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ANÁLISIS MATEMATICO
Unidad 1: Funciones, límites y continuidad
1. Funciones reales de variable real.
1.1. Concepto de función 1.2. Representación de una función
2. Operaciones con funciones. Estudio del dominio. Composición
2.1. Operaciones con funciones. 2.2. Dominios de los distintos tipos de funciones. 2.3. Composición de funciones
3. Función inversa
3.1. Definición y propiedades 3.2. Cálculo de la función inversa
4. Caracterización de una función
4.1. Crecimiento y decrecimiento (monotonía) 4.2. Cotas 4.3. Máximos y mínimos 4.4. Simetría 4.5. Periodicidad
5. Límite de una función
5.1. Límite en un punto 5.2. Límites laterales 5.3. Límites infinitos 5.4. Límites en el infinito 5.5. Propiedades de los límites. Operaciones con infinito
6. Cálculo de límites
6.1. Cálculo del límite en un punto 6.2. Cálculo del límite en una función definida a trozos 6.3. Cálculo de límites cuando x tiende a infinito 6.4. Indeterminaciones
7. Continuidad de una función
7.1. Continuidad de una función en un punto. Continuidad lateral 7.2. Continuidad de funciones a trozos. Operaciones con funciones continuas. 7.3. Discontinuidad de funciones. Tipos de discontinuidad.
Anexo: Funciones elementales
Concepto de función
Dados dos conjuntos A y B, llamamos función a la correspondencia de A en B en la cual todos los elementos de A tienen a lo sumo una imagen en B , es decir una imagen o ninguna.
Función real de variable real es toda correspondencia f que asocia a cada elemento de un determinado subconjunto de números reales, llamado dominio, otro número real.
f : D ℝ x f ( x ) = y
El subconjunto en el que se define la función se llama dominio o campo existencia de la función. Se designa por D, D( f ) o Dom ( f ). El dominio es el conjunto de elementos que tienen imagen.
D( f ) = { x ∈ ℝ / ∃ f ( x )}
El número x perteneciente al dominio de la función recibe el nombre de variable independiente.
Al número, y , asociado por f al valor x , se le llama variable dependiente. La imagen de x se designa por f ( x ). Luego y = f ( x )
Se denomina recorrido o imagen de una función al conjunto de los valores reales que toma la variable y o f ( x ). Se designa por R , R( f ), o Im( f ). El recorrido es el conjunto de elementos que tienen origen. R( f ) = { f ( x ) / x ∈ D}
Ejemplo: f ( ) x = x
Conjunto inicial Conjunto final
Dominio Conjunto imagen o recorrido
El dominio es el conjunto de elementos que tienen imagen: D( f ) = { x ∈ ℝ / ∃ f ( x )} = ℝ+
El recorrido es el conjunto de elementos que son imágenes: R( f ) = { f ( x ) / x ∈ D} = ℝ+
Operaciones con funciones. Estudio del dominio.
Dadas dos funciones f ( x ) y g ( x ), se definen, partiendo de ellas, nuevas funciones similares a las operaciones básicas entre números reales
- Función suma: s ( x ) = ( f + g )(x) = f ( x ) + g ( x )
- Función resta: d ( x ) = ( f – g )( x ) = f ( x ) – g ( x )
- Función producto: p ( x ) = ( fg )( x ) = f ( x ) · g ( x )
- Función cociente: ( ) ( ) ( ) ( )
f f x c x x g g x
= (^) =
, siempre que g ( x ) ≠ 0
Ejemplo:
Dadas las funciones f ( ) x = x + 1 y 2 ( ) 1
g x x
=
, hallar las funciones ( f + g )( x ), ( fg )( x ), y^ f^ ( ) x g
2 3 ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 1 1
x s x f g x f x g x x x x
= + = + = + + =
2 ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 2 1
p x fg x f x g x x x
= = ⋅ = + ⋅ =
( ) 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 1
f f x x x c x x g g x x
+ + = (^) = = =
Dominios de distintos tipos de funciones
- Función polinómica entera. (^) f ( ) x = P x ( ), siendo P ( x ) un polinomio con coeficientes reales.
El dominio es ℝ , es decir, cualquier número real tiene imagen.
Ejemplo : f ( x ) = x^2 – 5 x + 6 ⇒ D( f ) = ℝ
- Función racional. ( ) ( ) ( )
P x f x Q x
= , con P ( x ) y Q ( x ), polinomios
El dominio es ℝ menos los valores que anulan al denominador (no puede existir un número cuyo denominador sea cero).
Ejemplo : (^2) 2 5 ( ) 5 6
x f x x x
−
− +
⇒ D( f ) = ℝ – (^) { x / x^2 − 5 x + 6 = (^0) }= ℝ – { 2,3}
- Función irracional con radicando polinómico : Son del tipo f ( ) x = mP x ( ) ,
m P x g x Q x
Hay que distinguir dos casos: i. El índice m es impar. Entonces el dominio es ℝ, salvo en los valores de x en los que se anule el denominador.
Ejemplos:
- f ( ) x = 3 x^2 − 5 x + 6 ⇒ D( f ) = ℝ
- ( ) (^3 ) 5 6
x f x x x
= − +
⇒ D( f ) = ℝ – (^) { x / x^2 − 5 x + 6 = (^0) }= ℝ – (^) { 2,3}
ii. El índice m es par. Entonces el dominio está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero. Es decir, si f ( ) x = g x ( ), entonces D f ( ) = (^) { x ∈ / g x ( ) ≥ (^0) }.
Ejemplos
- f ( ) x = x^2 − 5 x + 6 ⇒ D f ( ) = (^) { x ∈ / x^2 − 5 x + 6 ≥ (^0) } = −∞( , 2] ∪ [3, ∞)
(^2 5 ) ( ) 4
x x f x x
− +
(^2 5 6 ) ( ) / 4 0
x x D f x x
(^) (^) − + ≥ = (^) ∈ ^ +^ ≠
D f ( ) = −∞ −( , 4) ∪ −( 4, 2] ∪ [3, ∞)
x f x x x
= − +
⇒ D f ( ) = (^) { x ∈ / x^2 − 5 x + 6 > (^0) } = −∞( , 2) ∪ (3, ∞)
4 ( ) 5 6
x f x x x
= − +
4 ( ) / 0 [ 4, 2) (3, ) 5 6
x D f x x x
+ = (^) ∈ ≥ (^) = − ∪ ∞ −^ +
- Función logarítmica : f ( ) x = log (^) a ( g x ( )), siendo g ( x ) cualquiera de los tipos anteriores.
El dominio está formado por todos los valores que hacen que la función contenida dentro del logaritmo sea mayor que cero. Es decir, si f ( ) x = log (^) a ( g x ( )), entonces D( f ) ={ x ∈ / g x ( ) > 0 }
Ejemplo : f ( ) x = log( x^2 − 5 x + 6) ⇒ D f ( ) = (^) { x ∈ / x^2 − 5 x + 6 > (^0) } = −∞( , 2) ∪ (3, ∞)
- Función exponencial : f ( ) x = ax
El dominio de la función exponencial es ℝ. Es decir, si f ( ) x = ax , con a > 0 y a ≠ 1 entonces se tiene que D( f ) = ℝ
- Dominio de la función seno : f ( ) x =sen x
El dominio de la función seno es ℝ, esto es, D(sen x ) = ℝ
- Dominio de la función coseno : f ( ) x =cos x
El dominio de la función coseno es ℝ, esto es, D(cos x ) = ℝ
- Dominio de la función tangente : f ( ) x =tan x
El dominio de la función tangente es todo ℝ menos los múltiplos impares de 2
π .
D(tan x ) = (2 1) / 2
k k
π^ π^ π
( g ∘ f )( x ) = g [ f ( x )] = g (2 x ) = 3 · (2 x ) + 1 = 6 x + 1 ( g ∘ f )(1) = 6 · 1 + 1 = 7
Ejemplos
- Sean las funciones: f ( ) x = 3 x + 2 , 3 ( ) 2 1
x g x x
=
a) Calcular ( g ∘ f ) ( x ): 3 2 3 3 5 [ ( )] (3 2) 2(3 2) 1 6 5
x x g f g f x g x x x
= = + = =
b) Calcular ( f ∘ g ) ( x ): 3 3 7 11 [g( )] 3 2 2 1 2 1 2 1
x x x f g f x f x x x
+^ +^ + = = (^) = + = +^ +^ +
- Sean las funciones: 2 ( ) 2 1
x f x x
=
, g x ( ) = x
a) Calcular ( g ∘ f ) ( x ): 2 2 [ ( )] 2 1 2 1
x x g f g f x g x x
+^ + = = (^) = +^ +
b) Calcular ( f ∘ g ) ( x ): ( )
2 [g( )] 2 1
x f g f x f x x
= = =
- Sean las funciones: 1 ( ) 2 1
f x x
= −
2 1 ( ) 2 1
x g x x
−
1 h x ( ) x
=
a) Calcular ( g ∘ f ) ( x ):
1 2 1 1 2 1 2 3 [ ( )] 2 1 1 2 1 2 1 2 1
x^ x g f g f x g x x x
− ^ − ^ −^ + = = = ^ = (^) − + (^) + (^) −
b) Calcular ( h ∘ g ∘ f ) ( x ): 2 3 1 2 1 [( )( )] 2 1 2 3 2 3 2 1
x x h g f h g f x h x x x x
−^ +^ + = = (^) = = +^ −^ + −^ +
- Propiedades de la composición de funciones.
- Asociativa: f ∘ ( g ∘ h ) = ( f ∘ g ) ∘ h
- No es conmutativa. f ∘ g ≠ g ∘ f
- El elemento neutro es la función identidad, i ( x ) = x. f ∘ i = i ∘ f = f
- Dominio de la composición de funciones
Se define el dominio de la función f compuesta con g como aquellos valores pertenecientes al dominio de f , cuya imagen está en el dominio de g , esto es: D( g ∘ f ) = { x ∈ D( f ) / f ( x ) ∈ D( g )}
Función inversa
Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f −^1 que cumple que si f ( a ) = b , entonces f −^1 ( b ) = a****.
Veamos un ejemplo a partir de la función f ( x ) = x + 4
Podemos observar que:
- El dominio de f −^1 es el recorrido de f.
- El recorrido de f −^1 es el dominio de f.
Si queremos hallar el recorrido de una función tenemos que hallar el dominio de su función inversa.
Si dos funciones son inversas su composición es la función identidad.
( f ∘ f −^1 )( x ) = ( f −^1 ∘ f )( x ) = x
Las gráficas de f y f -^1 son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante.
T.V.= f ( x + h ) – f ( x )
- Función estrictamente creciente
Se dice que f es estrictamente creciente en a si sólo si existe un entorno de a , tal que para toda x que pertenezca al entorno de a se cumple: ( ) ( ) ( ) ( )
x a f x f a x a f x f a
Se verifica que la tasa de variación es positiva: T.V. > 0
Se dice que f es creciente en a si sólo si existe un entorno de a , tal que para toda x que pertenezca al entorno de a se cumple: ( ) ( ) ( ) ( )
x a f x f a x a f x f a
La tasa de variación es positiva o igual a cero. T.V. ≥ 0
- Función estrictamente decreciente
Se dice que f es estrictamente decreciente en a si sólo si existe un entorno de a , tal que para toda x que pertenezca al entorno de a se cumple: ( ) ( ) ( ) ( )
x a f x f a x a f x f a
Se verifica que la tasa de variación es negativa: T.V. < 0
- Función decreciente Se dice que f es decreciente en a si sólo si existe un entorno de a , tal que para toda x que pertenezca al entorno de a se cumple: ( ) ( ) ( ) ( )
x a f x f a x a f x f a
La tasa de variación es negativa o igual a cero. T.V. ≤ 0
Funciones acotadas
- Función acotada superiormente Se dice que una función f está acotada superiormente si existe un número real k tal que para toda x es f ( x ) ≤ k. El número k se llama cota superior.
k = 0,
- Función acotada inferiormente Una función f está acotada inferiormente si existe un número real k′ tal que para toda x es f ( x ) ≥ k′. El número k′ se llama cota inferior.
k′ = 2
Una función está acotada si lo está a superior e inferiormente: k′ ≤ f ( x ) ≤ k
k = ½ k′ = -½
f ( − x ) = −( x )^4 − 3( − x ) 2 + 4 = x^4 − 3 x^2 + 4 = f ( ) x
- Simetría respecto al origen. Función impar
Una función f es simétrica respecto al origen cuando para todo x del dominio se verifica: f (− x ) = − f ( x ) Las funciones simétricas respecto al origen reciben el nombre de funciones impares.
Ejemplo. Comprobar que la siguiente función es impar: f ( ) x = x^5 − 3 x^3
f ( − x ) = −( x ) 5 − 3( − x )^3 = − x^5 + 3 x^3 = −( x^5 − 3 x^3 ) = − f ( ) x
Funciones periódicas
Una función f ( x ) es periódica , de período T , si para todo número entero z , se verifica:
F ( x ) = f ( x + z · T)
Estudio de funciones periódicas
La función f ( x ) = sen x es periódica de periodo 2π, ya que cumple que sen ( x + 2π · z ) = sen x
La función f ( x ) = tan x es periódica de periodo π, ya que cumple que tan ( x + z · π) = tan x.
La función mantisa, f ( x ) = x – E( x ) , (con E( x ) = parte entera de x ), es periódica de periodo 1.
Cálculo del periodo
Si tenemos una función periódica f ( x ) de periodo T, la función g ( x ) = f ( k · x ), con k ∈ ℝ tiene de
periodo
T
T '
k
Ejemplo. Hallar el periodo de las funciones siguientes:
f ( x ) = sen 2 x f ( x ) = tg ( x /2) f ( x ) = E( x /2) 2 T ' 2
= = π T ' 2
T ' 2
Límites laterales
Diremos que el límite de una función f ( x ) cuando x tiende hacia a por la izquierda es L , si y sólo si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si x ∈ ( a − δ, a ) , entonces | f ( x ) − L | < ε.
lim ( ) 0 ( ) 0 / ( , ) ( ) x a − f^ x^ L^^ ε^ δ ε x^ a^ δ a^ f^ x^ L ε →
Diremos que el límite de una función f ( x ) cuando x tiende hacia a por la derecha es L , si y sólo si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si x ∈ ( a , a + δ), entonces | f ( x ) − L | < ε.
lim ( ) 0 ( ) 0 / ( , ) ( ) x a
+ f^ x^ L^^ ε^ δ ε x^ a a^ δ f^ x^ L ε
→
El límite de una función en un punto si existe, es único.
Ejemplos :
(^2) si 2 ( ) 4 si 2
x x f x x
2 2
2
lim 4
lim 4 4
x
x
− x
→
→
En este caso vemos que el límite tanto por la izquierda como por la derecha cuando x tiende a 2 es 4. El límite de la función es 4 aunque la función no tenga imagen en x = 2.
Para calcular el límite de una función en un punto, no nos interesa lo que sucede en dicho punto sino a su alrededor.
1 si 0 ( ) (^0) si 0 1 si 0
x f x (^) x x
^ −^ <
0
0
lim 1 1
lim 1 1
x
x
−
→
→
Como no coinciden los límites laterales , la función no tiene límite en x = 0.
Limites infinitos
Límite infinito
Una función f ( x ) tiene por límite +∞ cuando x → x 0 , si fijado un número real positivo k > 0 se verifica que f ( x ) > k para todos los valores próximos a a.
0 0
lim ( ) ( ) 0 / 0 ( ) x x
f x k + δ k x x δ f x k
→
Ejemplo
0 2
lim x → x
Límite menos infinito
Una función f ( x ) tiene por límite -∞ cuando x → x 0 , si fijado un número real negativo k < 0 se verifica que f ( x ) < k para todos los valores próximos a x 0.
0 0
lim ( ) ( ) 0 / 0 ( ) x x
f x k − δ k x x δ f x k
→
Ejemplo :
0 2
lim x → x
−^ = −∞
Propiedades de los límites
Límite de una constante lim x → ak^ = k
Límite de una suma lim x → a^ [^ f^ ( ) x^^ ±^ g x ( )^ ]^ =^ lim x → a f^ ( ) x^^ ±lim x → a^ g x ( )
Límite de un producto lim x → a^ [^ f^ ( ) x^^ ⋅^ g x ( )^ ]^ =^ lim x → a^ f^ ( ) lim x^ ⋅ x → a^ g x ( )
Límite de un cociente
( )^ lim^ ( ) lim Si lim ( ) 0 ( ) lim ( )
x a x a x a x a
f x f^ x g x g x g x
→ → → →
=^ ≠
Límite de una potencia [^ ] ( ) lim^ (^ ) lim ( ) lim ( ) x^ a^ Si ( ) 0 g x g x x a x a f x f x → f x → →
Límite de una función
lim x → a g (^) [ f ( ) x (^) ] = g lim^ x → a f ( ) x donde g puede ser una raíz, un log, sen, cos, tg, etc.
Límite de una raíz
Si es impar ( ) lim ( ) lim ( ) Si es par ( ) 0
n (^) n x a x a
n f x f x f x → → n f x
Límite de un logaritmo lim log x → a [ (^) a f^ ( ) x^^ ]=^ log^ a ^ lim x → a^ f^ ( ) x^^ Si^ a^ >^ 0 y^ f^ ( ) x^ >^0
Operaciones con infinito
Debemos señalar que estas indicaciones no son operaciones propiamente dichas , sino simplemente un recurso para ayudarnos a resolver límites. Debemos tener claro que infinito no es un número.
No distinguimos entre +∞ y −∞ para no alargar excesivamente la lista. Nos basta con saber:
- La regla de los signos
- a –n^ = 1/ a n
Sumas con infinito
Infinito más un número ∞ ± k = ∞
Infinito más infinito ∞ + ∞ = ∞
Infinito menos infinito ∞ – ∞ → Indeter
Productos con infinito
Infinito por un número ∞ · (± k ) = ± ∞ si k ≠ 0
Infinito por infinito ∞ · ∞ = ∞
Infinito por cero ∞ · 0 → Indeter
Cocientes con infinito y cero
Cero partido por un número 0 0 k
Un número partido por cero
k = ∞
Un número partido por infinito
0 k = ∞
Infinito partido por un número
k
Cero partido por infinito 0 = 0 ∞
Infinito partido por cero
Cero partido por cero 0 0
→ Indeter
Infinito partido por infinito ∞ ∞
→ Indeter
Potencias con infinito y cero
Un número elevado a cero
k^0 = 1
Cero elevado a cero
0 0 → Indeter
Infinito elevado a cero ∞^0 → Indeter
Cero elevado a un número 0 si 0 0 si 0
k k k
^ >
∞^ <
Un número elevado a infinito si 1 0 si 0 1
k k k
∞ = ∞^ >
<^ <
Cero elevado a infinito
0 ∞^ = 0
Infinito elevado a infinito
∞^ ∞ = ∞
Uno elevado a infinito 1 ∞^ → Indeter
