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TEMA 3:
LEYES COMPUESTAS
TEMA 3:
LEYES COMPUESTAS
TEMA
LEYES COMPUESTAS.
TEMA 3:
LEYES COMPUESTAS.
1.^
Capitalización compuesta a tanto vencido.
2.^
Descuento compuesto a tanto vencido.
3.^
Descuento compuesto a tanto anticipado.
3.^
Descuento compuesto a tanto anticipado.
4.^
Capitalización compuesta a tanto anticipado.
5.^
Comparando las distintas leyes. 6
C^
bi^
l^
id d
d^
did
T^
i^
l
6.^
Cambio en las unidades de medida. Tantos equivalentes.
7.^
Tanto nominal y tanto efectivo.
8.^
Capitalización y descuento continuos.
p^
y
9.^
Operaciones en las que se aplican las leyes compuestas.
1. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA A TANTO VENCIDO1. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA A TANTO VENCIDO
i (%)
Intereses Compuestos por vencido
Los intereses generan nuevos intereses
C
n
C
C^0
C^1
C^2
n^
t = 0
n
......................
n^ - 1
i C
0
i C
1
i C
n-
0
C
(^
n )
n^
i
C
C
(^
(^
)^
(^
1
(^11)
2 0 1 1 1 2
0 0 0 1
i C i C Ci C C
i C Ci C C
=
=
(^
)^
(^
)(^
)^
(^
) i
i
i
C
i
C
C^
n
n
n^
=^
)
0
0
(^
)^
(^
... ... ... ... ... .. .
1
1
3 0 2 2 2 3 i C i C Ci C C^
(^
) [^
] 1 (^10) 0
−
= − =^
n
n^
i C C C I
2. DESCUENTO COMPUESTO A TANTO VENCIDO .2. DESCUENTO COMPUESTO A TANTO VENCIDO.
i (%)
Intereses Compuestos por vencido
Los intereses generan nuevos intereses
C
n C
C^0
C^1
C^2
n^
t = 0
n
......................
n^ - 1
i C
0
i C
1
i C
n-
0 C
(^
)^
(^
n ) n
n^ n
i C
C i
C^
−
=
=^
0
(^
)^
(^
n )
n
n^
i C C C i C
C^
−+
=
⇔
=^
1
1
C
C
D^
(^
)^
(^
)^
(^
n n
n^
i C i C i C
C^
=^
1
1
1
0
0
C^0
C
D^
− n
2. DESCUENTO COMPUESTO A TANTO VENCIDO2. DESCUENTO COMPUESTO A TANTO VENCIDO
f
UNITARIA
LEY
(^
)^
:^
=^
n
i
nf
UNITARIA
LEY
n
3. DESCUENTO COMPUESTO A TANTO ANTICIPADO3. DESCUENTO COMPUESTO A TANTO ANTICIPADO
(^
)^
0
1
) ( :^
≥
−
=^
n
d
n f
UNITARIA
LEY
n
(^
)^
0
1
) ( :^
≥
=^
n
d
n f
UNITARIA
LEY
4. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA A TANTO ANTICIPADO4. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA A TANTO ANTICIPADO
d (%)
Intereses Compuestos por anticipado
Los intereses generan nuevos intereses
C
n C
C^ n
C
n-^
C^ n-
n^
t = 0
n
......................
n^ - 1
d C
1
d C
2
d C
n
0 C
(^
)^
(^
)^
n
n
n^
d
C
d C
C
− −
=
=^
1
1
0
0 (^
) d − 1
(^
)^
(^
n )
n^
d C C C d C
C^
−
0
C
C
I
(^
)^
(^
)^
(^
) o n
n
n^
d C d C d C
C^
=^
0
0
C^0
C
I^
− n
5. COMPARANDO LAS DISTINTAS LEYES: LEYES DE CAPITALIZACIÓN5. COMPARANDO LAS DISTINTAS LEYES: LEYES DE CAPITALIZACIÓN
vencido
i = 10% anticipado d = 10%
vencido
i = 5% anticipado d = 5%
5. COMPARANDO LAS DISTINTAS LEYES: LEYES DE DESCUENTO5. COMPARANDO LAS DISTINTAS LEYES: LEYES DE DESCUENTO
vencido
i = 10% anticipado d = 10%
vencido
i = 5% anticipado d = 5%
5. COMPARANDO LAS DISTINTAS LEYES: LEYES SIMPLES Y COMPUESTAS5. COMPARANDO LAS DISTINTAS LEYES: LEYES SIMPLES Y COMPUESTAS
(^
)
⎧^ ⎪ ⎪
< <
<^
0
(^11)
n si ni (^
) (^
)
⎪⎪⎨ ⎪ ⎪⎪⎩
>
>
< −
1
1 1 1
(^11)
1
n si i i
in
in
n (^
)
⎪⎩^
Anticipado simple al 50%Vencido simple al
50%
Vencido compuesto al 50%
6. CAMBIO EN LAS UNIDADES DE MEDIDA: TANTOS EQUIVALENTES6. CAMBIO EN LAS UNIDADES DE MEDIDA: TANTOS EQUIVALENTES
i^ (vencido)
d^
(anticipado)
EQUIVALENTE
TANTOS EQUIVALENTES: Se dice que dos tantos son equivalentes cuando
al aplicarlos sobre un mismo capital y durante el mismo tiempo obtenemos los mismos resultados
(^
) − =
=^
d C C
C
C
es
equivalent sean que Para
n
n
c r^
:^
(^
)^
(^
)
i d C i C C
es
equivalent sean que Para
n n
:^
0 0
(^
)^
(^
)
+^
i i d i d d i d i
decir Es
n
n^
(^11) (
)^
(^
)^
(^
)
⎪ ⎪⎪⎩^
−^
d d i d i i d i d
n
n^
7.^
TANTO NOMINAL Y TANTO EFECTIVO
7.^
TANTO NOMINAL Y TANTO EFECTIVO
6% anual liquidable semestralmente
¿Qué significa?¿Qué significa?
i^
ifi^
i^
2
i
6%
i^2
verifica: 1 + 6% = ( 1 + i
2
)^
i^2
verifica:
i^2
=
2
o
Se dice que el 6% es
NOMINAL
Liquidable semestralmente
Se dice que el 6% es
EFECTIVO
Liquidable semestralmente
j^2
= 6%
j^ =^ k
nominal interés
Si
q
i^ = 6%
i^ =^
efectivo interés Si
j^ k i k^
k
: Entonces
añoal veces
liquidable
k i
i
i
k
⎞ ⎟ ⎛^ +⎜ = +^
verifica : Entonces
añoal veces
liquidable
k i^ = k : Entonces
i^ k
i
i^ k
⎟ ⎠ +⎜ ⎝ = +^
verifica : Entonces
8.^
CAPITALIZACIÓN Y DESCUENTO CONTINUOS
8.^
CAPITALIZACIÓN Y DESCUENTO CONTINUOS
Observemos que pasa cuando un porcentaje nominal se va liquidando cada vez con más frecuencia
Nominal
liquidable
k^ veces
al^
año
Liquidación
k^
i^ k
i
k
i
k k
k
+^
∞→
% 6 % 6 1
lim 1
Liquidación
k^
i
años
1 6,0000000%
6,0000%
semestres
2 3,0000000%
6,0900%
trimestres
4 1,5000000%
6,1364%
12 0 5000000%
6 1678%
k k
k
⎛^ ⎜+⎜⎝
=^
∞→
% 6 % (^6) % 6 1 % 6 1
lim
meses
12 0,5000000%
6,1678%
dias
360 0,0166667%
6,1831%
horas
8640 0,0006944%
6,1836%
minutos
518400 0,0000116%
6,1837%
k k
k^
⎛^ ⎜+⎜⎝
=^
∞→
% 6 1 % 6 1
lim
segundos
31104000 0,0000002%
6,1837%
…….
…….
…….
…….
e →
Capitalización
Continua
¿^ i
=
6,1837%
?
(k^
tiende
a^ infinito) SÍ
En capitalización continua:1 + i =
e^
j^ k
SÍ^
i^ =^
(^ e^
^^ 6%
)^ ‐^
1 =
6,1837%
1
+ i =
e
9.9.^
OPERACIONES EN LAS QUE SE APLICAN LAS LEYES COMPUESTASOPERACIONES EN LAS QUE SE APLICAN LAS LEYES COMPUESTAS
( operaciones a medio y largo plazo)( operaciones a medio y largo plazo)
En general, las leyes compuestas se aplican en todas las operaciones a más de un año.
É
OPERACIONES DE PRÉSTAMPOOPERACIONES DE CONSTITUCIÓN DE CAPITALEMPRÉSTITOS DE OBLIGACIONES……………………….
En este tipo de operaciones es frecuente que intervengan muchos capitales financieros.EJ: Préstamo a 20 años con pagos mensuales
240 mensualidades
EJ: Préstamo a 20 años con pagos mensuales
240 mensualidades
VALORACIÓN DE RENTAS: Fórmulas que nos permiten manejar muchos capitales a la vez
