Límites laterales y límites al infinito: Concepto, interpretación y métodos de cálculo, Ejercicios de Matemáticas

¡Descarga Límites laterales y límites al infinito: Concepto, interpretación y métodos de cálculo y más Ejercicios en PDF de Matemáticas solo en Docsity!

Límites laterales y

límites al infinito

Módulo 10

Matemática Básica

2021 - 1

Semana 11

Motivación

Hyperion es el nombre dado

al árbol y ser viviente más alto del

planeta (descubierto), una Sequoia

sempervirens, de 115 , 55 metros de

altura, localizada en el Parque

nacional Redwood, al norte de

California (Estados Unidos).

El crecimiento de este

árbol de entre 600 y

800 años de edad se

estabilizará a lo largo

del tiempo a medida

que alcance su edad

adulta.

¡ EL ÁRBOL MAS ALTO DEL MUNDO!

¿ En qué otros

casos existen

límites del

crecimiento?

¡ EL ÁRBOL MAS ALTO DEL MUNDO!

Logro

Al finalizar la sesión, el estudiante será capaz

de calcular límites laterales e infinitos, así

como, la solución e interpretación de

problemas aplicados al estudio de fenómenos

naturales, económicos y sociales, haciendo

uso de las propiedades operacionales de los

límites y técnicas de factorización, siguiendo

un proceso lógico y fundamentado.

Tema: Límites, interpretación y métodos de cálculo

Tema: Límites, interpretación y métodos de cálculo

Temario

Límite de una

función

1. Límites laterales 2. Límites al

infinito

3. Ejercicios
   4. Situaciones

significativas

5. Autoevaluación
   6. Conclusiones

Ejemplo : Gráfica de un acercamiento por izquierda

Matemáticamente: x  3

3

5

Gráficamente:

Cuando x se aproxima a 3 por medio de

valores menores que el 3 , se dice que x se

aproxima a 3 por la izquierda

x

Gráfica de un acercamiento por derecha

Cuando x se aproxima a 3 por medio de

valores mayores que el 3 , se dice que x se

aproxima a 3 por la derecha

Matemáticamente: x  3

Gráficamente:

3

5

x

Si realizamos ambas aproximaciones al mismo tiempo,

obtenemos:

x x

Ejercicios desarrollados

1. Calcular lim 𝑥→ 2

𝑓 𝑥 , si existe, siendo 𝑓 𝑥 =

3 𝑥

2 − 4𝑥 + 2 , 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 2

𝑥^3 + 2 𝑥^2 + 20 , 𝑠𝑖 𝑥 > 2

SOLUCIÓN: Debemos determinar los límites laterales

Como limf(x)

𝑥→ 2

−

= limf(x)

𝑥→ 2

= 6 por lo tanto lim 𝑥→ 2

𝑓 𝑥 = 6

Límite por la izquierda: cerca a 2 (x < 2) (^) Límite por la derecha: cerca a 2 (x > 2)

lim 𝑥→ 2 −^

3 𝑥

2 − 4𝑥 + 2

= 3 2

2 − 4 2 + 2

= 𝟔

lim 𝑥→ 2 +^

𝑥 3

• 2 𝑥 2
• 20

= ( 2 ) 3

• 2 ( 2 ) 2
• 20

= 𝟔

Ejercicios desarrollados

2. Calcule lim 𝑥→ 3

𝑓(𝑥), si existe, siendo 𝑓(𝑥)

2 𝑥^2 −5𝑥− 3

𝑥− 3

𝑠𝑖 𝑥 < 3

𝑥+ 1 − 2

𝑥− 3

𝑠𝑖 𝑥 ≥ 3

SOLUCIÓN: Debemos determinar los límites laterales

Como: lim𝑓(𝑥)

𝑥→ 3 −

≠ lim𝑓(𝑥)

𝑥→ 3

, luego lim 𝑥→ 3

𝑓(𝑥) no existe.

Límite por la izquierda: cerca a 3 (x<3) Límite por la derecha: cerca a 3 (x>3)

lim 𝑥→ 3 −

2 𝑥

2 − 5𝑥 − 3

𝑥 − 3

=

2 ( 3 )

2 − 5 ( 3 ) − 3

( 3 ) − 3

=

0

0

Factorizamos el numerador para evitar la indeterminación.

lim 𝑥→ 3 −

2 𝑥

2 − 5𝑥 − 3

𝑥 − 3

= lim 𝑥→ 3 −

(2𝑥 + 1 )(𝑥 − 3 )

𝑥 − 3

lim 𝑥→ 3 −^

2𝑥 + 1 = 2 3 + 1 = 7

lim 𝑥→ 3 +

𝑥 + 1 − 2

𝑥 − 3

=

( 3 ) + 1 − 2

( 3 ) − 3

=

0

0

Para evitar la indeterminación se racionaliza el numerador

multiplicando por 𝑥 + 1 +2.

lim 𝑥→ 3 +

𝑥 + 1 − 2 ( 𝑥 + 1 + 2 )

(𝑥 − 3 )( 𝑥 + 1 + 2 )

lim 𝑥→ 3 +

𝑥 + 1

2 − 2

2

(𝑥 − 3 )( 𝑥 + 1 + 2 )

= lim 𝑥→ 3 +

𝑥 + 1 − 4

(𝑥 − 3 )( 𝑥 + 1 + 2 )

lim 𝑥→ 3 +

𝑥 − 3

(𝑥 − 3 )( 𝑥 + 1 + 2 )

= lim 𝑥→ 3 +

1

𝑥 + 1 + 2

=

1

3 + 1 + 2

=

1

4

Si los valores de la función f ( x ) tienden al número L cuando x aumenta indefinidamente, se

escribe:

lim ( )

x

f x L





De manera similar, valores de la función f (x) tienden al número M cuando x disminuye

indefinidamente, se escribe:

lim ( )

x

f x M





Conclusión:

Si n es entero positivo,

Para funciones RACIONALES:

lim

𝑥→±∞

𝑛

𝑛

𝑛− 1

𝑛− 1

1

0

𝑚

𝑚− 1

Para hallar el límite de una función racional en el infinito, se halla el límite del cociente

del término dominante del numerador y denominador.

m

m

n

n

x b x

a x

lim 

Estrategias para resolver límites de funciones RACIONALES:

Si el grado del numerador es menor que el grado del

denominador es decir: n < m, entonces el límite de la

función racional es 0.

m m

n n

x b x

a x

lim 

EJEMPLO 1: Determine el valor del siguiente límite:

lim 𝑥→+∞

4 𝑥

2 − 2𝑥 + 5

2 𝑥

3 − 𝑥

2

• 3𝑥 − 2

lim 𝑥→+∞

4 𝑥

2

2 𝑥

3

Se cumple que: 2 < 3,

entonces:

lim 𝑥→+∞

4 𝑥

2 − 2𝑥 + 5

2 𝑥

3 − 𝑥

2

• 3𝑥 − 2

= 0

Si el grado del numerador es mayor que el grado del

denominador o sea n>m, entonces el límite de la

función no existe, por lo que es ∞.

m m

n n

x b x

a x

lim 

EJEMPLO 3: Determine^ el^ valor^ del^ siguiente^ límite:

lim 𝑥→+∞

5 𝑥

4 − 5 𝑥

2

• 6

8 𝑥 2 − 2𝑥 + 7

lim 𝑥→+∞

5 𝑥

4

3 𝑥 2

Se cumple que: 4 > 2,

entonces:

lim^ =^ ∞ 𝑥→+∞

5 𝑥

4 − 5 𝑥

2

• 6

8 𝑥 2 − 2𝑥 + 7

2 3

4 5

2

2

lim 



  (^) x

x

x

x

x x

x (^) 1 2

3

4

lim 



 

x

x x

x (^) 1 2

3

4

lim 



 

3

7 lim 2 



  x

x

x

Calcule los siguientes límites

= 2

= 0

= −∞

= ∞

Ejercicios: