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E X PON EN T ES Y R A D IC A LE S
Exponentes enteros (negativos y positivos) (^) ► Reglas para trabajar con exponentes (^) ► Radicales (^) ► Exponentes racionales Racionalización del denominador
En esta sección damos significado a expresiones como am/n^ en las que el exponente m/n es un número racional. Para hacer esto, necesitamos recordar algunos datos acerca de exponen tes enteros, radicales y raíces n.
Exponentes enteros (negativos y positivos)
Normalmente, un producto de números idénticos se escribe en notación exponencial. Por ejemplo, 5 ∙ 5 ∙ 5 se escribe como
- En general, tenemos la siguiente definición.
NOTACIÓN EXPONENCIAL Si a es cualquier número real y n es un entero positivo, entonces la n -ésima potencia de a es
El número a se denomina base, y n se denomina exponente.
Podemos expresar varias reglas útiles para trabajar con notación exponencial. Para des-cubrir la regla para multiplicación, multiplicamos 5^4 por 5^2
Es evidente que para multiplicar dos potencias de la misma base, sumamos sus exponentes. En general, para cualquier número real a y cualesquier enteros positivos m y n , tenemos
Entonces aman^ = am + n. Nos gustaría que esta regla fuera verdadera aun cuando m y n fueran 0 o enteros negativos. Por ejemplo, debemos tener
20 ∙ 23 = 20+3^ = 2^3
Pero esto puede ocurrir sólo si 2^0 = 1. Igualmente, deseamos tener
y esto será cierto si 5—^4 = 1 / 54. Estas observaciones llevan a la siguiente definición.
Reglas para trabajar con exponentes La familiaridad con las reglas siguientes es esencial para nuestro trabajo con exponentes y bases. En la tabla las bases a y b son números reales, y los exponentes m y n son enteros.
Las raíces cuadradas son casos especiales de las raíces n. La raíz n de x es el número que, cuando se eleva a la n potencia, dará x.
Entonces la ecuación (^) √𝑎^2 = a no siempre es verdadera; lo es sólo cuando a ≥ 0. No obstante, siempre podemos escribir √𝑎^2 = 0 a 0. Esta última ecuación es verdadera no sólo para raíces cuadradas, sino para cualquier raíz par. Ésta y otras reglas empleadas para trabajar con raíces n se citan en el recuadro siguiente. En cada propiedad suponemos que existen todas las raíces dadas.
Con frecuencia es útil combinar radicales semejantes en una expresión, por ejemplo 2√3 + 5√3. Esto se puede hacer usando la Propiedad Distributiva. Así,
El siguiente ejemplo ilustra más aún este proceso.
Exponentes racionales Para definirlo que significa exponente racional , o bien, lo que es lo mismo, un exponente fraccionario , como por ejemplo a^1 /^3 , necesitamos usar radicales. Para dar significado al símbolo a^1 /n^ de forma que sea consistente con las Leyes de Exponentes, tendríamos que tener.
Entonces, por la definición de la raíz n ,
En general, definimos exponentes racionales como sigue:
Con esta definición se puede demostrar que las Leyes de Exponentes también se cumplen para exponentes racionales.
así como el número i. Estudiamos números complejos porque completan, en una forma útil y elegante, nuestro estudio de las soluciones de ecuaciones. De hecho, los números imaginarios son útiles no sólo en álgebra y matemáticas, sino también en las otras ciencias.
Operaciones aritméticas con números complejos Los números complejos se suman, restan, multiplican y dividen exactamente igual que con cualquier número de la forma a + b√c. La única diferencia que necesitamos recordar es que i^2 = -1. Entonces, los siguientes cálculos son válidos.
Por lo tanto definimos la suma, diferencia y producto de números complejos como sigue.
Ejercicios
