LEYES LÓGICAS Y PROPOSICIONES, Diapositivas de Matemática Discreta

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Matemática Discreta

Sesión 1 Leyes Lógicas

Mgº Juan Alberto Lira Mamani

Docente – Universidad Continental

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TABLAS DE VERDAD-LEYES LÓGICAS

Y REGLAS DE INFERENCIA

PROPÓSITO

El Estudiante evalúa y construye tablas de verdad a partir de los

conectores lógicos.

El estudiante utiliza las leyes y equivalencias notables para simplificar

esquemas lógicos

El estudiante interpreta las Reglas de inferencia y a partir de ellas

demuestra la validez de los razonamientos.

EQUIVALENCIAS NOTABLES

1. Eliminación de la doble negación (EDN):

• No es cierto que nosotros no construiremos un aeropuerto, es

lo mismo que decir: Nosotros construiremos un aeropuerto.

•   A  A

2. Teorema de De Morgan (DM):

• No es cierto que María es atleta y Nancy es bailarina, equivale

a decir: María no es atleta o Nancy no es bailarina.

• No es cierto que Juan es medico o Pedro es aviador, equivale

a decir: Juan no es médico y Pedro no es aviador.

• (AB)  A  B
• (AB)  A  B

3. Conmutación:

• Viki estudia Agronegocios y Noelia estudia Psicología, es lo

mismo que: Noelia estudia Psicología y Viki estudia

Agronegocios.

• AB  BA, también: AB  BA y AB  BA

4. Asociación:

• Los gases tóxicos de las fábricas contaminan el ambiente.

Además lo hacen los vehículos y los desechos humanos sin

tratamiento. Esto es lo mismo que: Los gases tóxicos de las

fábricas y los vehículos contaminan el ambiente. Además lo

hacen los desechos humanos sin tratamiento.

• A(BC)  (AB)C, también: A(BC)  (AB)C

8. Definición del Bicondicional:

• El estudiante tiene beca, si y solo si, estudia

gratuitamente. Esto es lo mismo que: Si el estudiante tiene

beca, entonces estudia gratuitamente. Y si el estudiante

estudia gratuitamente, entonces tiene beca.

• AB  (AB)(BA)
• AB  (AB)(A  B)

9. Idempotencia:

• Juan Carlos estudia y Juan Carlos estudia. Es lo mismo

que: Juan Carlos estudia.

• AA  A

TABLA DE VALORES DE VERDAD

Una tabla de valores de verdad de una proposición, es una tabla que se arma con los posibles valores de verdad de las proposiciones simples que la componen, con la finalidad de obtener el valor de verdad de la proposición dada.- Cantidad de valores de verdad debe llevar una tabla O sea que, si el número de proposiciones simples que componen una proposición es 5 , los valores de verdad serán: 2 32 5 n º valores   n proposiones n proposiciones n valores A 2 º º º  '  2

Tablas de verdad P ~P V F F V

No,

No es verdad que,

Es falso que,

No ocurre que

No es el caso que,….

No es cierto que Rodrigo sea maestro ~ P Número de Filas = 2 𝑛 n=Número de proposiciones

La conjunción o producto lógico

La conjunción de las proposiciones p y q es la proposición pq , donde p y q se llaman conjuntivos, cuya tabla de valores de verdad es la siguiente: Como conclusión podemos decir que la conjunción es verdadera si ambos conjuntivos también lo son.- p q p  q V V F F V F V F V F F F

p: estudio

q: veo TV

p  q: estudio y veo TV

Pero Sin embargo, Además, No obstante, Aunque, A la vez, También,….

La disyunción o suma lógica

La disyunción de las proposiciones p y q es la proposición pvq , donde p y q se llaman disyuntivos, cuya tabla de valores de verdad es la siguiente: Como conclusión podemos decir que la disyunción es verdadera si al menos uno de los disyuntivos también lo es.- p q p  q V V F F V F V F V V V F

p: estudio

q: veo TV

p v q: estudio o veo TV

Tablas de verdad DISYUNCIÓN Juan es delantero o Luis es volante p  q Filas = 2 𝑛 = 2 2 = 2x2=4 filas 2V 2F V F V F

p q P q p  p

V V V

V F V

F V V

F F F

Condiciones necesarias y suficientes

p condición SUFICIENTE para q (q si p) q condición NECESARIA para p (p sólo si q) p q p  q V V F F V F V F V F V V

El bicondicional de las proposiciones p y q es la proposición pq , cuya tabla de valores de verdad es la siguiente: Como conclusión podemos decir que el bicondicional es verdadero si los valores de verdad de las proposiciones simples que la componen son iguales.-

El bicondicional o la doble implicación

p q p  q V V F F V F V F V F F V

p: apruebo

q: te presto el libro

p  q : solamente si

apruebo, te presto el libro

Cuando y solamente cuando Entonces y solamente entonces…

RESUMEN

p q p  q p  q p  q p  q p ∆ q

V V V V V V F

V F F V F F V

F V F V V F V

F F F F V V F

TABLAS DE VERDAD Hallar la tabla de verdad del siguiente esquema proposicional

(~p v q) - > (r ^ p)

Observación: Numero de Filas 2 𝑛 donde n es el número de proposiciones simples. Filas = 2 𝑛 = 2 3 = 2x2x2=8 filas 4V 4 F 2V 2F 2V 2F V F V F V F V F