Libro de Precalculo MATEM, Ejercicios de Matemáticas

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Precálculo

Parte I

Álgebra, Geometría Analítica y Funciones

José Manuel Acosta Baltodano Alejandra Alvarado Alvarado

Presentación

Desde hace más de 30 años, la Escuela de Matemática de la Universidad de Costa Rica ha hecho un esfuerzo por mejorar la formación matemática en secundaria a través del proyecto Matemática para la Enseñanza Media (MATEM), el cual ha brindado a miles de jóvenes la oportunidad de aprobar cursos universitarios.

La adquisición de conocimiento matemático y el desarrollo de destrezas y habilidades han sido pilares dentro de los objetivos de MATEM, puesto que sin duda alguna, estos elementos preparan a los jóvenes para una eciente incorporación en el sistema universitario.

El proyecto también ha contribuido en la formación de los docentes mediante la elabo- ración de materiales didácticos, capacitaciones, talleres, charlas y reuniones, que permiten a los profesores estar actualizados y contar con herramientas para brindar a sus estudiantes una mejor educación.

A través de los años, los materiales didácticos elaborados para el curso de precálculo del proyecto fueron evolucionando, de guías de ejercicios que se entregaban periódicamente a los docentes, a un folleto de solamente ejercicios y posteriormente un libro de texto, elaborado por los profesores Randall Blanco y Lizeth Sancho.

Considerando los cambios en el programa de estudio de precálculo y la necesidad de ac- tualizar el enfoque del curso de acuerdo con la realidad de los alumnos, se decide confeccionar un nuevo material para el estudio de los temas: álgebra, geometría analítica y funciones. Es así como surge el presente libro en el año 2018.

Este texto incluye muchos ejemplos y variedad de ejercicios que pretenden apoyar a los estudiantes en su proceso de aprendizaje, así como constituir una guía para el profesor sobre el tipo de ejercicios y problemas que el alumno debe resolver.

Esperamos que este material sea un buen aporte en la formación de los estudiantes y docentes, quienes año con año, con su entusiasmo y entrega, nos motivan a seguir trabajando en la mejora del proyecto.

José Manuel Acosta Baltodano Alejandra Alvarado Alvarado

Capítulo 1

Álgebra

1.1. Polinomios

Los polinomios están formados por la suma o resta de expresiones del tipo:

a · xn 1 ·^1 · xn 2 2 · xn 33 · · · · xn mm ,

donde a es una constante real, x 1 ,x 2 , · · · , xm son las variables y n 1 ,n 2 , · · · , nm son números naturales^1.

Ejemplo 1.

P (x, y, z) = − 3 x^3 y^2 + 5x^7 y^2 z^3

Q (x) = x^2 + 6x + 3

Los polinomios se pueden clasicar de acuerdo con el grado y el número de variables que tengan. En particular, interesan los polinomios de una variable, que se denen a continuación.

Denición 1.1: Polinomio de una variable

Un polinomio de grado n ∈ N y variable x es una expresión de la forma:

P (x) = anxn^ + an− 1 xn−^1 + an− 2 xn−^2 + · · · + a 2 x^2 + a 1 x + a 0 ,

donde an, an− 1 , an− 2 ,... , a 2 , a 1 , a 0 son números reales que se llaman coecientes.

(^1) En este texto se considera que 0 pertenece al conjunto N.

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Antes de estudiar el tema de factorización, conviene conocer y aplicar correctamente las fórmulas notables, además de repasar las operaciones básicas con polinomios: suma, resta y multiplicación. Las divisiones se presentan en la siguiente sección.

Fórmulas notables:

1. (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
2. (a − b)^2 = a^2 − 2 ab + b^2
3. (a − b)(a + b) = a^2 − b^2
4. (a − b) (a^2 + ab + b^2 ) = a^3 − b^3
5. (a + b)(a^2 − ab + b^2 ) = a^3 + b^3
6. (a + b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3
7. (a − b)^3 = a^3 − 3 a^2 b + 3ab^2 − b^3

El siguiente ejemplo muestra la aplicación de los conceptos descritos antes.

Ejemplo 1.

Simplique la expresión: (2x − 3)^2 − (x − 2) (2x + 3) − (2x − 1)^3

Solución:

(2x − 3)^2 − (x − 2) (2x + 3) − (2x − 1)^3

= 4x^2 − 12 x + 9 − (2x^2 + 3x − 4 x − 6) − (8x^3 − 3 · 4 x^2 + 3 · 2 x − 1)

= 4x^2 − 12 x + 9 − (2x^2 − x − 6) − (8x^3 − 12 x^2 + 6x − 1)

= 4x^2 − 12 x + 9 − 2 x^2 + x + 6 − 8 x^3 + 12x^2 − 6 x + 1

= − 8 x^3 + 14x^2 − 17 x + 16

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Ejercicio 2 Determine el cociente y el residuo de las siguientes divisiones:

1. (3x^4 − 5 x^3 + 7x^2 − 3 x + 3) ÷ (x^2 + 2x − 3)
2. (x^5 + 3x^3 − 2 x^4 + 4x + 1) ÷ (x^2 + 1)
3. (4x^3 − x^2 + 2x + 5) ÷ (2x + 1)

Dado que el objetivo principal de este capítulo es factorizar polinomios, interesan las divisiones donde el divisor sea de la forma x − c para c ∈ R.

Ejemplo 1.

Determine el cociente y el residuo de (− 2 x^4 + x^3 − 2 x^2 + x − 1) ÷ (x + 2).

Solución: − 2 x^4 + x^3 − 2 x^2 + x − 1 x + 2 2 x^4 + 4x^3 − 2 x^3 + 5x^2 − 12 x + 25

5 x^3 − 2 x^2 + x− 1 − 5 x^3 − 10 x^2

− 12 x^2 + x− 1 12 x^2 + 24x

25 x− 1 − 25 x− 50

− 51

Entonces, se tiene que:

Cociente: − 2 x^3 + 5x^2 − 12 x + 25

Residuo: − 51

División sintética:

Para obtener el cociente y el residuo de una división del tipo P (x) ÷ (x − c), se puede recurrir al método de división sintética o regla de Runi.

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Ejemplo 1.

Determine el cociente y el residuo de (− 2 x^4 + x^3 − 2 x^2 + x − 1) ÷ (x + 2) usando división sintética.

Solución: − 2 1 − 2 1 − 1

De la última la se obtiene el cociente y el número encerrado en el cuadro es el residuo:

Cociente: − 2 x^3 + 5x^2 − 12 x + 25

Residuo: − 51

De manera general, el procedimiento del ejemplo anterior se puede explicar de la siguiente forma:

1. El cociente de la división es un polinomio que tiene un grado menos que el polinomio original.

2. El coeciente del primer término del cociente es igual al coeciente del primer término del polinomio dado.

3. Para determinar el coeciente de un término cualquiera del cociente (a partir del segundo) se multiplica el coeciente del término anterior por c y se suma este producto con el coeciente del término que ocupa el mismo lugar en el dividendo.

4. El residuo se obtiene multiplicando c por el coeciente del último término del cociente y sumándolo con el término independiente del polinomio dado.

Para el caso de divisiones de la forma P (x) ÷ (x − c), un teorema que permite determinar el residuo de una manera muy rápida es el teorema del residuo.

Teorema 1.1: Del residuo

Sea P (x) un polinomio y c ∈ R. El residuo de la división P (x) ÷ (x − c) es P (c).

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Finalmente se presenta el algoritmo de la división en el caso de polinomios:

Teorema 1.2: Algoritmo de la división

Sean P (x) y Q(x) dos polinomios donde el grado de P (x) es mayor o igual al grado de Q(x).

Si al efectuar la división P (x) ÷ Q(x) se obtienen los polinomios C(x) (cociente) y R(x) (residuo), entonces se cumple que:

P (x) Q(x)

= C(x) +

R(x) Q(x) .

Ejemplo 1.

Reescriba las expresiones indicadas utilizando el algoritmo de la división:

a)

5 x^4 − 2 x^3 + 3x − 7 x^2 + 2x − 1

b)

− 2 x^4 + x^3 − 2 x^2 + x − 1 x + 2

Solución:

En los ejemplos anteriores se determinaron los siguientes datos:

División Cociente Residuo (5x^4 − 2 x^3 + 3x − 7) ÷ (x^2 + 2x − 1) 5 x^2 − 12 x + 29 − 67 x + 22

(− 2 x^4 + x^3 − 2 x^2 + x − 1) ÷ (x + 2) − 2 x^3 + 5x^2 − 12 x + 25 − 51

Por lo anterior:

a)

5 x^4 − 2 x^3 + 3x − 7 x^2 + 2x − 1

= 5x^2 − 12 x + 29 +

x^2 + 2x − 1

b)

− 2 x^4 + x^3 − 2 x^2 + x − 1 x + 2

= − 2 x^3 + 5x^2 − 12 x + 25 +

x + 2

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1.2. Factorización

Cuando un polinomio se escribe como producto de otros polinomios, cada polinomio del producto es un factor del polinomio original. En lo que sigue, a menos que se indique lo contrario, los polinomios se factorizan en el conjunto de los números reales.

Ejemplo 1.

(2x + 1) (x − 3) es una factorización de 2 x^2 − 5 x− 3 , pues (2x + 1) (x − 3) = 2x^2 − 5 x− 3.

Al proceso de expresar un polinomio como producto de otros polinomios se le da el nombre de factorización. Es importante destacar que un polinomio puede tener varias fac- torizaciones.

Ejemplo 1.

Las siguientes son factorizaciones del polinomio 4 x^2 − 16 yx^7 :

2 x (2x − 8 yx^6 )

4 x^2 (1 − 4 yx^5 )

2 x^2 (2 − 8 yx^5 )

4 x (x − 4 yx^6 )

4 (x^2 − 4 yx^7 )

−4 (−x^2 + 4yx^7 )

En general, se busca determinar la factorización completa de un polinomio, es decir, expresarlo como producto de polinomios irreducibles (no factorizables en R).

Nota:

Los siguientes polinomios son irreducibles, con k, m, n ∈ R:

x + k

x^2 + k^2

(mx + n)^2 + k^2

A continuación se detallan diferentes métodos de factorización.

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En el próximo ejemplo se factoriza un polinomio con coecientes fraccionarios. En su solución, se aplica la propiedad expuesta en la siguiente nota:

Nota:

Si P (x) es un polinomio, a ∈ R y b ∈ R − { 0 }, se cumple que:

a b

P (x) =

a P (x) b

Ejemplo 1.

Factorice completamente

x^5 y^3 −

x^7 y^2 z.

Solución: Como el polinomio posee coecientes numéricos fraccionarios, se puede iniciar calcu- lando el mínimo común múltiplo (MCM) de los denominadores, que en este caso es 20.

Reescribiendo los coecientes de modo que tengan denominador igual a 20 , se obtiene:

Entonces, 3 10

x^5 y^3 −

x^7 y^2 z Polinomio dado.

· 6 x^5 y^3 −

· 75 x^7 y^2 z Utilizando la información anterior.

(6 x^5 y^3 − 75 x^7 y^2 z) Se extrae el factor

· 3 x^5 y^2 (2y − 25 x^2 z) Se aplica factor común al polinomio entre paréntesis.

3 x^5 y^2 20

(2y − 25 x^2 z) Propiedad expuesta en la nota.

Ejercicio 5 Factorice completamente cada uno de los siguientes polinomios:

5 x^3 12

35 x^2 y 18

25 xy 6

R/

5 x 36

(3x^2 − 14 xy + 30y)

3 x^3 y^5 4

15 x^2 y 8

21 x^2 y^3 16

R/

3 yx^2 16

(4xy^4 − 7 y^2 + 10)

7 a^3 b^4 10

14 ab 100

21 a^3 b 1000

R/

7 ab 1000

(3a^2 + 100a^2 b^3 + 20)

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El factor común puede ser un binomio, trinomio o en general un polinomio.

Ejemplo 1.

Factorice completamente P (x) = (2x − 1) b^2 − 5 (2x − 1) b^5 + (− 2 x + 1) b^3. Solución:

Observe que el tercer término de P (x) se puede escribir del siguiente modo: (− 2 x + 1) b^3 = − (2x − 1) b^3 a^ puesto que si se aplicara la propiedad distributiva a la segunda expresión, se obtendría la primera.

Debido a lo anterior, P (x) = (2x − 1) b^2 − 5 (2x − 1) b^5 − (2x − 1) b^3 , donde se identica el factor común: b^2 (2x − 1).

Aplicando el método de factor común se tiene que (2x − 1) b^2 − 5 (2x − 1) b^5 − (2x − 1) b^3 = b^2 (2x − 1) (1 − 5 b^3 − b).

Finalmente, P (x) = b^2 (2x − 1) (1 − 5 b^3 − b).

aA la técnica de reescribir una expresión de un modo equivalente, en el cual aparezca − 1 como factor, se le suele llamar sacar un menos.

Ejercicio 6 Factorice completamente cada uno de los siguientes polinomios:

1. (x − y) − 3 x (x − y) + 7a (x − y) R/ (x − y) (1 − 3 x + 7a)
2. (x + 1) (m − n) − (n − m) (x + 1) R/ 2 (m − n) (x + 1)
3. 5 x (2x + 1) − 20 x^2 (2x + 1) − 4 x − 2 R/ (2x + 1) (− 20 x^2 + 5x − 2)
4. 2 x − 5 y − (5yx − 2 x^2 ) R/ (x + 1) (2x − 5 y)
5. − 6 x (1 − 7 x) + 3x^2 (7x − 1) R/ 3 x (x + 2) (7x − 1)
6. −2 (x − a) + x (a − x) + x^2 (a − x) R/ (x + x^2 + 2) (a − x)
7. (x − a) xa^ − (a − x) xa+2^ R/ xa^ (x^2 + 1) (x − a)
8. yn^ (x − y) − yn+6^ (x − y)^2 R/ yn^ (xy^6 − y^7 − 1) (y − x)

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1.2.3. Inspección

Este método se realiza en algunos casos donde el polinomio dado tiene la forma ax^2 +bx+c con a, b, c ∈ R y a 6 = 0. 2

Para iniciar, se debe revisar si los términos aparecen ordenados, según su grado, en forma descendente (ax^2 + bx + c) o ascendente (c + bx + ax^2 ), y de no ser así, ordenarlos. En los siguientes ejemplos se utiliza la primera de esas opciones.

Ejemplo 1.

Factorice completamente: 21 − 8 x^2 − 2 x.

Solución:

Primero, se ordenan los términos del polinomio según su grado: − 8 x^2 − 2 x + 21.

Posteriormente, se factoriza el primer y último término, de modo que la suma de los "productos cruzados"(de esos factores) sea igual al término del centro.

En este caso:

Se tiene que − 8 x^2 = − 2 x · 4 x y 21 = 3 · 7.

A su vez, 3 · 4 x + − 2 x · 7 = 12x − 14 x = − 2 x (el término del centro).

A continuación se presenta un esquema en donde se visualiza lo descrito anteriormente (en la parte de la izquierda). Una vez hecho esto, se cuenta con los elementos necesarios para determinar la factorización del polinomio dado (del modo que se observa en la parte derecha del esquema indicado).

− 8 x^2 −^2 x^ +

− 2 x +

4 x +

3 · 4 x +^ − 2 x · 7 =^ − 2 x

Finalmente

− 8 x^2 − 2 x + 21

= (− 2 x + 3)(4x + 7)

(^2) El método de inspección, que se expone en el texto a través de ejemplos, se basa en el desarrollo del producto (px + q) (rx + s) = prx^2 + psx + qrx + qs.

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Este método se puede aplicar a polinomios como el siguiente:

Ejemplo 1.

Factorice completamente: 26 (x + 5)^2 − 53 (x + 5) − 30.

Solución:

26(x + 5)^2 −53(x^ + 5)^ −^30

13(x + 5) +

2(x + 5) − 5

6 · 2(x + 5) + 13(x + 5) · − 5 = −53(x + 5)

Finalmente

26(x + 5)^2 − 53(x + 5) − 30

= [13(x + 5) + 6] [2(x + 5) − 5]

= (13x + 71)(2x + 5)

Hay polinomios de dos términos que se pueden factorizar por inspección, en el siguiente ejemplo, se considera el término central como 0 x.

Ejemplo 1.

Factorice completamente 4 x^2 − 25.

Solución: Note que 4 x^2 −25 = 4x^2 +0x− 25 , de modo que se puede aplicar el mismo procedimiento:

4 x^2 + 0 x −^25

2 x +

2 x −^5

5 · 2 x +^2 x · − 5 =^0 x

Finalmente

4 x^2 − 25

= (2x + 5)(2x − 5)