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Notas Teóricas: Límites Infinitos. Continuidad.
Sobre el infinito: Ya en la escuela primaria usabas este término, cuando enunciaban “ una recta tiene infinitos puntos” ó “los números naturales son infinitos” , pero ¿qué es el infinito? Dos paradojas muy conocidas nos ilustran acerca de lo infinitamente pequeño y de lo infinitamente grande y ellas son las paradojas de Zenón y la de Galileo.
Curiosidades Uno de los problemas con los que se tuvo que enfrentar Zenón tiene que ver con lo infinitesimal y el infinito. Es bien conocida su paradoja de Aquiles y la tortuga en la que Aquiles y la tortuga realizan una carrera, partiendo en el mismo momento a lo largo de una ruta determinada. Suponiendo que la velocidad de Aquiles es diez veces superior a la de la tortuga y concediéndole cierta ventaja a la tortuga, así digamos por ejemplo que él sale del punto 0 y la tortuga del punto 1, cuando Aquiles haya recorrido la mitad del camino estará en el punto 0.5 y la tortuga estará en el punto 1+(0.5/10)=1.05. Para que Aquiles llegue al punto 1 desde 0. tendrá que alcanzar la mitad del camino que le queda o sea cuando esté en el punto ¾ la tortuga estará en el punto 1.05+3/4:10=1.125 y así sucesivamente, por lo cual la tortuga siempre irá delante de Aquiles y nunca será alcanzada. Este hecho tiene que ver con la densidad de los números racionales y por lo tanto con lo infinitamente pequeño ya que un segmento geométrico se lo puede dividir indefinidamente en partes tan pequeñas como uno quiera pero también con el hecho de que el infinito matemático no es necesariamente aplicable en la vida cotidiana. La paradoja de Galileo nos lleva hacia lo infinitamente grande. Si se consideran todos los números 1, 2, 3, 4, 5, ... unos son impares: 1, 3, 5, 7, ..., los otros son pares: 2, 4, 6, 8... Nos podemos preguntar ahora si hay más pares que impares o al revés. La respuesta es fácil: al 1, impar, le sigue el 2 par; al siguiente impar, 3, le sigue el siguiente par, 4...Es decir que a cada par se lo puede poner en correspondencia biunívoca con el impar que le sigue. De esta manera, la mitad de números son impares y la mitad son pares. Es decir, hay tantos impares como pares. Si se considera ahora, por un lado, todos los números naturales: 1, 2, 3, 4, 5... y por otro, todos los números pares y a cada par le hacemos corresponder su mitad: 2 4 6 8 10 ... ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 1 2 3 4 5 ...
En la fila de arriba están todos los números pares, en la de abajo todos los números naturales, es decir, ¡hay tantos números pares como números naturales! Estas ideas constituyen lo que se llama la paradoja de Galileo. Euclides, Aristóteles y el sentido común de todos los tiempos habían dicho siempre que el todo es mayor que la parte. Los números pares resultan de quitar a todos los números los que son impares y, por tanto, son parte de un todo pero también hemos puesto todos los números pares en correspondencia uno a uno con todos los números lo que pone en evidencia que son tantos los números pares como todos los números. Galileo no siguió adelante con sus pensamientos sobre la paradoja de los números pares. Pasaron más de dos siglos hasta que George Cantor se ocupó de este problema y demostró que hay infinitos más grandes que otros. Esta posibilidad nunca había sido imaginada antes de su obra. Las definiciones que él adoptó y las demostraciones que descubrió son muy sencillas y no requieren casi ningún entrenamiento matemático para entenderlas.
Sobre límite:
Considera la función x
f R R f x
: → / ( )= y^ con^ una^ calculadora^ investiga
x
f x
x x
lim ( ) lim
→∞ →∞
=. Para esto completa la siguiente tabla:
x 10 100 1000 10000 100000 -10 -10^2 -10^3 -10^4 -10^5 f (x)
Observa que en esta tabla se incluyen valores positivos y negativos de la variable x. Los valores obtenidos se corresponden con esta gráfica:
Si uno desea referirse únicamente a los valores positivos o negativos, se escribirá:
x
f x
x x
lim ( ) lim
→+∞ →+∞
= ó^
x
f x
x x
lim ( ) lim
→−∞ →−∞
= ; respectivamente.
Los resultados que obtuviste son de suma importancia y se generalizan así:
0
→+ ∞ x
lim x
y 0
→ − ∞ x
lim x
En la gráfica se observa que ya sea x →±∞la distancia entre la gráfica de la función y el eje x
es cada vez más pequeña, se dice que la gráfica tiende asintóticamente al eje x y que la recta de ecuación y = 0 es un asíntota horizontal.
Ahora trabaja con la siguiente función 2
x
x f x y averigua el
lim ( ) lim
→ ∞ x
x x
f x x
, luego grafica. ¿Obtienes algo así?
¿Es posible afirmar que la curva se aproxima asintóticamente a una determinada recta? Lo visto en estas gráficas, en general se enuncia así:
lim x^3
x →+∞
y lim x^3
x → −∞.
¿Es posible expresar el resultado escribiendo =∞
→ ∞
lim x^3
x
Este resultado se generaliza y se simboliza del siguiente modo:
=∞⇔∀ε > ∃δ> ∀ ∈ ∧ >δ ⇒ > ε → ∞
lim f^ ( x )^00 / x :( x Df x ) f ( x^ )
x
Para interpretar gráficamente esta definición sigue los siguientes pasos:
a) Grafica f ( x ). Esta función puede ser x , x^3 , x^3 + 1 , etc.
b) Elige un ε arbitrario mayor que cero. c) Escribe la expresión equivalente a x > δ(recuerda las propiedades de valor absoluto), luego señala en la gráfica. d) Escribe la expresión equivalente a f ( x )> ε(recuerda las propiedades de valor absoluto), luego señala en la gráfica. Con todos estos elementos, enuncia tu conclusión.
Considera la función x
f ( x )= 1 y estudia su comportamiento cuando^ x^ toma valores muy
pequeños. Grafica los valores de la siguiente tabla.
x 10 -1^10 -2^10 -3^10 -4^10 -5^10 - f(x) 10 100 1000 10000 100000 1000000 Se observa que cuando x se aproxima a cero por la derecha f(x) toma valores cada vez mayores. Es decir dado cualquier número real positivo, por grande que sea, los valores de f son aún mayores. Por lo tanto, f no tiene límite cuando x tiende a cero por la derecha. Sin embargo,
resulta conveniente describir el comportamiento de f , diciendo que f(x) tiende a + ∞.
Simbólicamente se indica así: (^) + =+∞ →
→ + x x
f x x
( ) lim 0
lim
Al escribir esto, no decimos que el límite exista. Tampoco decimos que exista un número real
∞ , ya que este número no existe. Más bien se dice^
x x
lim
→ + no existe porque^ x
se hace
arbitrariamente grande y positivo cuando x → 0 +.
Se hace el mismo razonamiento para valores próximos a cero por la izquierda y se llega a:
− =−^ ∞
→ x x
f x x
( ) lim 0
lim
Sigue los mismos pasos para (^2)
x
f x = en las proximidades del punto cero.
−3 −2 −1 1 2 3 4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y Fig. 2
Ídem para
x
f x en las proximidades del punto tres, es decir valores mayores y menores
que tres, sin interesarme con lo que ocurre exactamente en 3, grafica esta situación. ¿En los casos considerados es posible afirmar que la curva se aproxima asintóticamente a una determinada recta?
Lo visto en estas gráficas, en general se enuncia así: La recta de ecuación x= a es una asíntota vertical de la gráfica de la función y = f(x) , si
→
lim f ( x )
x a
En los ejemplos presentados se observa, que así como las gráficas de las funciones se aproximan a una recta vertical, los valores de las funciones tienden a infinito. El resultado se enuncia y se simboliza del siguiente modo:
=+∞⇔∀ε > ∃ δ> ∀ ∈ ∧ < − <δ ⇒ > ε →
lim f ( x ) 0 0 / x :( x Df 0 x a ) f ( x ) x a
→
lim f ( x ) 0 0 / x :( x Df 0 x a ) f ( x )
x a
→
lim f ( x ) 0 0 / x :( x Df 0 x a ) f ( x )
x a
¡PARA TENER EN CUENTA! Los conceptos de: Dominio Imagen Intersección con los ejes Asíntotas Límites laterales
Son sumamente útil para graficar funciones. Ejemplo:
x
x
y
D = { x ∈ R / x ≠ 1 } I = { y ∈ R / y ≠ 2 }
Intersección con el eje x , P =(− 1 / 2 , 0 )
Intersección con el eje y , Q =( 0 ,− 1 )
1 1/x
2 1/x lim x 1
2x 1 lim f(x) lim x x x
→ ∞ →∞ →∞
; A.H. y = 2
1 2 3 4 5 6 7
−
−
−
1
2
3
Fig. 4
1 2 3 4 5 6 7
−
−
−
1
2
3
Fig. 3
huecos. Una función continua tiene una gráfica que se puede dibujar sin levantar el lápiz del
papel. Pero este es un modo intuitivo de explicar lo que significa ser continua para una función.
El concepto de límite permite dar una definición más precisa de continuidad. En la mayoría de los cursos de Cálculo se estudia la continuidad de la función en un punto y luego en un intervalo, para luego ocuparse del álgebra de funciones continuas, la enunciación y demostración de teoremas sobre continuidad, como ser el del valor intermedio o el del cero intermedio (Teorema de Bolzano).
En nuestro caso nos detendremos, en un principio, en la idea intuitiva: una función continua no presenta rupturas, saltos o huecos y posteriormente en la definición de continuidad en un punto y en un intervalo.
En el libro Cálculo^1 (p.87) se lee: “Cuando tabulamos valores de funciones producidas en el laboratorio o en el campo, con frecuencia conectamos los puntos con una curva continua para mostrar los valores que probablemente pudieron haberse obtenido cuando no se hicieron mediciones. Al hacerlo, suponemos que estamos trabajando con una función continua, una función cuyos valores de salida varían continuamente con los de entrada, y no saltan de un valor a otro sin tomar los valores intermedios.
Son tantos los procesos físicos que son continuos que, durante los siglos XVIII y XIX apenas si se le ocurrió a alguien buscar otro tipo de comportamiento. Fue una completa sorpresa cuando los físicos de la década que comenzó en 1920 descubrieron que los átomos que vibran en una molécula de hidrógeno pueden oscilar sólo en niveles de energía discretos, que la luz se trasmite en partículas y que los átomos al ser calentados, emiten luz a frecuencias discretas y no en espectros continuos. Como resultados de estos descubrimientos y otros más, y a causa del intenso uso de funciones discretas en la informática y la estadística, el tema de continuidad ha adquirido una importancia tanto práctica como teórica.”
Continuidad en un punto
Definición: La función f es continua en el punto x^ =^ a si y sólo si satisface las tres condiciones
siguientes:
i) f ( a )existe.
ii) lim f ( x )
x → a
existe.
iii) lim f ( x ) f ( a )
x a
→
Si una o más de estas condiciones no se cumplen en x = a , entonces se dice que la función es
discontinua en el punto a.
Por ejemplo, grafica la función 2
x
x f x
a) decide si la función es continua en x = 2
b) ¿de qué modo puede conseguirse que la función sea continua en x = 2?
c) La respuesta al punto anterior, ¿puede escribirse así?
si x
si x x
x
f x
(^1) Thomas Finney 9° Edición
Esto es lo que se llama redefinir la función. Esta nueva función es continua, pero la función original sigue siendo discontinua y se dice que presenta una discontinuidad evitable o removible, porque la discontinuidad podría eliminarse al redefinirse f en 2.
Si se desea averiguar respecto a la continuidad de la función 4
x
g x en x = 4 , se tiene:
i) No existe g ( 4 ), es decir la función no está definida en el punto.
ii) g ( x )no tiene límite finito en x = 4
iii) No se cumple
En este caso por más que se redefina la función no es posible salvar la misma por lo tanto se está en presencia de otro tipo de discontinuidad llamada discontinuidad esencial.
En una misma función pueden presentarse ambos tipos de discontinuidades, ejemplo:
x x x
x f x (^326)
Para localizar rápidamente los puntos de discontinuidad es conveniente trabajar algebraicamente.
xx x
x
x x x
x
f x
Los puntos de discontinuidad son: x = 0 ; x =− 3 ; x = 2. Para averiguar respecto al tipo de
discontinuidad se procede así:
Para x = 0
i) no existe f ( 0 )
ii) =∞
lim
lim ( ) lim
0 0 xx x 0 x x
x
f x
x x x
iii) no se cumple
Al no ser posible redefinir la función, se trata de una discontinuidad esencial.
i) no existe f (− 3 )
ii) =∞
lim
lim ( ) lim
3 3 xx x 3 x x
x
f x
x x x
iii) no se cumple
En este punto la función presenta una discontinuidad esencial.
Para x = 2
i) no existe f ( 2 )
ii)
lim
lim ( ) lim
2 2 2
→ → x x x → xx
x
f x
x x x
iii) no se cumple
Para x =− 3
Nombre de archivo: Notas Teóricas 2 Directorio: C:\Documents and Settings\usuario\Escritorio\MAT II - SRT Plantilla: C:\Documents and Settings\usuario\Datos de programa\Microsoft\Plantillas\Normal.dot Título: Asunto: Autor: Landriel Enrique Palabras clave: Comentarios: Fecha de creación: 09/08/2010 18:04: Cambio número: 3 Guardado el: 10/08/2010 8:52: Guardado por: PcNueva Tiempo de edición: 3 minutos Impreso el: 10/08/2010 9:19: Última impresión completa Número de páginas: 9 Número de palabras: 2.663 (aprox.) Número de caracteres:14.648 (aprox.)
