limites laterales e infinitos, Diapositivas de Matemáticas

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Matemática Básica

Semana 11

UPN, PASIÓN POR TRANSFORMAR VIDAS

Límites laterales y límites al infinito Módulo 10

Interés

¿Qué sucede con el valor de la función tendencia, cuando 𝒙 tiende a 3 meses por la derecha y la izquierda?

Tema: Límites laterales y límites al infinito

Al finalizar la sesión, el estudiante

resuelve ejercicios y problemas

aplicativos relacionados a su

especialidad, haciendo uso de

límites laterales e infinitos

mostrando claridad, coherencia e

interpretando correctamente sus

resultados.

LOGRO

Temario:

Límite de una función

1. Límites laterales 2. Límites al infinito 3. Ejercicios 4. Situaciones significativas 5. Autoevaluación 6. Conclusiones

Ejemplos: Límites laterales

NO EXISTE Solución: 𝑙𝑖𝑚 𝑥→− 3 −^ 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→− 3 +^ 𝑓 𝑥 = lim 𝑥→− 3 𝑓 𝑥 𝑙𝑖𝑚 𝑥→ 2 −^ 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→ 2 +^ 𝑓 𝑥 = (^) lim 𝑥⟶ 2 𝑓 𝑥 = 4 EJEMPLO: Dada la función 𝑦 = 𝑓(𝑥) (Limites laterales diferentes) (Limites laterales iguales)

a) Calcule: lim

b) Calcule: lim

• 3 2
  • 1

x y Solución: 6 − 1 4 4

Ejemplo: Límites laterales

Dada la gráfica de la función 𝑦 = 𝑓(𝑥) calcular los siguientes límites:

• 2 1 3
  • 2 12 7 3
• 3
• 4 - 3 2 4

𝑎) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→− 2 −^ 𝑓 𝑥 = 𝑏) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→− 2 +^ 𝑓 𝑥 = 𝑐) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→− 2 3 3 𝑓^ 𝑥^ = 𝑑) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→ 1 −^ 𝑓 𝑥 = (^) 𝑒) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→ 1 +^ 𝑓 𝑥 = 𝑓)𝑙𝑖𝑚 𝑥→ 1 − 2 7 𝑓^ 𝑥^ 𝑁𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 3

3. Calcular 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟐 𝒇 𝒙 , si existe, siendo 𝒇 𝒙 = ൝^

𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟐, 𝒔𝒊 𝒙 ≤ 𝟐 𝒙𝟑^ + 𝟐𝒙𝟐^ + 𝟐𝟎 , 𝒔𝒊 𝒙 > 𝟐 Solución: Debemos determinar los límites laterales Como : lim f(x) 𝑥→ 2 − = lim f(x) 𝑥→ 2 + = 6 por lo tanto lim 𝑥→ 2 𝑓 𝑥 = 6 Límite por la izquierda: cerca a 2 (x < 2) (^) Límite por la derecha: cerca a 2 (x > 2) lim 𝑥→ 2 −^ 3 𝑥 2 − 4𝑥 + 2 = 3 2 2 − 4 2 + 2 = 𝟔 lim 𝑥→ 2 +^ 𝑥^3 + 2 𝑥^2 + 20 = ( 2 )^3 + 2 ( 2 )^2 + 20 = 𝟔

Ejemplos: límites laterales con 2 reglas de correspondencia

4. Calcule 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟑 𝒇(𝒙) , si existe, siendo 𝒇(𝒙) ൞ 𝟐𝒙𝟐−𝟓𝒙−𝟑 𝒙−𝟑 𝒔𝒊 𝒙 < 𝟑 𝒙+𝟏−𝟐 𝒙−𝟑 𝒔𝒊 𝒙 ≥ 𝟑 Solución: Debemos determinar los límites laterales Como: lim𝑓(𝑥) 𝑥→ 3 − ≠ lim𝑓(𝑥) 𝑥→ 3 + , luego lim 𝑥→ 3 𝑓(𝑥) no existe. Límite por la izquierda: cerca a 3 (x<3) Límite por la derecha: cerca a 3 (x>3) lim 𝑥→ 3 − 2 𝑥 2 − 5𝑥 − 3 𝑥 − 3 = 2 ( 3 ) 2 − 5 ( 3 ) − 3 ( 3 ) − 3 = 0 0 Factorizamos el numerador para evitar la indeterminación. lim 𝑥→ 3 − 2 𝑥 2 − 5𝑥 − 3 𝑥 − 3 = lim 𝑥→ 3 − (2𝑥 + 1 )(𝑥 − 3 ) 𝑥 − 3 lim 𝑥→ 3 −^ 2𝑥 + 1 = 2 3 + 1 = 7 lim 𝑥→ 3 + 𝑥 + 1 − 2 𝑥 − 3 = ( 3 ) + 1 − 2 ( 3 ) − 3 = 0 0 Para evitar la indeterminación se racionaliza el numerador multiplicando por 𝑥 + 1 +2. lim 𝑥→ 3 + 𝑥 + 1 − 2 ( 𝑥 + 1 + 2 ) (𝑥 − 3 )( 𝑥 + 1 + 2 ) lim 𝑥→ 3 + 𝑥 + 1 2 − 2 2 (𝑥 − 3 )( 𝑥 + 1 + 2 ) = lim 𝑥→ 3 + 𝑥 + 1 − 4 (𝑥 − 3 )( 𝑥 + 1 + 2 ) lim 𝑥→ 3 + 𝑥 − 3 (𝑥 − 3 )( 𝑥 + 1 + 2 ) = lim 𝑥→ 3 + 1 𝑥 + 1 + 2 = 1 3 + 1 + 2 = 1 4

Ejemplos: límites laterales con 2 reglas de correspondencia

Si los valores de la función f ( x ) tienden al número L cuando x aumenta indefinidamente, se

escribe:

lim ( )

x

f x L

=

De manera similar, valores de la función f (x) tienden al número M cuando x disminuye

indefinidamente, se escribe:

lim ( ) x f x M →− =

2. LIMITES AL INFINITO

FORMA

INDETERMINADA: Respuesta: 2

Calcule: lim

2

• 5𝑥 + 2 2 𝑥^2 + 3𝑥 − 1

lim 𝑥→∞ 4 𝑥 2

• 5𝑥 + 2 2 𝑥 2
• 3𝑥 − 1 = Solucion: (^) Se divide al numerador y denominador por la variable con su mayor exponente. = lim 𝑥→∞ 4 𝑥 2 𝑥 2 +^ 5𝑥 𝑥 2 +^ 2 𝑥 2 2 𝑥 2 𝑥 2

3𝑥 𝑥 2 − 1 𝑥 2 lim 𝑥→∞ 4 𝑥 2

• 5𝑥 + 2 2 𝑥 2
• 3𝑥 − 1 𝑥 2 𝑥 2

= 4 + 0 + 0 2 + 0 − 0 = 2 = lim 𝑥→∞ 4 + 5 𝑥

2 𝑥 2 2 + 3 𝑥 − 1 𝑥 2 = 4 + 5 ∞

2 ∞ 2 + 3 ∞ − 1 ∞

Calcule: lim

PROPIEDAD: 𝑘 ∞

Solución:

lim

4 ∞ − 5 = 4 ∞ = 0

Ejemplos: Límites al infinito

1. Determinar el siguiente límite:
2. Determinar el siguiente límite: Respuesta:

Respuesta: 0 lim 𝑥→∞ 4𝑥 2 − 3𝑥 + 5 8𝑥 2

• 2𝑥 + 7 lim 𝑥→∞ 3𝑥 2 − 2𝑥 − 1 2𝑥 3
• 4𝑥 − 3

Ejercicios: Límites al infinito

Para funciones polinómicas: Para hallar el límite de un polinomio en el infinito, se halla el límite del término de mayor grado (término dominante). 2 3 59 lim x (^) 3 6 x x →+   − + −     EJEMPLO: − 2 3 𝑥^3 Término de Grado Mayor lim 𝑥→+∞ − 2 3 𝑥 3 Queda por calcular: = −∞ 1 1 1 0 ( ) n n n n f x a x a x a x a − − = + + + + lim ( ) lim n n x x f x a x → → = ^   

Procedimiento para resolver límites al infinito:

Si el grado del numerador es menor que el grado del denominador es decir: n < m, entonces el límite de la función racional es 0. m m n n x b x a x lim →

EJEMPLO 1: Determine el valor del siguiente límite:

lim 𝑥→+∞

2 − 2𝑥 + 5 5 𝑥 3 − 𝑥 2

• 3𝑥 − 2 lim 𝑥→+∞

2 5 𝑥 3 Se cumple que: 2 < 3, entonces: lim 𝑥→+∞

2 − 2𝑥 + 5 5 𝑥 3 − 𝑥 2

• 3𝑥 − 2

1.-

Estrategias para resolver límites de funciones racionales:

Si el grado del numerador es igual al grado del denominador o sea n=m, entonces el límite de la función racional es el cociente de los coeficientes dominantes. m m n n x b x a x lim → EJEMPLO 2: Determine el valor del siguiente límite: lim 𝑥→+∞

3 − 2𝑥 + 1 4 𝑥^3 − 𝑥^2 − 8 lim 𝑥→+∞

3 4 𝑥^3 Se cumple que: 3 = 3, entonces: 2.- lim 𝑥→+∞

3 − 2𝑥 + 1 4 𝑥^3 − 𝑥^2 − 8

8 4

Estrategias para resolver límites de funciones racionales: