.6. Ley #6: a0=1, a≠0.....................................................................................................................
  • 1.7. Ley #7: a-n=1an, a≠0..............................................................................................................
• CONCLUSIONES................................................................................................................................

La letra a es conocida como la base , el número que usted va a multiplicar, y a la letra n se le llama potencia o exponente , el cual indica la cantidad de veces que va a multiplicar a. an se lee “a elevada a la n”. Veamos algunos ejemplos: 23=2∙2∙2 (base: 2 exponente: 3) 57=5∙5∙5∙5∙5∙5∙5 (base: 5 exponente: 7) y6=y∙y∙y∙y∙y∙y (base: y exponente: 6) A la hora de evaluar y simplificar exponentes, utilizamos las Leyes de los Exponentes, una serie de reglas que nos sirven para hallar el valor de una expresión más rápidamente.

1.2. Ley #1: am∙an=am+n

Cuando se multiplican dos factores con las bases iguales, su producto será esa base elevada a la suma de las potencias. Explicación : Al hallar el producto de exponentes con bases iguales, estamos contando la cantidad de bases que tenemos para multiplicar. Las potencias nos indican la cantidad de bases que tenemos de cada exponente. Sabemos que 64=6∙6∙6∙ y que 6=64 (recuerden que la potencia uno es invisible). Entonces 64 ∙6=(6∙6∙6∙6)(6)=(6∙6∙6∙6∙6)= Por tanto, 64 ∙6=64+1= Sabemos que a3=a∙a∙a y que a5=a∙a∙a∙a∙a. Entonces a3∙a5=(a∙a∙a)(a∙a∙a∙a∙a)=(a∙a∙a∙a∙a∙a∙a∙a)=a Por tanto, a3 ∙a5=a3+5=a Ejemplo: Halle el valor de c6 ∙c Solución : Como los exponentes que vamos a multiplicar tienen bases iguales, podemos resolver usando la Ley #1 de los exponentes:

c6 ∙c7=c6+7=c

1.2. Ley #2: (a∙b)n=an∙bn

La ley #2 se utiliza cuando tenemos dos factores cualquiera elevados por el mismo exponente. Explicación: El producto de los dos factores elevados por un exponente se puede comportar como un exponente de base única, pero si expandemos la multiplicación y utilizamos la propiedad conmutativa para reorganizar cada uno de los factores, separándolos en una multiplicación de dos exponentes de bases diferentes pero con misma potencia. Ilustración #1: (4∙5) Primero, usamos la definición de exponente para dispersar los dos factores: (4∙5)3=(4∙5)∙(4∙5)∙(4∙5) Ahora, usando la propiedad conmutativa multiplicativa, agrupamos términos semejantes: =(4∙4∙4)∙(5∙5∙5) Finalmente, por la definición de exponente: =43∙ Ilustración #2: (c∙d) Primero, usamos la definición de exponente para dispersar los dos factores: (c∙d)4=(c∙d)∙(c∙d)∙(c∙d)∙(c∙d) Ahora, usando la propiedad conmutativa multiplicativa, agrupamos términos semejantes: =(c∙c∙c∙c)∙(d∙d∙d∙d) Finalmente, por la definición de exponente:

Finalmente, aplicamos la definición de exponente: =p5q Ejemplo: Halle el valor de (3xy)4. Solución : Por la Ley #3: (3xy)4=(3∙xy)4=34∙x4y4=81x4y

1.4. Ley #4: (an)m=an∙m

La cuarta ley de los exponentes es necesaria cuando tenemos un exponente dentro de otro exponente. Explicación : La base a es multiplicada un número determinado de veces, n. Luego, toda esa multiplicación expandida es multiplicada otro número determinado de veces, m. En otras palabras: al expandirse, an contiene n cantidad de a , pero al estas ser elevadas a la m , tendremos a multiplicada por sí misma mn veces. Expandemos 32: (32)5=(3∙3) Entonces, expandemos (3∙3) (3∙3)5=(3∙3)∙(3∙3)∙(3∙3)∙(3∙3)∙(3∙3) =3∙3∙3∙3∙3∙3∙3∙3∙3∙ Aplicando la definición de exponente: = Ilustración #2: (d4) Expandemos d4: (d4)2=(d∙d∙d∙d) Entonces, expandemos (d∙d∙d∙d)

(d∙d∙d∙d)2=(d∙d∙d∙d)∙(d∙d∙d∙d) =d∙d∙d∙d∙d∙d∙d∙d Aplicando la definición de exponente: =d Ejemplo: Halle el valor de (5g4)3. Solución: Por la Ley #4: (5g4)3=53∙(g4)3=125∙g4∙3=125g

1.5. Ley #5: aman=am-n, a≠

La Ley #5 se aplica solamente cuando estamos hallando el cociente de dos exponentes con bases iguales. Explicación: Mientras hallamos el cociente, estamos contando cuántas bases tiene, tanto en el numerador como en el denominador. De ahí, eliminamos la cantidad mínima de bases de ambas expresiones, en otras palabras, simplificamos eliminando la potencia menor de la mayor. Ilustración #1: 3632 Expandemos tanto el numerador como el denominador, por la definición de exponente: 3632=3∙3∙3∙3∙3∙33∙ Entonces eliminamos bases semejantes (simplificamos) hasta que el numerador o el denominador se quede igual a 1. 3∙3∙3∙3∙3∙33∙3=3∙3∙3∙31=3∙3∙3∙ Finalmente, por la definición de exponente: 3∙3∙3∙3= Ilustración #2: r9r

a∙aa∙a=11= Por tanto, a0=

1.7. Ley #7: a-n=1an, a≠

Toda expresión elevada a un número negativo es equivalente a su recíproco pero con el exponente siendo positivo. Explicación: a-n es el resultado de una diferencia de potencias diferentes, del cual sabemos por la Ley #5, sale del cociente de dos exponentes. Como el denominador de cualquier fracción no puede ser cero. En este caso, el denominador tenía un exponente mayor. 00 no es igual a uno. Ilustración: a- Por la Ley #5 podemos darle un valor equivalente a -3 para revertirlo a un cociente, digamos 2-5: a-3=a2-5=a2a Por definición de exponente: a2a5=a∙aa∙a∙a∙a∙a Ahora, simplificamos, eliminando bases semejantes hasta que el numerador o el denominador se quede igual a 1: a∙aa∙a∙a∙a∙a=1a∙a∙a Finalmente, por definición de exponente: 1a∙a∙a=a-

CONCLUSIONES

1. Las características estudiadas de la función potencia, permiten modelar algunas situaciones de la vida cotidiana y fenómenos de distintas áreas del conocimiento como, biología, economía, geología, entre otros.
2. Se utiliza la función potencia, en situaciones en las que la variación de los valores es muy amplia, donde los términos crecen o decrecen muy rápidamente, y su representación nos permite comprender adecuadamente el fenómeno que representan.
3. Un ejemplo clásico es la reproducción de bacterias, las cuales se multiplican muy rápidamente. Para este tipo de situaciones se puede ocupar una progresión geométrica, la cual podemos modelar y comparar con una función potencia.
4. Otro ejemplo, la ley de exponentes nos puede servir, en la vida cotidiana, para  Para escribir medidas astronómicas.  Para operaciones basadas en notación científica.  Para despejar variables de las ecuaciones de crecimiento poblacional.  Para despejar variables en las ecuaciones de intereses.