Propiedades de funciones: Dominio, Corte, Asintotas, Simetría, Periodicidad, Continuidad, , Apuntes de Matemáticas

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REPRESENTACIÓN

GRÁFICA DE

FUNCIONES

Tema 3

Dada una función f, podemos realizar la gráfica obtenida al aplicarse la función sobre su dominio de definición, representando así su recorrido: f(x). Cada punto de dicha gráfica vendrá dado por dos coordenadas, ya que estamos manejando funciones de una variable: (x,f(x)), donde x ϵ Dom(f). Para llevar a cabo la representación de la gráfica de una función, y en vista de los conceptos que ya conocemos, no nos limitaremos a una mera tabla de valores, sino que estudiaremos algunos conceptos que nos guiarán para la obtención de la gráfica. 1. DOMINIO Debemos saber para qué valores se define la función. Recordemos que el dominio puede no ser R para casos como:

• Funciones racionales : no pertenecen al dominio los puntos que anulan el denominador.
• Funciones radicales : no pertenecen al dominio los puntos que convierten en negativo el radicando de una raíz de índice par.
• Funciones logarítmicas : no existe el logaritmo de valores negativos ó 0. 2. PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES COORDENADOS Los puntos de corte con los ejes nos permiten situar la función en el plano, y en ocasiones nos permiten deducir si hay o no asíntotas.
• Punto de corte con OX: y = 0 → x / f(x) = 0
• Punto de corte con OY: x = 0 → y / y = f(0) 3. ASÍNTOTAS Son rectas a las que se aproxima la función, sin nunca* llegar a tocarlas. (*Hay raras excepciones.):
• VERTICALES: puntos k donde se anula el denominador, o donde el logaritmo se evalúa en 0: x = k
• HORIZONTALES: lim f(x) = k ϵ R lim f(x) = k ϵ R: y = k x→- ꝏ x→+ꝏ

i) Si antes crece y luego decrece, máximo. ii) Si antes decrece y luego crece, mínimo. iii) Si no cambia el crecimiento, punto de inflexión. c) Si f´(x)<0, la función es decreciente.

7. CURVATURA La curvatura de la función nos permitirá distinguir si la función toma valores por encima o por debajo de la tangente en los puntos críticos. Las posibles opciones son convexa o cóncava (también llamados cóncavo hacia arriba y cóncavo hacia abajo). - Obtenemos la segunda derivada: f’’(x) - Estudiamos la curvatura que toma, dando valores en los distintos apartados. - Así: a) Si f´´(x)>0, la función es convexa (cóncava hacia arriba). b) Si f´´(x)<0, la función es cóncava (cóncava hacia abajo).