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2. LIMITES Y CONTINUIDAD.
2.1. Idea intuitiva y definición de límite.
El límite de una función es el concepto principal que distingue al cálculo del álgebra
y de la geometría analítica. La noción de un límite es fundamental para el estudio
del cálculo. De esta manera, es importante adquirir un buen concepto de límite antes
de incursionar en otros tópicos de cálculo.
Sucesiones que tienden a un valor a.
Dado un número cualquiera a, por ejemplo, el 3, podemos formar una sucesión de
números crecientes que se aproximen al 3 (se dice que tienden a 3) y otra de números
decrecientes que también tienden a 3.
Ejemplo:
Una sucesión de valores crecientes que tienden a 3 es:
Y una sucesión de valores decrecientes que también tienden a 3
es:
Análogamente se pueden formar otras sucesiones para el mismo número 3
, o bien
para un número cualquiera a.
Límite de una sucesión.
Se dice que el límite de la sucesión 1 , 1. 3 , 1. 33 , 1. 333 , … es
(que es el valor de
la fracción generatriz de la sucesión) porque la diferencia entre
y los valores de
la sucesión
, etc., llega a ser y se mantiene tan
pequeña como se quiera, a partir de un valor de la sucesión en adelante.
El límite de la sucesión 2 , 1. 4 , 1. 34 , 1. 334 , … también es
El límite de la sucesión 1 , 1. 9 , 1. 99 , 1. 999 , … es dos porque las diferencias 2 1 1 ,
2 1. 9 0. 1 , 2 1. 99 0. 01 , etc., llegan a ser y se mantienen tan pequeñas como se
quiera a partir de un valor de la sucesión en adelante.
La sucesión de números naturales
, 5 , …, n , n 1 , … no tiene límite, pero
como llega a ser y se mantiene mayor que cualquier número positivo, por grande
que se tome, se dice entonces que la sucesión tiende a más infinito o simplemente a
infinito.
Si se toman los valores por defecto y por exceso de
se obtienen las sucesiones:
Valores crecientes
Valores decrecientes
que tiene por límite 2.
2.2. Cálculo de límites gráfica y numéricamente (tabulación).
Límite de una función.
Si tenemos, por ejemplo, la función
y x 1
y tomamos una sucesión de valores
crecientes de x que tiendan a 3, y otra sucesión de valores decrecientes que también
tiendan 3, y hallamos los valores de la función para los valores de estas sucesiones,
tendremos:
Valores crecientes Valores decrecientes
x
y
x
y
En este caso decimos que el límite de la función y x 1 cuando
x
tiende a 3 es 4, y
se escribe: lim 1 4
3
x
x
Para calcular el límite de la función y x 4 x
2
cuando x 2
, tomaremos las
sucesiones que se indican.
Valores crecientes Valores decrecientes
x
y
x
y
El límite es 12.
Cálculo del límite de la función
2
4
2
x
x
y
cuando x
tiende a 2.
Tomando las mismas sucesiones anteriores, resulta:
Valores crecientes Valores decrecientes
x
y
x
y
El límite es 4.
independientemente de los valores que tome la variable. c c
x a
lim.
Ejemplo. El límite de 8
cuando x tiende a 4 es 8
- Si dos funciones son iguales para todo valor de x
diferente de a
y una de ellas
tiene límite cuando x tiende al valor a , la otra tiene el mismo límite cuando
x a
Ejemplo. Las funciones
2
x
x
y
y y x 2
son iguales para todo
valor de excepto para x 2
en que la primera no está definida. En efecto:
x
2
4
2
x
x
x x 2
no está definida 2 4
Como el límite de la primera cuando x 2 hemos visto que es 4. El límite de la
segunda cuando x 2 también es 4 , como vimos anteriormente.
- El límite de la suma de un número finito de funciones cuando x a , es igual a
la suma de los límites de estas funciones cuando x a.
Ejemplo .lim 3 lim lim 3 5 3 8
5 5 5
x x x
x x.
- El límite del producto de un número finito de funciones cuando x a , es igual
al producto de los límites de estas funciones cuando x a.
Ejemplo .lim 5 lim 5 lim lim lim 5 2 2 2 40
2 2 2 2
3
2
x x x x x
x x x.
Caso particular. El límite del producto de una constante por una función, cuando
x a , es igual al producto de la constante por el límite de la función cuando
x a.
- El límite del cociente de dos funciones cuando x a es igual al cociente de los
límites de las funciones cuando x a , siempre que el límite del denominador
no sea igual a cero.
Ejemplo.
lim 2 lim 1
lim 4 lim 7
lim 2 1
lim 4 7
lim
2 2
2 2
2
2
2
x x
x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
De estas propiedades se deduce: Para calcular el límite de un polinomio entero en
x cuando x a se encuentra el valor del polinomio para x a.
Ejemplo .lim 3 4 1 3 5 4 5 1 94
2 2
5
x x
x
Ejercicios:
- ¿Cuál es el límite de la sucesión 3, 3.2, 3.22, 3.222, …?
- Calcular el límite de la sucesión 5, 5.1, 5.17, 5.177, …
- Calcular el límite de la sucesión 3, 3.9, 3.99, …
- Calcular el límite de la sucesión 2, 2.39, 2.399, …
- Utilizando dos sucesiones, una de valores crecientes y otra de valores
decrecientes, calcular el límite de la función y 3 x 2 , cuando x tiende a 3.
De la misma forma que en el ejercicio 5, calcular:
lim 1
2
1
x
x
2. lim 3 1
2
1
x
x
lim
2
3
x
x
x
Aplicando las proposiciones que sirven para el cálculo de límites, encontrar:
- x
x 5
lim
- x
x 4
lim
x
x
3
1
lim
x
x
2
1
lim
- lim 8
x 4
1
lim
x
lim 4
3
x
x
8. lim 9
9
x
x
x
x
lim 5
2
- x
x
lim 7
3
2
1
lim 4 x
x
3
2
lim x
x
lim
4
x
x
x
lim
2
4
0
x
x
x
lim
2
3
x
x
lim
3
24
x
x
x
Calcular los límites de los siguientes polinomios:
lim 5 4 6
2
1
x x
x
2. lim 6 4 1
3 2
1
x x
x
3. lim 4 8 5
4
2
1
x x
x
lim 7 4 9
3 2
3
x x x
x
5. x ax
x a
2
lim
6. lim 7 7 4
2
x ax
x a
De las funciones de parte entera, la llamada función
piso (o suelo) entero , representada por
f x x , que
también es llamada función mayor entero, es la más
estudiada, esta función asigna a cada número real
entero ese mismo número entero y a cada número real
no entero, le asigna el menor de los enteros entre los
que está comprendido (el mayor número entero que es
menor o igual que él).
Si consideramos el límite de la función piso
f x x
cuando x tiende a 2 , como se muestra en la gráfica, el
límite cuando x se aproxima 2 por la izquierda es
lim 1
2
x
x
Mientras que el límite cuando x
se aproxima 2 por la derecha es
lim 2
2
x
x
Aunque como se puede apreciar en los ejemplos anteriores, es importante considerar
los límites laterales, si decimos que una función f x tiene un límite (a secas) cuando
x se aproxima a , implica que existen los límites laterales izquierdo y derecho y
además estos límites laterales son iguales, es decir:
f x l
x a
lim f x l
x a
lim
y f x l
x a
lim
2.5. Límites indeterminados (cancelación de factores iguales y racionalización).
Formas indeterminadas del tipo
Hasta ahora al calcular el límite de una fracción hemos visto:
- Si el numerador y el denominador tienen límite distinto de cero, el límite de la
fracción es igual al cociente de los límites.
- Si el límite del numerador es cero y el del denominador es distinto de cero, el
límite de la fracción es igual a cero.
- Si el límite del numerador es distinto de cero y el del denominador es cero, la
fracción no tiene límite y se dice que tiende a más o menos infinito, según el caso.
Pero si los límites del numerador y del denominador son ambos iguales a cero, se
obtiene la expresión
, que es una de las formas llamadas indeterminadas porque
cualquier número que se ponga como cociente cumple con la condición de que
multiplicándolo por el divisor, resulta el dividendo.
De estas formas solamente estudiaremos algunas de aquellas en las cuales se puede
quitar la indeterminación mediante operaciones algebraicas sencillas.
Ejemplos:
Calcular el
1
2 3
lim
2
1
x
x x
x
Aplicando la proposición relativa al límite de un cociente tenemos:
lim 1
lim 2 3
lim
1
2
1
2
1
x
x x
x
x x
x
x
x
Ahora bien, factorizando el numerador resulta:
lim 3 1 3 4
1
3 1
lim
1
2 3
lim
1 1
2
1
x
x
x x
x
x x
x x x
Calcular el
1
1
lim
3
1
x
x
x
Procediendo como en el ejemplo anterior vemos que también se obtiene
Para quitar la indeterminación podemos factorizar el numerador, pero es más
cómodo y más general aplicar la propiedad que dice: “Si un polinomio entero en x
se anula para x c , es divisible entre x c ”. En este caso, como 1
3
x se anula para
x 1 , resulta divisible entre x 1. Efectuando la división obtenemos:
lim 1 1 1 1 3
1
1
lim
2
1
3
1
x x
x
x
x x
Calcular el
x a
x a
x
1
lim
En este caso también se obtiene la forma
Para quitar la indeterminación multiplicaremos numerador y denominador por el
binomio conjugado del numerador y tendremos:
x a x a x a a
x a
x a x a
x a x a
x a
x a
x a x a x a x a
2
lim lim lim lim
indica que la sucesión 1 , 10 , 100 ,etc.
, llega a ser un número positivo tan grande
como se quiera.
En este caso la función
x
y
no tiende a ningún límite pero se dice que tiende a
menos infinito (a veces también, aunque es incorrecto, que tiene límite infinito)
cuando x 0 por la izquierda, y tiende a más infinito cuando x 0 por la derecha.
Esto se representa así:
x
cuando x 0 , por la derecha o por la izquierda.
No hay que olvidar que es un símbolo, la idea de que no hay fin, no un número.
Por esto es incorrecto decir que es un límite. Si se escribe x
se sobrentiende que
es a .
Límite de
x
y , cuando x 1.
En este caso tampoco podemos aplicar la proposición relativa al límite de un
cociente, porque el límite del denominador es cero. Tabulando para valores
crecientes y decrecientes de x , tendremos:
Valores crecientes Valores decrecientes
x
x
x
x
- 9 10 2 1
0. 99 100 1. 1 10
0. 999 1000 1. 01 100
0. 9999
- 001 1000
Vemos que no hay límite. Observamos que según se
haga tender x a 1 por la izquierda o por la derecha, es
decir, en una sucesión creciente o decreciente, se
obtiene que la función tiende a o a cuando
x 1.
La gráfica de la función nos expresa lo que ocurre al
tender x al valor
. La recta x 1 es una asíntota de
la curva, que es una hipérbola equilátera.
2.7. Límites al infinito.
Límite de
x
y
, cuando x
y cuando x
Tabulando para valores crecientes y para valores decrecientes de x , resulta:
Valores crecientes Valores decrecientes
x
x
1 x
x
10 0. 1 10 0. 1
100 0. 01 100 0. 01
1000 0. 001 1000 0. 001
0
0
Estos resultados nos dicen:
lim
x
x
Límite de
2
x
y , cuando x
y cuando x
Tabulando tendremos:
Valores crecientes Valores decrecientes
x
2
1
x
x
2
1
x
Luego, 0
1
lim
2
x
x
Análogamente, lim 0
2
x
a
x
(siendo a una constante cualquiera).
Límite de la función
2
3 2
x x
x x
y
, cuando x .
Sacando factor como común
3
x
en el numerador y
2
x
en el denominador tendremos:
2
3
2
2
3
3
2
3 2
x x
x x
x
x x
x
x x
x
x x
x x
y
Lo mismo si x tiende a más infinito que a menos infinito, la función es de la forma
ya estudiada
a
que nos dice que el límite de la función es cero.
Formas indeterminadas del tipo
Estas expresiones se suelen obtener al hacer que x
tienda a infinito. Según ya hemos
visto:
- Si el numerador tiende a infinito y el denominador tiene límite, la fracción tiende
a infinito.
- Si el numerador tiene límite y el denominador tiende infinito, la fracción tiene
límite cero.
Si el numerador y el denominador tienden a infinito, se dividen ambos por la
máxima potencia de x
que entra en la fracción. Si los grados del numerador y
denominador son iguales la fracción tiene límite distinto de cero.
Ejemplos:
Calcular el
lim
2
2
x x
x x
x
Dividiendo numerador y denominador entre
2
x , que es la máxima potencia de x ,
resulta: 2
lim
lim
2
2
2
2
x x
x x
x x
x x
x x
, pues las fracciones del numerador y del
denominador tienen límite cero cuando x tiende a infinito.
Resumen.
Para el cálculo del límite de una expresión cuando x a
1.- Se sustituye en la expresión x
por el valor de
a
. Es decir, si la expresión es
f x , se halla el valor f a. Si se trata de suma o producto de funciones, se halla
la suma o producto de los límites.
2.- Si se trata de una fracción
g x
f x
y los valores de
f a
y
g a
son diferentes de
cero, el límite es el cociente
g a
f a
3.- Si
f a
es cero pero
g a
no es cero, el límite de la fracción es cero.
4.- Si
f a es distinto de cero y
g a es cero, la fracción no tiene límite pero tiende
a infinito. Para que tenga límite es necesario que f a también sea cero.
5.- Si f a y g a son cero, a veces se puede calcular el límite mediante
transformaciones algebraicas sencillas. Entre las propiedades que más se aplican
para estas transformaciones están la factorización, el teorema de divisibilidad de
un polinomio entero entre x c y las relaciones e identidades trigonométricas.
6.- Si x y la expresión es entera, no tiene límite, pero tiende a infinito.
7.- Si x y la expresión es, se divide numerador y denominador entre la máxima
potencia de x
a. Si el grado del numerador es mayor que el del denominador, la fracción
tiende a infinito.
b. Si el grado del numerador es menor que el del denominador, la fracción tiene
límite cero.
c. Si los grados del numerador y del denominador son iguales, la fracción tiene
un límite distinto de cero.
Ejercicios:
Calcular los siguientes límites:
x
x x
x
2
0
lim
x
x
x
8
lim
0 3.-
lim
2
1
x
x
x
2 3
4 5
lim
x
x
x
lim
2
0
x
x x
x
lim
3 2
1
x
x x
x
lim 5 4 1 4 7
3 2
2
x x x
x
lim 3 2 3
2
3
x x x
x
9.-
3
3
lim
x
x
lim
2
x
x
lim
3
3 2
x x
x x
x
2
9
lim
x
x
x a
x a x b
x a
2
lim
lim
3
2
0
x x
x x
x
2
9
lim
2
4
3
x
x
x
x
x
x
lim
3
1
lim
2
5
x
x
x
lim
2
2
x
x x
x
lim
2
1
x
x x
x
lim
2
5
x
x x
x
lim
3
1
y
y
x
lim
2
3
t
t t
t
t
t
t
lim
0
lim
2
2
2
y
y y
y
sen
tan
lim
0
lim
2
2
y
y y
y
27.- Si
2
x x , calcular
h
x h x
h
0
lim
28.- Si
x
x
1
, calcular
h
x h x
h
0
lim
3 2 2
0
lim 4 x 5 hx 3 h
h
x x h
x h hx
h
2
lim
2
2
0
Valores decrecientes Valores crecientes
x
x
sen
x
x
sen
1 0.000 - 1 0.
0.5 0.000 - 0.5 0.
0.1 0.000 - 0.1 0.
0.05 0.000 - 0.05 0.
0.01 0.000 - 0.01 0.
0.001 0.000 - 0.001 0.
Si consideramos sólo esta información podríamos inferir que el
limsen 0
0
x
x
. Sin
embargo, si se dan valores a x que no equivalgan a multiplicar por enteros,
tendremos resultados diferentes como se muestra en la siguiente tabla, en que se
usaron valores cercanos al cero, pero que equivalen a multiplicar por medios. Aquí
observamos una oscilación entre 1 y 1.
x
x
sen
0.00094742 - 1
0.00094652 1
0.00094563 - 1
0.00094473 1
También podemos usar otros valores y obtener resultados intermedios como el
siguiente:
x
x
sen
0.0014171 - 0.
Si consideramos que
x
1
aumenta indefinidamente (tiende a infinito) al aproximarse
x a cero, y que, como ya se sabe, los valores del seno se repiten de manera periódica
entre 1 y 1. Se puede establecer que no existe un número al que tiendan los valores
de la función cuándo x tiende a cero. En la gráfica correspondiente, que se muestra
a continuación, se puede observar esta situación.
2.9. Continuidad de funciones.
Funciones continuas y discontinuas.
Noción de función continua para x a.
Se dice que una función
f x
es continua para el valor x a , si:
a) existe f a ,
b) existe el límite de f x cuándo x a
y
c) ese límite es f a.
Ejemplos.
La función
2
f x x
es continua para x 3
porque:
a) Existe
3 3 9
2
f
b) Existe el límite de
2
x
cuando
x
tiende a 3
c) Ese límite es también 9
La función
1
5
x
f x
es continua para x 6
porque:
a) Existe 1
5
5
6 1
5
6
f
b) Existe el límite de
1
5
x
cuando x
tiende a 6.
c) Ese límite es también 1.
Más adelante veremos otra definición de función continua.
Noción de función discontinua para x a.
Si no se cumplen todas las condiciones de continuidad la función es discontinua.
En cambio la gráfica de funciones como f x tan x , que son discontinuas para
ciertos valores de x
, se componen de varias ramas. La gráfica presenta saltos.
Si al hablar de continuidad o discontinuidad de una función nos referimos a la
gráfica se menciona continuidad o discontinuidad en un punto.
Ejemplos.
La gráfica de la función
2
x
y , que es continua para todo valor de x , es
continua en todos sus puntos.
En cambio, la gráfica de la función
4
8
2
x
y
, es discontinua para los valores x 2
y x 2.
Notas.
1.- Una función f x continua en un intervalo a , b , toma todos los valores entre
f a y f b. En particular, si f a y f b son de signo contrario la función se
anula (es cero) en algún punto de este intervalo.
2.- Un polinomio entero en x
es una función continua para todo valor de x.
3.- La suma, diferencia y producto de funciones continuas son también funciones
continuas, pero el cociente de dos funciones continuas es otra función continua
solamente para valores que no anulen el denominador.
4.- Aunque muchas de las funciones que se estudian en este curso, son funciones
continuas, aunque en algunos casos, no lo sean para algunos valores particulares
de la variable, desde un punto de vista más general, las funciones continuas son
simplemente un caso particular de las funciones, En este curso se abordan
algunas funciones discontinuas, como las funciones trigonométricas o las
racionales, pero existen otras funciones de este tipo. A continuación, se
presentan algunas funciones discontinuas diferentes a las anteriormente
mencionadas, así como sus gráficas.
Funciones de parte entera.
Las funciones de parte entera, son funciones que toman un número real y le hacen
corresponder un número entero. De manera formal, diremos que son funciones de
la forma f :R Z (El dominio es el conjunto de los números reales y el rango el
conjunto de los números enteros). Podemos distinguir tres funciones de parte entera.
1.- Una llamada función piso (o suelo) entero , representada por
f x x
, que a
cada número real le hace corresponder el mayor número entero que es menor o
igual que él, por lo que también es llamada función mayor entero. ¿Cómo es
esto? Bien, primero diremos que a todo número entero le corresponderá ese
mismo número entero, todo número real no entero, está comprendido entre dos
números enteros y esta función asigna a cada número real (no entero), el menor
de los enteros entre los que está comprendido. Esta es la función de parte entera
más usada, al grado que muchos textos, sólo consideran ésta al abordar el tema
de las funciones de parte entera.
