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LÓGICA MATEMÁTICA
INTRODUCCIÓN
La lógica estudia la forma del razonamiento, es una disciplina que por medio de reglas y
técnicas determina si un argumento es válido. La lógica es ampliamente aplicada en la
filosofía, matemáticas, computación, física y muchas otras disciplinas. En la filosofía para
determinar si un razonamiento es válido o no, ya que una frase puede tener diferentes
interpretaciones, así la lógica permite saber el significado correcto. En la matemática para
demostrar teoremas e inferir resultados que puedan ser aplicados en investigaciones. En la
computación para crear y revisar programas.
BASE TEÓRICA:
1.1 ENUNCIADO. PROPOSICIÓN LÓGICA
Definición 1.1. A toda frase u oración sin importar su significado ni la posible ambigüedad
de su interpretación, se denomina enunciado.
Nota: Los enunciados pueden ser afirmaciones, negaciones, órdenes, interrogaciones y
admiraciones.
Ejemplo 1. Son enunciados:
a) Tupac amaru nacio en surimana
b) 5 no es divisible entre 4
c) Prohibido hacer bulla
d) ¿ que hora es?
e) ¡ viva el peru carajo!
Los enunciados que matemáticamente tiene significado son aquellos que pueden ser
considerados como verdaderos o falsos
1. ENUNCIADO ABIERTO
Definición 1.2. Se llama enunciado abierto a un enunciado que contiene variables, no
tiene la propiedad de ser verdadero o falso
Ejemplo 2. Son enunciados abiertos:
a) x + 2 > 6
b) x
2
2
2. PROPOSICIÓN
Definición 1.3. Se denomina proposición lógica a un enunciado que tiene la propiedad
de ser falsa o verdadera pero no ambas a la vez.
Notas: 1. La “proposición lógica” o simplemente “proposición” es un elemento fundamental
de la lógica matemática.
- Las proposiciones lógicas se denotan generalmente con letras minúsculas p, q,
r, s, t,….
Ejemplo 3. Dados los siguientes enunciados :
(1): La tierra es plana.
(3): x > y – 9
(4): El Cienciano será campeón en la presente temporada de Fútbol.
(5): ¿cómo estas?
(6): Lava el coche por favor.
Cuales son proposiciones?
1.2 CONECTIVOS LÓGICOS:
Definición 1.3. Se denominan conectivos lógicos a las expresiones que sirven para
relacionar dos o más proposiciones; los principales conectivos lógicos
son:
a) La conjunción ( )
b) La disyunción (disyunción inclusiva ( ), disyunción exclusiva (
_
c) La condicional ( →
d) La bicondicional ( )
e) La Negación (~)
1. Los circuitos lógicos en su proceso operativo, puede ser identificado con los
circuitos lógicos dados en un ensamblaje de interruptores eléctricos que permiten
o no el paso de la corriente eléctrica, donde si hay paso de corriente el circuito se
cierra (la proposición p es verdadera) y si no hay paso de corriente el circuito se abre
(la proposición p es falsa)
Representación gráfica
Circuito cerrado Circuito abierto
(pasa corriente V) (no pasa corriente F)
2. Para diseñar circuitos lógicos, se utiliza también las siguientes notaciones:
a) 1: “paso de corriente”, (1:= V, p es verdadera)
b) 0: “no hay paso de corriente”, (0:= F, p es falsa)
3. En el diseño de circuitos lógicos a similitud de circuitos eléctricos, se consideran
también dos clases de instalaciones, en serie y en paralelo:
1.3 PROPOSICIONES COMPUESTAS. TABLAS DE VERDAD.
1. LA NEGACIÓN
Definición 1.4. Sea “p” una proposición. Se llama negación de p, denotado por “p”, a
la proposición con el enunciado “no se cumple p”.
La tabla de verdad de la proposición “p”, es:
- La negación “”, también está expresada por las palabras: “no es cierto que”, “no es
verdad que”, “no es el caso que”, “nunca”, “jamás”, “es falso que”, “ni”, Etc…
Ejemplo 6.
Dada la proposición p: “4 más 5 es mayor que 9”, determinar la negación de p
p p
V
F
F
V
p
p
Solución.
p: “4 más 5 es mayor que 9” o “4 + 5 > 9”
p: “ No es el caso que 4 más 5 es mayor que 9”
2. LA CONJUNCIÓN
Definición 1.5. Sean p y q dos proposiciones. A la proposición compuesta “p y q”,
denotado por “p q” se llama conjunción de p y q
La tabla de verdad de la conjunción , es:
Nota: en circuitos eléctricos la conjunción de dos proposiciones p y q se representa como
una asociación de interruptores en serie.
- La conjunción “”, puede ser expresada también por las palabras: “pero”, “sin
embargo”, “sino”, “aunque”, “además”, “más aún”, “a la vez”, “no obstante”,etc.
- En algunos casos la palabra “y” no siempre denota conjunción
Ejemplo 7.
Simbolizar las siguientes proposiciones
a) Abel escribe y lee
b) Mario percibe más de 5 mil soles pero menos de 8 mil
p q
pq
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
p q
p q
- La disyunción “
” puede ser expresada también por las palabras: “salvo que”,
“ a menos que”, “excepto que” etc.;
Ejemplo 10.
Expresar en forma simbólica el siguiente enunciado ” de dos deportes fútbol y
vóley, Juan practica por lo menos un deporte”
Solución.
p: Juan practica fútbol
q: Juan practica vóley
Escribiendo el enunciado anterior en su forma equivalente se tiene:
“Juan practica futbol o practica vóley”
Disyunción: p q : Juan practica futbol o practica vóley
3.2. La Disyunción Exclusiva o Fuerte
Definición 1.7. Sean p y q dos proposiciones. A la proposición compuesta “p o
q”, denotado por “p
_
q”, se llama disyunción exclusiva de p y q
La tabla de verdad de la disyunción exclusiva, es:
- La disyunción exclusiva se puede simbolizar también como: p /
q ; p q ;
p /
q (se considera como la negación de la bicondicional).
- La disyunción exclusiva “
_
” puede ser expresada también por las palabras: “sólo
ocurre que”, “ sólo uno de ellos”, “p o q pero no ambos” etc.
- La disyunción exclusiva tiene las siguientes equivalencias:
p q
p
_
q
V V F
V F V
F V V
F F F
( ) ( )
( ) ( )
p q p q p q
p q q p
Ejemplo 11.
Expresar en forma simbólica el siguiente enunciado “de dos deportes, fútbol y
vóley, Juan practica sólo un deporte”.
Solución.
p: Juan practica fútbol.
q: Juan practica vóley.
Escribiendo el enunciado anterior en su forma equivalente se tiene:
“Juan practica futbol pero no vóley o Juan practica vóley pero no futbol”.
Disyunción exclusiva: p q: Juan practica fútbol pero no vóley o Juan practica
vóley pero no fútbol.
5. LA CONDICIONAL
Definición 1.8. Sean p y q dos proposiciones. A la proposición compuesta “si p
entonces q”, denotado por “p → q”, se denomina condicional de p y
q
La tabla de verdad de la condicional, es:
- La condicional “ → ” puede ser expresada también por las palabras: “luego”, “por
ello”, “por ende”, “por lo tanto”, “en conclusión”, “por consiguiente”, “si”, “ porque”,
“puesto que”, “ya que”, siempre que”, “cada vez que”, “dado que” etc;
Ejemplo 12.
Expresar en forma simbólica el siguiente enunciado: “Se apagaron las luces
porque se interrumpió el fluido eléctrico”
Solución.
p q p → q
V V V
V F F
F V V
F
F
V
Se observa que ambas proposiciones son falsas, luego:
Bicondicional: p q : 1 + 1 = 3 si y sólo si Marte es un agujero negro
(Verdadero)
EVALUACION DE ESQUEMAS MOLECULARES POR TABLAS DE VALORES DE
VERDAD
La evaluación de esquemas moleculares por tablas de verdad consiste en hallar los
valores de verdad del operador principal , a partir de la validez de cada una de las
proposiciones simples ( variables proposicionales)
El numero de valores que se asigna para el tableo del esquema molecular esta dada por la
fórmula:
n
N =
donde n= es el número de propociones simples que existe en el esquema molecular
son ejemplos de esquemas moleculares
p ( p → q ) → p
( p → q ) ( q → r ) → ( p → r )
p ( q → r ) ( p r ) q
p ( q → r ) ( p r ) q
p q p q
F F V
1.4 TAUTOLOGÍAS, CONTRADICCIONES Y CONTINGENCIAS
TAUTOLOGIA
Definición 1.10. Un esquema molecular se denomina tautología cuando los valores
de verdad del operador principal son todos verdaderos.
Ejemplo 14.
Evaluar mediante una tabla de verdad el siguiente esquema molecular:
[(pq) q] → p
Solución.
CONTRADICCIÓN
Definición 1. 11. Un esquema molecular es denomina contradicción cuando en el
resultado del operador principal todos los valores de verdad son
falsos.
Ejemplo 15.
Evaluar mediante una tabla de verdad el siguiente esquema molecular: [(pq)q] q
Solución
p q
( )
p q q q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
F
F
F
F
F
V
F
V
p q [ (p q) q ] → p
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
V
V
V
F
V
V
V
F
V
F
F
F
F
V
F
V
F
V
V
V
V
V
F
F
V
V
denotada por p q
o p q
si la bicondicional p q
es una tautología.
Ejemplo 1 8.
Verificar si la siguiente bicondicional es una equivalencia lógica: ( )
p p q p
Solución.
p q
( )
p p q p
V
V
F
F
V
F
V
F
V V V
V V V
F F V
F F F
V
V
V
V
V
V
F
F
Entonces, se puede afirmar que: ( )
p p q p
PROPOSICIONES LÓGICAMENTE EQUIVALENTES
Definición 1.1 5. Se dice que dos proposiciones p y q son equivalentes y se denota
por p q , cuando sus tablas de verdad son idénticas.
Ejemplo 1 9.
Sean las proposiciones: r : p →q, t : q →p; verificar que las proposiciones r y t
son equivalentes.
Solución.
Determinando las tablas de verdad de cada una de las proposiciones, se tiene:
a) r :p →q
p q
p →q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
b) t : q →p
p q
q →p
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
De las tablas a) y b) se concluye que r y t tienen los mismos valores de verdad.
Entonces, se puede afirmar que: r t (r y t son lógicamente equivalentes)
1.6 PRINCIPALES LEYES LÓGICAS O TAUTOLÓGICAS
Las principales leyes lógicas o principios lógicos son formas proposicionales
tautológicas que sirven para poder generar otras equivalencias lógicas o para simplificar
expresiones lógicas más complejas. Entre las principales leyes lógicas, se tienen:
EQUIVALENCIAS NOTABLES
1. Ley de doble negación (Involución)
(p) p “la negación de una negación es una afirmación”
2. Ley de la Idempotencia
a) p p p b) p p p
3. Leyes conmutativas
a) p q q p b) p q q p c) p q q p
4. Leyes Asociativas
a) (p q) r p (q r) b) (p q) r p (q r)
c) (p q) r p (q r)
5. Leyes Distributivas
a) p (q r) (p q) (p r) b) p (q r) (p q) (p r)
c) p → (q r) (p → q) (p → r) d) p → (q r) (p → q) (p → r)
6. Leyes de Morgan
a) (p q) p q b) (p q) p q
(p 1 p 2 ... pn) → q
p
q
r
p q
q
1.7 INFERENCIA LÓGICA O ARGUMENTO LÓGICO
Definición 1.17. Sean las proposiciones p 1 , p 2 ,... , pn, se llama inferencia lógica o
argumento lógico a toda condicional de la forma:
NOTAS:
- Las proposiciones p 1
, p 2
,... , p n
se denominan premisas
- La proposición q , originado por las premisas se denominada conclusión.
- Si la condicional () es una tautología se denomina argumento válido o inferencia
válida
- Si la condicional () no es una tautología se denomina falacia.
- Una inferencia puede ser tautología, contingencia o contradicción.
- La condicional () se puede expresar en forma horizontal como:
p 1
, p 2
,... , p n
→ q
O también en forma vertical de la siguiente manera:
p 1
p 2
p 3
p n
q
Teorema 1.1. Si la condicional () es válida y las premisas p 1
, p 2
,... , p n
son
verdaderas, entonces la conclusión q es verdadera.
Ejemplo 22.
Verificar si la siguiente inferencia es válida:
p (p → q) → q
p q (p q) (q r)
Solución.
Primer método: Utilizando tablas de verdad se tiene:
p q
p (p → q) → q
V
V
F
F
V
F
V
F
V V V
V F F
F F V
F F V
V
V
V
V
V
F
V
F
Como se verifica que el resultado de la inferencia, es tautología, se afirma que dicha
inferencia es válida.
Segundo método: Aplicando leyes lógicas:
( )
( )
p p q q
p p q q .................ley de la condicional
p q q .................ley de absorcion
p q q .................ley de la condicional
p q q .................ley de Morgan
p ( q q) ................
.ley asociativa
p (T) .................ley del complemento
T .................ley de tautologia
Así se afirma que dicha inferencia es válida.
Ejemplo 23.
Establecer la validez de la siguiente inferencia lógica:
“Si Camilo participa en el comité electoral de la UNSAAC entonces los estudiantes se
enojarán con él, y si no participa en el comité electoral de la UNSAAC entonces las
autoridades universitarias se enojarán con él. Pero, Camilo participará en el comité
electoral de la UNSAAC o no participará. Por lo tanto, los estudiantes o las autoridades
universitarias se enojarán con él”.
Solución.
- Interpretación proposicional simbólica de la inferencia.
Simbolizando:
Esta ley Indica: Si se niega el consecuente de la premisa
condicional, se concluye en la negación del antecedente
También se simboliza: p → q
p
q
Ejemplo 24.
“Si 2 es divisor de 4, entonces 2 es divisor de 4
3
“2 es divisor de 4”
Por tanto: “2 es divisor de 4
3
2. Ley del Modus Tollendo Tollens “Negando niegas” [(p → q) q] → p
También se simboliza: p → q
q
p
Ejemplo 25.
“Si Carmen estudia, entonces aprobará Matemáticas”
“Carmen no aprobó Matemáticas”
Por tanto: “Carmen no estudió”
3. Ley del Silogismo hipotético [(p → q) (q → r)] → (p → r)
También se simboliza: p → q
q → r
p → r
Esta ley Indica: Si se afirma el antecedente de la premisa condicional,
se concluye la afirmación del consecuente
Ejemplo 26.
“Si 3 es menor que 10, entonces 3 es de una cifra”
“ Si 3 es de una cifra entonces 3 no es múltiplo de 10”
Por tanto: “Si 3 es menor que 10 entonces 3 no es múltiplo de 10”
4. Ley del Silogismo disyuntivo [(p q) (p)] → q
También se simboliza: p q
p
q
Ejemplo 27.
“x es un número par o termina en 5”
“x no es un número par ”
Por tanto: “x termina en 5”
5. Ley del dilema constructivo [(p → q) (r → s) (p r)] → (q s)
También se simboliza: p → q
r → s
p r
q s
Esta ley Indica: Si se niega una de las proposiciones de la disyunción se
concluye la afirmación de la otra proposición
Esta ley Indica: De dos condicionales, se construye la disyunción de los
antecedentes, entonces se concluye la disyunción de los consecuentes
Esta ley Indica: Si el consecuente de la primera condicional es el
antecedente de la segunda condicional, se concluye la condicional del
antecedente de la primera condicional con el consecuente de la segunda.
