Limites, derivadas, etc., Diapositivas de Matemáticas

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1. ENTORNOS Y CONJUNTOS

▪ ENTORNOS: SIMÉTRICO Y REDUCIDO

▪ PUNTO DE ACUMULACIÓN Y PUNTO INTERIOR

▪ COTAS INFERIORES Y COTAS SUPERIORES

▪ CONJUNTO ACOTADO

ENTORNOS

ENTORNO SIMÉTRICO: Si 𝒂 es un número IR y 𝒓 es un número IR

positivo, se llama entorno simétrico de centro 𝒂 y radio 𝒓 al

intervalo abierto 𝑎 − 𝑟, 𝑎 + 𝑟.

Se lo indica: 𝐸 𝑎, 𝑟 = 𝑥 ∈ 𝑅/ 𝑥 − 𝑎 < 𝑟

Dado que: 𝑥 − 𝑎 < 𝑟 ⇔ −𝑟 < 𝑥 − 𝑎 < 𝑟

𝑥 ∈ 𝑎 − 𝑟, 𝑎 + 𝑟

Nota: Cuando no interesa especificar el radio del entorno, se utiliza la notación

abreviada: 𝐸(𝑎)

𝑎 − 𝑟 𝑎 𝑎 + 𝑟

Ejemplo 1 : utiliza las notaciones 𝑥 − 𝑎 < 𝑟 o 0 < 𝑥 − 𝑎 < 𝑟 para

expresar cada uno de los entornos:

a) 𝐸 1 , 3 → 𝑥 − 1 < 3

b) 𝐸

𝑟

Ejemplo 2 : utiliza las notaciones 𝐸 𝑎, 𝑟 o 𝐸

𝑟

𝑎, 𝑟 para expresar:

a) 𝑥 ∈ 𝑅/ 𝑥 − 1 < 4 → 𝐸 1 , 4

b) 𝑥 ∈ 𝑅/ 0 < 𝑥 + 3 < 1 → 𝐸

𝑟

Ejemplo 3 : expresa como entorno simétrico o reducido, según

corresponda, cada uno de los siguientes intervalos:

a) − 7 , 3 → 𝐸 − 2 , 5

b) 4 , 6 ∪ 6 , 8 → 𝐸

𝑟

• 7 − 2 3

4 6 8

PUNTOS

PUNTO DE ACUMULACIÓN: Sea 𝑺 un conjunto de puntos de la recta

real y 𝒂 un punto de dicha recta, que no necesariamente pertenece

a 𝑺, se dice que 𝒂 es punto de acumulación de 𝑺 si a todo 𝐸

𝑟

pertenece al menos un punto de 𝑺.

𝒂 es punto de acumulación de 𝑆 ⇔ ∀𝐸

𝑟

𝑟

PUNTO INTERIOR: Sea 𝑺 un conjunto de puntos de la recta real y 𝒃

perteneciente a 𝑺 (𝑏 ∈ 𝑆), se dice que 𝒃 es punto interior de 𝑺, si

existe al menos un entorno 𝐸(𝑏) enteramente incluido en 𝑺.

𝒃 ∈ 𝑺 es punto interior de 𝑆 ⇔ ∃𝐸(𝑏)/ 𝐸(𝑏) ⊆ 𝑆

Ejemplo 2 : determina si los puntos 3 ; 5 ; 0 son punto de acumulación

y/o punto interior de los siguientes conjuntos:

a) 𝑆 = 𝑥 ∈ 𝑅 / 𝑥 − 1 < 2

b) 𝑆 = 3 ; 5

c) 𝐸

𝑟

NOTA: el ejemplo será resuelto en la clase teórica

Ejemplo 3 : determina los puntos de acumulación y puntos interiores

de los conjuntos dominio e imagen de las siguientes funciones:

NOTA: el ejemplo será resuelto en la clase teórica

− − −    

−











x

y

− − −  

−

−

−



x

y

Ejemplo: determina cota inferior, superior, ínfimo y supremos de los

siguientes conjuntos.

1

2

3

4

5

NOTA: el ejemplo será resuelto en la clase teórica

CONJUNTO ACOTADO SUPERIORMENTE: 𝐶 ∈ 𝑅 es acotado

superiormente si existe una cota superior de 𝐶.

CONJUNTO ACOTADO INFERIORMENTE: 𝐶 ∈ 𝑅 es acotado

inferiormente si existe una cota inferior de 𝐶.

Un conjunto es Acotado si está acotado superior e inferiormente

𝐶 es Acotado ⇔ ∃𝑘

1

2

2

1

CONJUNTO ACOTADO

Ejemplos: Indica si son funciones acotadas y dominios acotados.

ℎ: 𝑅 → 𝑅 / ℎ 𝑥 = cos(𝑥)

2

2

NOTA: el ejemplo será resuelto en la clase teórica