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Interpretación Grafica del Límite de una Función.
El concepto de límite está relacionado con los valores que toma la función en lugares
cercanos a cierto punto, es decir, saber el comportamiento de una función en una zona muy
cercana a un punto. Ejemplo:
1 - Considere f ( x ) = (𝑥
3
f( x ) =
( 𝑥− 1
) (𝑥
2
+𝑥+ 1 )
𝑥− 1
2
Evaluemos a la derecha e izquierda de 1
X 0.5 0.7 0.9 0.99 1 1.01 1.1 1.25 1.
Y 1.7 2.3 2.7 2.9 ¿ 3.03 3.3 3.8 4.
2 - g(x) =
X - 0.1 - 0.01 - 0.001 - 0.0001 0 0.1 0.01 0.001 0.
g(x) 1.9 1.99 1.999 1.9999 ¿ 2.04 2.005 2.0005 2.
Definición (Concepto de Límite)
lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) = 𝐿 significa que para cada > 0 , existe > 0 tal que |𝑓(𝑥) − 𝐿| <
siempre que 0 <
Ejemplo: Usando la definición de límite probar que:
1 - lim
𝑥 →𝑐
Luego |𝑥 − 3 | <
𝜀
2
sea =
𝜀
2
2 - lim
𝑥→ 2
3
3
2
2
Así |𝑥 − 2 ||𝑥
2
𝜀
|𝑥
2
2
2
𝜀
19
2
SEMANA 2
Límites que contienen Radicales.
Fórmulas
1 - lim
𝑥→𝑐
𝑛
𝑛
2 - lim
𝑥→𝑐
𝑛
lim
𝑥→𝑐
𝑛
3 - lim
𝑥→𝑐
𝑚
𝑛 = 𝑐
𝑚
𝑛
4 - lim
𝑥→𝑐
[𝑓
]
𝑚
𝑛
= [lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥)]
𝑚
𝑛
Límites de Funciones Trigonométricas
1 - lim
𝑥→𝑐
𝑠𝑒𝑛𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑐 2 - lim
𝑥→𝑐
3 - lim
𝑥→𝑐
𝑡𝑎𝑛𝑥 = 𝑡𝑎𝑛 𝑐 4 - lim
𝑥→𝑐
5 - lim
𝑥→𝑐
𝑠𝑒𝑐𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 𝑐 6 - lim
𝑥→𝑐
4 - lim
𝑥→ 0
√
𝑥+ 1 − 1
𝑥
√
𝑥+ 1 + 1
√
𝑥+ 1 + 1
= lim
𝑥→ 0
𝑥+ 1 − 1
𝑥( √
𝑥+ 1 + 1 )
1
1 + 1
1
2
5 - lim
𝑥→ 0
𝑥
2
√ 4 −𝑥
2
− 2
√ 4 − 𝑥
2
√ 4 − 𝑥
2
= lim
𝑥→ 0
𝑥
2
(
√ 4 − 𝑥
2
4 − 𝑥
2
− 4
√ 4 − 𝑥
2
− 1
2 + 2
− 1
6 - lim
𝑥→ 0
√𝑥+ 2 − √ 2
𝑥
√𝑥+ 2 + √ 2
√𝑥+ 2 +√ 2
2 +𝑥− 2
𝑥(√𝑥+ 2 + √ 2 )
1
√ 2 +√ 2
1
2 √ 2
A1 – todo viernes 31 marzo
PRÁCTICA
Calcular
𝒎→−𝟓
𝒎
𝟐
−𝟐𝟓
𝒎+𝟓
𝒙→𝟐
𝒙
𝟐
−𝟐
𝒙
𝟐
−𝟓𝒙+𝟐
𝒙→𝟐
𝟐
𝟐
𝒙→𝟕
𝒙
𝟐
− 𝟒𝟗
𝒕
𝟐
−𝟏𝟒𝒕+𝟒𝟗
𝒙→ √
𝟓
𝒙− √
𝟓
𝒙
𝟐
−𝟓
𝒕→𝟑
𝟐𝒕
𝟑
−𝟓𝒕
𝟐
−𝟐𝒕−𝟑
𝟒𝒕
𝟑
−𝟏𝟑𝒕
𝟐
+𝟒𝒕−𝟑
𝒙→𝟎
√𝒙+𝟐−√𝟐
𝒙
𝒂→𝟏
𝒕𝒂𝒏(𝒂
𝟐
−𝟏)
𝒂
𝟐
−𝟏
𝒙→𝟎
√
𝟐−𝒙− √
𝟐+𝒙
𝒙
𝟐
+𝒙
𝒙→𝟎
𝒕𝒂𝒏𝒙−𝒔𝒆𝒏𝒙
𝒙
𝟑
𝒙→𝟎
𝒔𝒆𝒏𝒙
𝟓𝒙
𝜽→𝟎
𝒄𝒐𝒔𝜽𝒕𝒂𝒏𝜽
𝜽
𝒕→𝟎
𝒔𝒆𝒏
𝟐
𝒕
𝒕
𝟐
Observe que en este caso el argumento es , por lo que en el
denominador se necesita también la expresión , de ahí que se lleve a
cabo el siguiente procedimiento:
pues cuando
Adicionales
1 si x = 0
lim
𝑥→ 0
= lim
𝑥→ 0
𝑥
𝑥
lim
𝑥→ 0
−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→ 0
−
−𝑥
𝑥
= − 1 Así el límite no existe.
x + 2 si x ≠ 1
3 - g(x) =
0 si x = 1
lim
𝑥→ 1
𝑥 + 2 = lim
𝑥→ 1
−
2
Límites tendiendo al infinito.
Cuando tenemos una función racional y calculamos el límite al infinito se divide el
numerador y denominador entre “x” del mayor grado; por lo que puede suceder:
➢ Da infinito, si el grado del numerador es mayor que el denominador.
➢ Da cero, si el grado del denominador es mayor que el numerador.
➢ Da la división entre los coeficientes principales, si los grados son iguales.
Ejemplo:
1 - lim
𝑥→∞
4 𝑥
3
− 2 𝑥
2
𝑥
2
+𝑥− 300
= lim
𝑥→∞
4 𝑥
3
𝑥
3
−
2 𝑥
2
𝑥
3
14 𝑥
𝑥
3
−
12
𝑥
3
𝑥
2
𝑥
3
𝑥
𝑥
3
−
300
𝑥
3
4
0
2 - lim
𝑥→∞
7 𝑥
5
− 13 𝑥
3
2 𝑥
5
2
− 17 𝑥
= lim
𝑥→∞
7 𝑥
5
𝑥
5
−
13 𝑥
3
𝑥
5
9
𝑥
5
2 𝑥
5
𝑥
5
110 𝑥
2
𝑥
5
−
17 𝑥
𝑥
5
7
2
3 - lim
𝑥→∞
√ 𝑥
5
𝑥
3
− 4 𝑥+ 2
= lim
𝑥→∞
√
𝑥
5
𝑥
6
2 𝑥
𝑥
6
−
6
𝑥
6
𝑥
3
𝑥
3
−
4 𝑥
𝑥
3
2
𝑥
3
√ 0
1
4 - lim
𝑥→ 𝜋/ 4
1 −𝑡𝑎𝑛𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥−𝑐𝑜𝑠𝑥
5 - lim
𝑥→ 4
𝑥
2
− 5 𝑥+ 4
𝑥
2
− 2 𝑥− 8
6 - lim
𝑥→ 0
1
2 +𝑥
−
1
2
𝑥
7 - lim
𝑥→ 0
√ 2 −𝑥−√ 2 +𝑥
𝑥
2
+𝑥
8 - lim
𝑥→ 0
𝑡𝑎𝑛𝑥−𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑥
3
9 - lim
𝑥→∞
9 𝑥
3
− 6 𝑥
2
𝑥
4
− 5 𝑥
2
Taller N° 1
Resolver:
1 - Usando la definición - lim
𝑥→ 3
2
2 - - lim
𝑥→ 1
2 𝑥
3
2
− 2 𝑥− 3
𝑥
2
− 1
3 - - lim
𝑥→ 2
√
𝑥− 1 − 1
√
2 +𝑥− 2
Indeterminada 1
∞
. Límites relacionados con el número e
El límite de una potencia generalmente se puede calcular sin más que calcular los límites
de la base y del exponente.
Ejemplos
El número e se define como el siguiente límite:
Ejemplos
- Determinamos si el límite es una indeterminación del tipo 1
∞
- Sumamos y restamos 1 dentro del paréntesis, y después, operamos dejando el
término +1 despejado:
- Hacemos el inverso del inverso de la fracción que nos ha quedado, que es lo mismo que
pasar el numerador de la fracción como denominador de (x+2):
Si aplicamos el inverso del inverso de la fracción resultaría:
- Multiplicamos el exponente por el denominador hallado y por su inverso
- Nos quedamos con la parte del exponente que es igual al denominador de la fracción:
- Se resuelve el límite aplicando la propiedad de los límites, por la cual tendremos que
calcular el límite de la base y el límite del exponente:
Aplicamos el resultado:
Ejemplos
Calculamos el límite del exponente por separado:
Aplicamos el resultado:
Asíntotas de una Función
Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente, cuando
por lo menos una de las variables (x o y) tienden al infinito.
Definición; Si un punto (𝑥, 𝑦) se desplaza continuamente por una función 𝑦 = 𝑓(𝑥) de tal
forma que, por lo menos, una de sus coordenadas tienda al infinito, mientras que la distancia
entre ese punto y una recta determinada tiende a cero, esta recta recibe el nombre de asíntota
de la función.
Las asíntotas se clasifican en:
➢ Verticales
➢ Horizontales
➢ Oblicuas
1 - Asíntotas verticales (paralelas al eje OY): Si existe un número “a” tal, que lim
𝑥→𝑎
la recta x= a es una asíntota vertical.
Ejemplo:
1
(𝑥− 2 )
2
lim
𝑥→ 2
1
(𝑥− 2 )
2
= ∞ ; x = 2 es una asíntota vertical.
2 - Asíntotas horizontales (paralelas al eje OX)
Si existe el límite lim
𝑋→∞
𝑓(𝑥) = 𝑏. La recta “y = b” es la asíntota horizontal.
