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MOISES VILLENA Vectores en R^3
Objetivos.
Se persigue que el estudiante:
- Represente geométricamente un vector de R^3
- Determine magnitud y dirección de un
vector.
- Sume vectores, multiplique por un escalar a
un vector, obtenga el productor escalar y el
producto vectorial entre vectores
- Obtenga el área de un paralelogramo
sustentados por dos vectores.
- Obtenga el volumen del paralelepípedo
sustentado por tres vectores.
1.1 Definición 1.2 Enfoque geométrico 1.3 Igualdad 1.4 Operaciones 1.5 Aplicaciones
MOISES VILLENA Vectores en R^3
Tomando como referencia la teoría de vectores en el plano, se obtienen
definiciones y propiedades de los vectores en el espacio.
1.1 DEFINICIÓN
Un vector de R^3 es una terna ordenada de números reales. Denotada de la siguiente manera:
v = ( x , y , z )
→
1.2 ENFOQUE GEOMÉTRICO
Geométricamente a un vector de se lo representa en el Espacio
como un segmento de recta dirigido.
R^3
Suponga que se tienen los puntos P 1^ (^ x 1 ,^ y 1 , z 1 ) y. Si
trazamos un segmento de recta dirigido desde hacia tenemos una
representación del vector
P 2 ( x 2 , y 2 , z 2 )
P 1 P 2
v = P 1 P 2 = ( x 2 − x 1 , y 2 − y 1 , z 1 − z 2 )
→ ⎯⎯→
x
y
z
→ v
P 1 (^) = ( x 1 , y 1 , z 1 )
P 2 (^) = ( x 2 , y 2 , z 2 )
Este vector puede tener muchas otras representaciones equivalentes en
el espacio. Una representación equivalente útil es aquella que se realiza
ubicando al vector con el origen como punto de partida.
x
y
z
→ v
P^ (^ x , y , z )
MOISES VILLENA Vectores en R^3
Observe que:
x^2 y^2 z^2
x
v
Cos x
α= (^) → =
x^2 y^2 z^2
y
v
Cos y
β= (^) → =
x^2 y^2 z^2
y
v
y
Cos
γ= (^) → =
Ejercicio.
Demostrar que cos 2 α+cos^2 β+cos^2 γ = 1
1.2.3 Sentido
El sentido de lo define la flecha dibujada sobre
→ v el segmento de recta.
1.3 IGUALDAD DE VECTORES DE^ R^3
Dos vectores v 1 (^) =( x 1 , y 1 , z 1 )y son
→ v 2 (^) = ( x 2 , y 2 , z 2 )
→
iguales si y sólo si x 1^ =^ x 2 , y 1^ =^ y 2 y z 1^ = z 2
1.4 OPERACIONES
1.4.1 Suma
Sean y dos vectores de
→ v 1
→ v 2
3 R (^) tales que
v 1 (^) = ( x 1 , y 1 , z 1 )
→ y v 2^ =(^ x 2 ,^ y 2 , z 2 entonces la
→ )
suma de con , denotada como , se
→ v 1
→ v 2
→ → v 1 + v 2 define como:
v 1 (^) + v 2 = ( x 1 + x 2 , y 1 + y 2 , z 1 + z 2 )
→ →
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1.4.1.1 Propiedades
Sean , y vectores de
→ v 1
→ v 2
→ v 3 R^3 , entonces:
1. la suma es conmutativa
→ → → → v 1 + v 2 = v 2 + v 1
2. la suma es asociativa
→ → → → → → ⎟+ ⎠
⎞ ⎜ ⎝
⎛ ⎟= + ⎠
⎞ ⎜ ⎝
⎛ v 1 + v 2 + v 3 v 1 v 2 v 3
- ∃ 0 ∈ R^3 ,
→ ∀ v ∈ R^3
→ tal que
→ → → v + 0 = v ,
Donde 0 =( 0 , 0 , 0 es llamado Vector Neutro
→ )
- ∀ v ∈ R^3
→ , tal que v ∈ R^3 ⎟ ⎠
⎞ ⎜ ⎝
∃⎛ −→^
→ → → ⎟= ⎠
⎞ ⎜ ⎝
⎛ v + − v 0
Donde (^) ⎟ es llamado Vector Inverso Aditivo de
⎛ − → v → v
Geométricamente:
x
y
z
v → 1 (^) = ( x 1 , y 1 , z 1 )
v → 2 (^) =( x 2 , y 2 , z 2 )
→ → v + 1 v^2
Los vectores y sustentan un paralelogramo, el vector de la
diagonal mayor es el Vector Suma y el vector de la diagonal menor es el
Vector Diferencia.
→
v 1
→
v 2
1.4.2 Multiplicación por escalar
Sea α ∈ R y v^ =(^ x , y , z un vector de
→ ) (^) R^3
entonces:
α v = (α x ,α y , α z )
→
MOISES VILLENA Vectores en R^3
→ → → → → → →
v 1 v 2 v 3 v 1 v 2 v 1 v 2
- ⎟ ⎠
⎞ ⎜ ⎝
⎛ ⎟=αβ • ⎠
⎞ ⎜ ⎝
⎛ ⎟• β ⎠
⎞ ⎜ ⎝
⎛ α
→ → → → v 1 v 2 v 1 v 2
Si v =( x , y , z entonces:
→ )
v • v =( x , y , z ) • ( x , y , z ) = x^2 + y^2 + z^2.
→ →
Por lo tanto
→ → →^2
v • v = v o también
→ → →
v = v • v
1.4. 4. Producto Vectorial. Producto Cruz
Sean v 1^ =(^ x 1 ,^ y 1 , z 1 ) y vectores
→ v (^) 2 = ( x 2 , y 2 , z 2
→ )
de R^3. El Producto Vectorial de con
→ v 1
→ v 2
denotado como se define como:
→ → v 1 × v 2
v 1 (^) × v 2 =( y 1 z 2 − z 1 y 2 , − ( x 1 z 2 − x 2 z 1 ), x 1 y 2 − y 1 x 2 )
→ →
Una manera práctica para obtener el resultado de la operación Producto
Cruz entre dos vectores es resolver el siguiente determinante, para la primera
fila:
2 2 2
1 2 1 1 1
x y z
x y z
i j k
v × v =
→ →
Ejemplo.
Sea 1 =( 1 , 2 ,− 1 )y entonces
→ v (^) 2 =( 2 ,− 1 , 0
→ v )
i j k
i j k v v 2 5 2 1 0
× = −
→ →
MOISES VILLENA Vectores en R^3
1.4.4.1 Propiedades.
Sean , y vectores de
→ v 1
→ v 2
→ v 3 R^3
- El vector ⎟ es tanto perpendicular a ⎠
⎜ ⎞ ⎝
⎛ (^) ×
→ → v 1 v 2
→ v 1 como a
→ v 2
- El sentido del vector ⎟ se lo puede ⎠
⎜ ⎞ ⎝
⎛ (^) ×
→ → v 1 v 2
obtener empleando la mano derecha.
Mientras los dedos se dirigen desde
→ v 1
hacia , el pulgar indica la dirección de
→ v 2
⎟ ⎠
⎜ ⎞ ⎝
⎛ (^) ×
→ → v 1 (^) v 2.
→ v 1
→ v 2
→× → v 1 v 2
- (^) ⎟ ⎠
⎜ ⎞ ⎝
× =−⎛^ ×
→ → → → v 1 v 2 v 2 v 1
→ → → v 1 × v 1 = 0
- Si entonces
→ → v 1 (^) // v 2
→ → → v 1 × v 2 = 0
- (^) ⎟ ⎠
⎜ ⎞ ⎝
⎟= ⎛^ × ⎠
⎜ ⎞ ⎝
⎟×⎛ ⎠
⎜ ⎞ ⎝
⎛
→ → → → α 1 v 1 α 2 v 2 α 1 α 2 v 1 v 2
- (^) ⎟ ⎠
⎜ ⎞ ⎝
⎟+⎛^ × ⎠
⎜ ⎞ ⎝
⎟=⎛^ × ⎠
⎜ ⎞ ⎝
× ⎛^ +
→ → → → → → → v 1 v 2 v 3 v 1 v 2 v 1 v 3
2 1 2
2 2
2 1
2 1 2 ⎟⎠ ⎜ ⎞ ⎝
× = −⎛^ •
→ → → → → → v v v v v v
De la última expresión, empleando la propiedad del producto escalar, se
obtiene un resultado muy importante:
MOISES VILLENA Vectores en R^3
Ejemplo 1
Hallar el área del triángulo sustentado por los vectores (^) 1 =( 1 , 2 ,− 1 ) y
→ v
2 =^ (^2 ,−^1 ,^0 )
→ v SOLUCIÓN: El área del triángulo sustentado por dos vectores y es la mitad del área del paralelogramo sustentado por los vectores, es decir:
→ v 1
→ v 2
1 2
→ → × =
v v AreaTriángulo
Como i j k
i j k v v 2 5 2 1 0
× = −
→ →
entonces
( ) ( ) ( ) 2
1 2 2 2 2 = − + − + − =
×
→ → v v AreaTriángulo
Ejemplo 2
Hallar el área del triángulo que tiene por vértices los puntos ( 1 , − 2 , 0 ) , ( 1 , 1 , 1 ) y
SOLUCIÖN:
Primero se forman dos vectores entre los puntos dados, tomando arbitrariamente el orden de estos puntos; luego se procede de manera análoga a lo mencionado anteriormente debido a que el área del triángulo es la mitad del área del paralelogramo.
→ v 1
→ v 2
P 1 ( 1 ,− 2 , 0 )
P 2 ( 1 , 1 , 1 )
P 3 ( − 2 , 0 , 1 )
En este caso, 1 = 1 2 =( 1 − 1 , 1 −(− 2 ), 1 − 0 ) = 0 , 3 , 1
→ → v P P ( ) v (^) 2 = 2 3 =(^ − 2 − 1 , 0 −(− 2 ), 1 − 0 )^ =(^ − 3 , 2 , 1 )
→ → P P
Entonces,
i j k
i j k v v 3 9 3 2 1
× =
→ →
( ) ( ) ( ) 2
1 2 2 2 2 = +− + =
×
→ → v v AreaTriángulo
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1.5.2 CALCULO DEL VOLUMEN DEL PARALELEPÍPEDO
SUSTENTADO POR TRES VECTORES
Sean , y tres vectores. Observe la figura.
→
v 1
→
v 2
→
v 3
Tomando como base el paralelogramo sustentado por y , la altura
del paralelepípedo será la proyección escalar sobre ,
entonces:
→
v 1
→
v 2
h
→
v 3
→ →
v 1 × v 2
→ v 1
→ v 2
→ v 3
→× → v 1 v 2
h h
Volumen = Areabase × altura
Donde
→ →
Areabase = v 1 × v 2
→ →
→ → → → ×
×
⎛ ×
1 2
1 2 3
Pr 1 2 3
v v
v v v
altura h oy v
v v
Por tanto.
→ →
→ → → → →
×
⎛ ×
= ×
1 2
1 2 3 1 2
v v
v v v
Volumen v v
Finalmente, simplificando resulta:
→ → →
= ⎛^ ×
Volumen v 1 v 2 v 3
Esta última expresión es denominada, EL TRIPLE PRODUCTO
ESCALAR de los vectores , y , y su interpretación es el volumen del
paralelepípedo sustentado por los vectores , y. Observe además que
no importa el orden de operación de los vectores, ¿por qué?.
→
v 1
→
v 2
→
v 3
→
v 1
→
v 2
→
v 3
MOISES VILLENA Geometría Analítica en R^3
2.1 RECTAS EN R^3 2.2 PLANOS 2.3 POSICIONES RELATIVAS 2.4 SUPERFICIES
2.4.1 SUPERFICIES CILINDRICAS
2.4.2 SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN
2.4.3 CUADRICAS
2.5 COORDENADAS CILÍNDRICA. 2.6 COORDENADAS ESFÉRICAS.
Objetivos.
Se persigue que el estudiante:
- Encuentre ecuaciones de Rectas y Planos.
- Grafique Rectas y Planos.
- Encuentre distancias.
- Grafique Superficies Cilíndricas, de Revolución
y Cuádricas.
MOISES VILLENA Geometría Analítica en R^3
2.1 RECTAS EN
3 R
2.1.1 DEFINICIÓN
Sea P 0 un punto de R^3 y sea
→
S un vector de R^3. Una
Recta l se define como el conjunto de puntos P de R^3 que
contiene a P 0 y tal que los vectores
→ ⎯ ⎯→
V = P 0 P son paralelos
a
→
S.
Es decir:
( )
→ → → ⎯⎯→
l Px , y , z / P 0 lyS // VdondeV P 0 P
Al Vector
→
S se lo llama VECTOR DIRECTRIZ de la recta.
2.1.2 ECUACIÓN
Sea P 0 (^) ( x 0 , y 0 , z 0 )y sea el vector S =( a , b , c )
→
El vector
→ S es paralelo al vector V = P 0 P =(^ x − x 0 , y − y 0 , z − z 0 )
→ →
entonces:
→ →
V = kS
Reemplazando resulta:
( x − x 0 , y − y 0 , z − z 0 ) = k ( a , b , c )
Por igualdad de vectores, se plantea lo siguiente:
P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 )
P ( x , y , z )
S = ( a , b , c )
→
→
V
l
x
y
z
MOISES VILLENA Geometría Analítica en R^3
Si consideramos:
t
c
z z
b
y y
a
x x
Tenemos:
z z ct
y y bt
x x at
0
0
0
De lo anterior:
( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 23 )
⎯⎯→ ⎯⎯→
V^ S
x y z x y z tabc
x y z x at y bt z ct
0
0 0 0
0 0 0
Se puede expresar de la siguiente manera:
→ → →
V = V 0 + tS
Ejemplo
Hallar las Ecuaciones paramétricas de la recta que contiene al punto P ( 1 , − 1 − 1 ) y
es paralela al vector =( 1 , 0 , 2 )
→ S.
SOLUCIÓN: De a cuerdo a lo definido:
z z ct t
y y bt
x x at t
1 2
0
0
0
Ejercicios Propuestos. 2.
- Halle ecuaciones paramétricas de la recta que contiene los puntos (2, 1, 3) y (1, 2, -1). Grafíquela
Resp. ⎪⎩
z t
y t
x t l 1 4
- Halle ecuaciones paramétricas de la recta que contiene los puntos (2, 1, 0) y (2,1, 5). Grafíquela. ¿Qué conclusión puede emitir? ¿Cuál sería la ecuación del eje z?
- Halle ecuaciones paramétricas de la recta que contiene los puntos (2, 0, 2) y (2,5, 2). Grafíquela. ¿Qué conclusión puede emitir? ¿Cuál sería la ecuación del eje y?
- Escriba ecuaciones paramétricas de rectas paralelas al eje x.
Ecuaciones Parámetricas
Ecuación Vectorial
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- Halle ecuaciones paramétricas de la recta que contiene los puntos (2, 3, 5) y (2,2, 0). Grafíquela. ¿Qué conclusión puede emitir?
- Halle ecuaciones paramétricas de la recta que contiene los puntos (0, 2, 2) y (2,2, 0). Grafíquela. ¿Qué conclusión puede emitir?
- Halle ecuaciones paramétricas de la recta que contiene los puntos (2, 0, 2) y (0,2, 2). Grafíquela. ¿Qué conclusión puede emitir?
- Halle ecuaciones paramétricas de la recta que contiene el punto (-1, -6, 2) y es paralela al vector (4, 1, -3). Grafíquela
Resp. ⎪⎩
z t
y t
x t l 2 3
- Halle ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el origen y es perpendicular a la recta
cuya ecuación es: ( x ) y z
Resp. ⎪⎩
z t
y t
x t l 5
2.2 PLANOS
2.2.1 DEFINICIÓN
Sea P 0 un punto de R^3 y sea
→
n un vector de R^3. Un Plano
π se define como el conjunto de puntos P de R^3 tales que
→
n es perpendicular al vector
→
V que se define entre P 0 y P.
Es decir:
( )
= ⎧^ →•^ →= →= → ∈^3
π Px , y , z / n V 0 dondeV P 0 PyP 0 R
2.2.2 ECUACIÓN
Sean n =( a , b , c )
→ y P 0 (^) ( x 0 , y 0 , z 0 ). Observe la figura:
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Ejemplo
Hallar la ecuación del plano que contiene a los puntos P 1 ( 1 , 2 , 3 ) , P 2 (− 1 , 0 , 1 ) y
P 3 ( 2 ,− 1 , 0 )
SOLUCIÓN:
Con los tres puntos dados se forman dos vectores (no importa el orden) para de ahí obtener un vector perpendicular al plano buscado.
EE
En este caso:
1 =^13 =^ (^2 −^1 ,−^1 −^2 ,^0 −^3 )^ =(^1 ,−^3 ,−^3 )
→ → V P P
2 =^12 =^ (−^1 −^1 ,^0 −^2 ,^1 −^3 )^ =(^ −^2 ,−^2 ,−^2 )
→ → V P P
Entonces
( ) i ( ) j ( ) k
i j k n V V 6 6 2 6 2 6 2 2 2
= × = − −
→ → →
n { i { j { k a b c
→
Podemos tomar P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) = P 1 ( 1 , 2 , 3 )(puede ser cualquier otro punto del plano)
Finalmente, empleando la ecuación:
a ( x − x 0 ) + b ( y − y 0 ) + c ( z − z 0 ) = 0
Resulta:
y z
x y z
y − z + 1 = 0
Ejemplo 2
Demostrar que la ecuación del plano que tiene intersección A, B, C, respectivamente con los ejes x , y , z es + + = 1 C
z B
y A
x (^).
SOLUCIÓN:
P 1 ( 1 , 2 , 3 )
P 2 ( − 1 , 0 , 1 )
P 3 ( 2 ,− 1 , 0 ) →
V 1
→
V 2
→ → →
n = V 1 × V 2
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Si el plano tiene intersección A, B, C con los ejes coordenados entonces tenemos tres puntos que pertenecen al plano y se puede determinar su ecuación como en el ejemplo anterior. Observe la figura:
En este caso tomamos: V 1 =(− A , B , 0 )
→
y V 2 =(− A , 0 , C )
→
Entonces:
( BC ) i ( AC ) j ( AB ) k
A C
A B
i j k n V V = −− + −
= × =−
→ → →
0
Si tomamos P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) = P 1 ( A , 0 , 0 )y reemplazando en la ecuación
a ( x − x 0 ) + b ( y − y 0 ) + c ( z − z 0 ) = 0
Resulta:
BCx ACy ABz ABC
BCx ABC ACy ABz
BCx A ACy ABz
Dividiendo para ABC
ABC
ABC
ABC
ABz ABC
ACy ABC
BCx (^) + + =
Ax +^ By + C^ z =^1
2.2.3 CONDICIONES ESPECIALES.
Si el plano es PARALELO AL PLANO xy , entonces sólo tendrá intersección
con el eje z , su vector normal será de la forma n =( 0 , 0 , k )
→
. Su ecuación será
de la forma z = C. ¿POR QUÉ?. ¿Cuál es la ecuación del plano xy?
PREGUNTA: ¿Cómo serán las ecuaciones de los planos: paralelo al plano zy ,
paralelo al plano zx , paralelo al eje z , paralelo al eje x , paralelo al eje y ?.
P 1 ( A , 0 , 0 )
P 2 ( 0 , B , 0 )
→ → V 1 = P 1 P 3
x
y
z
π
P 3 ( 0 , 0 , C )
→ → V 2 = P 1 P 2
