Limites: limites laterales, Esquemas y mapas conceptuales de Análisis Matemático

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LÍMITES

Limites laterales

SABEMOS QUE

Límite de una función real en un punto “ a” es el valor L al que

se aproxima la función (es decir, su coordenada y ) a medida que la

coordenada x se aproxima a “ a”. Queda expresado así:

Se lee " límite de f(x) cuando x tiende a a " A medida que nos acercamos a x= a , las correspondientes imágenes se aproximan al valor del límite L Def. simbólica: ε>0, existe δ>0 | |f(x)−L|< ε si |x−a|<δ

Suponiendo que el límite existe*, los limites laterales pueden ser: Finitos

LÍMITE INFINITO (POSITIVO)

Por la izquierda

Decimos que el límite de una función, cuando x se aproxima a “a” por la izquierda, es más infinito cuando para cualquier valor k (en el eje y ), tan grande como se quiera, siempre se puede encontrar un valor real positivo δ (en el eje x ) tal que las imágenes de cualquier x comprendido entre ”a -δ” y “a” serán siempre mayores que k. Simbólicamente: f(x)=+∞ ⇔ ∀ k>0, ∃ δ>0 ∣ ∀ x ∈ Domf, a−δ<x<a ⇒ f(x)>k f(x)>k a- δ<x<a

LÍMITE INFINITO (NEGATIVO)

Por la izquierda

Decimos que el límite de una función, cuando x se aproxima a ”a” por la izquierda, es menos infinito cuando para cualquier valor k (en el eje y ), negativo y tan grande en valor absoluto como se quiera, siempre se puede encontrar un valor real positivo δ (en el eje x ) tal que las imágenes de cualquier x comprendido entre ”a -δ” y ”a” serán siempre menores que k. Simbólicamente: f(x)=-∞ ⇔ ∀ k<0, ∃ δ>0 ∣ ∀ x ∈ Domf, a−δ<x<a ⇒ f(x)<k a−δ<x<a f(x)<k

Por la derecha

Decimos que el límite de una función, cuando x se aproxima a ”a” por la derecha, es menos infinito cuando para cualquier valor k (en el eje y ), negativo y tan grande en valor absoluto como se quiera, siempre se puede encontrar un valor real positivo δ (en el eje x ) tal que las imágenes de cualquier x comprendido entre ”a” y ”a+δ” serán siempre menores que k. Simbólicamente: f(x)=-∞ ⇔ ∀ k<0, ∃ δ>0 ∣ ∀ x ∈ Domf, a<x<a+δ ⇒ f(x)<k a<x<a+δ f(x)<k

• ∞

Por la derecha

Decimos que f(x)=L, siendo L un valor finito, cuando para cualquier entorno de L que tomemos, con radio ε, podemos encontrar un δ>0, tal que las imágenes de x que se encuentran en el intervalo a<x<a+δ están dentro del entorno de L , es decir, |f(x)-L|<ε. Simbólicamente: f(x)=L ⇔ ∀ ε>0, ∃ δ>0 ∣ ∀ x ∈ Domf, a<x<a+δ ⇒ |f(x)–L|<ε a<x<a+δ |f(x)-L|<ε L

Sea

Al acercarnos al circulo sobre la curva roja podemos observar que:

Al acercarnos al circulo sobre la recta verde podemos observar que:

En este caso vemos que el límite tanto por la izquierda como por la

derecha cuando es 4

EJEMPLOS

Punto inexistente (2;4)

EJEMPLOS

Si f(x) presenta un denominador que se anula y un numerador que

no se anula en, por ejemplo al siguiente ejercicio, x=3, o sea una

indeterminación del tipo k/0. En este caso, el límite será más

infinito o menos infinito, según sea la relación entre el signo del

numerador y el del denominador.

EJEMPLOS

Existen casos donde en la función no esta definida en todos los

reales. Un gran ejemplo son los logaritmos como el Ln(x). Se sabe

que estrictamente los valores que puede tomar el argumento,

necesariamente, deben ser x>0. Por lo tanto, me está indicando

que por la izquierda de cero no podemos calcular su límite.

Veamos:

Ln(x+7) =

En x=-7 se observa una discontinuidad

EJEMPLOS

Consideremos la función f(x)= y queremos calcular su límite en 0, es

decir, el límite.

Cuando x toma valores cercanos a 0 por su derecha toma valores

positivos grandes. Entonces su límite es

Si x se aproxima por la izquierda de 0, f(x) toma valores muy

pequeños. Entonces su límite es

Lógicamente, si una función f(x) tiende a puntos distintos

cuando x se aproxima por la izquierda y por la derecha de a, no

tiene sentido hablar del límite de f(x) en a. En este caso, decimos

que el límite no existe.

EJEMPLOS

En esta, a diferencia del otro, calcular su limite resulta inmediato.

Conociendo el gráfico de la función se observa que el limite de x

tendiendo a 0 (cero) resulta en

Analíticamente también podríamos haber considerado que se

trataba de un límite no finito ) a raíz de la asíntota que restringe a la

función (x=0).