Limites y derivadas, Apuntes de Cálculo

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CAP´ITULO IV.

CONTINUIDAD DE

FUNCIONES

SECCIONES

A. Definici´on de funci´on continua. B. Propiedades de las funciones continuas. C. Ejercicios propuestos.

A. DEFINICI ´ON DE FUNCI ´ON CONTINUA.

Una funci´on y = f (x) se dice continua en un punto x = c cuando existe el l´ımite de la funci´on en el punto x = c y dicho l´ımite es f (c). Esta definici´on da lugar a tres condiciones que debe cumplir la funci´on para ser continua en c: a) c est´a en el dominio de la funci´on. b) existe l´ xım→c f (x) (es decir, los l´ımites laterales son finitos e iguales). c) l´ xım→c f (x) = f (c). Esto quiere decir que para que una funci´on sea continua no basta que tenga l´ımite, sino que adem´as dicho l´ımite tiene que coincidir con el valor de la funci´on en el punto correspondiente. Las funciones que no son continuas se llaman discontinuas. Hay varios tipos de discontinuidad dependiendo de la condici´on que no se cumple. A) Discontinuidad evitable: Corresponde al caso en que la funci´on tiene l´ımite pero no coincide con el valor f (c). Se llama evitable porque basta definir f (c) como el l´ımite de la funci´on en c para que la funci´on sea ahora continua. B) Discontinuidad de primera especie: Puede ser de salto finito cuando existen los dos l´ımites laterales pero son distintos, o de salto infinito cuando alguno de los l´ımites laterales es infinito. C) Discontinuidad esencial o de segunda especie: Si alguno de los dos l´ımites laterales no existe. Las operaciones algebraicas con funciones continuas dan como resultado nuevas funciones continuas, salvo en la divisi´on por cero y las ra´ıces de ´ındice par de funciones que toman valores negativos.

PROBLEMA 4.1.

Estudiar la continuidad de la funci´on f (x) = x^ + 2 |x|.

Soluci´on

Sabiendo que la parte entera s´olo es discontinua en los enteros, los puntos de discontinuidad son, respectivamente: a) x^2 = n ⇐⇒ x = ±√n con n ∈ N. (En x = 0 la funci´on es continua.) b) √x = n ⇐⇒ x = n^2 con n = 0, 1 ,... c) 2x = n ⇐⇒ x = n/2 con n ∈ Z. d) Como el dominio de la funci´on es [0, ∞), los puntos de discontinuidad son los enteros positivos. e) Como x − [x] ≥ 0 para todo x, los puntos de discontinuidad son x ∈ Z. f) Si n es cualquier n´umero entero, los l´ımites laterales son xl´→ımn−[x] + [−x] =^ n^ −^ 1 + (−n) =^ −1;^ xl´→ımn+[x] + [−x] =^ n^ + (−n^ −^ 1) =^ −1. Como f (n) = 0 6 = −1, la discontinuidad es evitable en todo Z.

PROBLEMA 4.3.

Estudiar la continuidad de las funciones: a) f (x) = (^) x (^2 1) + 1.

b) f (x) = (^) x (^2 1) − 1.

Soluci´on

a) Como 1 + x^2 = 0 no tiene ra´ıces reales, la funci´on es continua en todo R. b) Como la ecuaci´on x^2 − 1 = 0 tiene ra´ıces x = 1 y x = −1, la funci´on es continua en R{− 1 , 1 }. Adem´as, como l´ xım→ (^1) x (^2 1) − 1 = (^) xl´→−ım (^1) x (^2 1) − 1 = ∞, la funci´on presenta discontinuidades de primera especie infinitas en los puntos x = −1 y x = 1.

PROBLEMA 4.4.

Estudiar la continuidad de las funciones a) f (x) =^1 x. b) f (x) = (^) x −^1 . c) f (x) = x^2 /^3. d) f (x) =^23 x−^1 /^3. e) f (x) = (^) e^1 x.

Soluci´on

a) La funci´on es continua en todo x 6 = 0, porque es racional y la ´unica ra´ız del denominador es x = 0. b) La funci´on es continua en todo x 6 = 1 por la misma raz´on del apartado anterior. c) La funci´on es continua en todo el campo real pues el ´ındice de la ra´ız es impar. d) Como f (x) =^23 x−^1 /^3 = 3 √^23 x , la funci´on es continua en R \ { 0 }. e) Como el denominador no se anula en ning´un valor real, la funci´on es continua en todo R.

PROBLEMA 4.5.

Indicar la naturaleza de la discontinuidad en x = 0 de las siguientes funciones: a) f (x) = cosec x. b) f (x) =

1 /x. c) f (x) = √^31 /x. d) f (x) = cos(1/x).

Soluci´on

a) La funci´on es discontinua en los puntos donde se anula el denominador, es decir x = 2, x = 4. La discontinuidad en ambos puntos es infinita de primera especie porque el l´ımite es infinito en ambos casos. b) No hay puntos de discontinuidad en el dominio de la funci´on. c) El denominador se anula cuando 1 + 2 sen x = 0, es decir cuando sen x = − 1 /2, lo cual ocurre si x =^76 π + 2kπ, 116 π + 2kπ, k ∈ Z. En estos puntos la discontinuidad es infinita de primera especie.

PROBLEMA 4.8.

Estudiar la continuidad de la funci´on f (x) =

√ 1 − cos x x.

Soluci´on

El dominio de la funci´on es R \ { 0 }. En el punto x = 0 tenemos:

xl´→ım 0 +

√ 1 − cos x x =^ xl´→ım 0 +

√x (^2) / 2 x =^ xl´→ım 0 +

x x√ 2 =^

√^1

xl´→ım 0 −

√ 1 − cos x x =^ xl´→ım 0 −

√x (^2) / 2 x =^ xl´→ım 0 −

−x x√ 2 =^

√−^1

La funci´on presenta en x = 0 una discontinuidad de salto finito.

PROBLEMA 4.9.

Estudiar la continuidad de las funciones a) f (x) = tg x. b) f (x) = cotg x. c) f (x) = x

x^2 − 5 x + 6. ¿Tiene discontinuidad evitable alguna de ellas?

Soluci´on

a) Como tg x = sen cos xx , la funci´on es continua donde cos x 6 = 0, es decir en el conjunto {x ∈ R | x 6 = π/2 + kπ, k ∈ Z}. Como en los puntos de discontinuidad el l´ımite es infinito, la discontinuidad es de primera especie. b) An´alogamente al anterior, la funci´on es continua en el conjunto {x ∈ R | sen x 6 = 0} = {x | x 6 = kπ, k ∈ Z} y en el resto la discontinuidad es de primera especie. c) Como el denominador se anula cuando x = 2 y x = 3, la funci´on es conti- nua en R{ 2 , 3 }. Como l´ xım→ 2 x

x^2 − 5 x + 6 = l´ xım→ 2

x + 2 x − 3 =^ −4, la disconti- nuidad en x = 2 es evitable. Sin embargo, como l´ xım→ 3 x

x^2 − 5 x + 6 =^ ∞, la discontinuidad en x = 3 es de primera especie.

PROBLEMA 4.10.

¿Es evitable la discontinuidad en el origen de la funci´on f (x) = e−^1 /x^2? ¿Y la discontinuidad de la funci´on f (x) = sen(π/x)?

Soluci´on

Debido a que l´ xım→ 0 e−^1 /x^2 = 0, la discontinuidad es evitable.

Sin embargo, el l´ımite l´ xım→ 0 sen(π/x) no existe, por lo que la discontinuidad es esencial.

PROBLEMA 4.11.

Estudiar la continuidad de la funci´on F (x) = x

(^2) sen x cos x 1 − cos x en el origen, siendo F (0) = 0.

Soluci´on

Debido a las equivalencias sen x/ 2 ∼ x/2 y tg x/ 4 ∼ x/4,

xl´ım→ 0 F^ (x)^ =^ xl´ım→ 0 x

(^3) (x (^4) + 2x (^2) + 1) sen^2 (x/2) tg(x/4) = l´ xım→ 0

x^3 (x^4 + 2x^2 + 1) (x/2)^2 · (x/4) = (^) xl´ım→ 0 x

(^4) + 2x (^2) + 1 1 / 16 = 16.

Como existe l´ xım→ 0 F (x) pero es distinto a F (0), existe una discontinuidad evitable en el origen.

PROBLEMA 4.14.

Estudiar la continuidad de la funci´on f (x) = (^) 4 + 4^3 tg x en el punto x = π/ 2.

Soluci´on

Como (^) x→l´ımπ/ 2 −4 + 4^3 tg x = (^) ∞^3 = 0 y (^) x→l´ımπ/ 2 +4 + 4^3 tg x = (^) 4 + 0^3 =^34 , la funci´on posee una discontinuidad finita de primera especie en x = π/2.

PROBLEMA 4.15.

Estudiar la continuidad de la funci´on f (x) = 2 sen πx en el origen.

Soluci´on

La funci´on no tiene l´ımite cuando x → 0, por lo que la discontinuidad es esencial o de segunda especie.

PROBLEMA 4.16.

¿Qu´e clase de discontinuidad posee la funci´on f (x) = 3^1 /x^ en el origen?

Soluci´on

Los l´ımites laterales son (^) xl´→ım 0 − 31 /x^ = 3−∞^ = 0 y (^) xl´→ım 0 + 31 /x^ = 3∞^ = ∞, respectivamente. Como uno de ellos es infinito, tenemos una discontinuidad infinita de primera especie.

PROBLEMA 4.17.

Estudiar la continuidad de la funci´on f (x) = (^) 2 +^1 e 1 /x en el origen.

Soluci´on

Si x → 0 +, 1/x → +∞ y e^1 /x^ → +∞, por lo que (^) xl´→ım 0 + f (x) = 0.

Si x → 0 −, 1/x → −∞ y e^1 /x^ → 0, por lo que (^) xl´→ım 0 − f (x) = 1/2.

Como existen pero son distintos los l´ımites laterales, la funci´on presenta una discontinuidad de primera especie finita.

PROBLEMA 4.18.

Estudiar la continuidad de la funci´on f (x) = 1 +^ e

1 /x 1 − e^1 /x^.

Soluci´on

El denominador 1 − e^1 /x^ nunca se anula por lo que la funci´on est´a definida en R \ { 0 }. Adem´as,

xl´→ım 0 +^ 1 +^ e

1 /x 1 − e^1 /x^ =^ xl´→ım 0 +

−1 + (^1) −^2 e 1 /x

= − 1 , pues (^) xl´→ım 0 + e^1 /x^ = ∞;

xl´→ım 0 −^ 1 +^ e

1 /x 1 − e^1 /x^ =^ xl´→ım 0 −

−1 + (^1) −^2 e 1 /x

= 1, pues (^) xl´→ım 0 − e^1 /x^ = 0.

PROBLEMA 4.21.

Estudiar la continuidad de la funci´on f (x) = ln (^) 1 +^1 ex.

Soluci´on

Como para todo x, 1 + ex^6 = 0 y (^) 1 +^1 ex > 0, la funci´on est´a definida en todo R, y es continua por ser el logaritmo de una funci´on continua.

PROBLEMA 4.22.

Estudiar la continuidad de las funciones a) f (x) = ln(x + 2)(x + 3). b) f (x) = ln sen x. c) f (x) = ln tg x.

Soluci´on

a) La funci´on es continua en su dominio, es decir, donde (x + 2)(x + 3) > 0. La soluci´on de esta inecuaci´on es (−∞, −3) ∪ (− 2 , ∞). b) Como en el caso a), la funci´on f (x) = ln sen x es continua donde sen x > 0, es decir, en todos los intervalos de la forma (2kπ, (2k + 1)π) con k ∈ Z. c) Tambi´en en este caso, el dominio es el conjunto de puntos para los que tg x > 0, lo cual ocurre en los intervalos de la forma (kπ, (2k + 1)π/2), con k ∈ Z, y en el dominio la funci´on es continua.

PROBLEMA 4.23.

Estudiar las discontinuidades de la funci´on f (x) = e

tg x (^) − 1 etg^ x^ + 1.

Soluci´on

Como el denominador nunca se anula, los ´unicos puntos donde puede haber discontinuidad son de la forma x = π 2 + kπ, pues en ellos la tangente no est´a definida.

Por una parte, como tg x → −∞ y etg^ x^ → 0 cuando x → (π/2 + kπ)+, se tiene:

x→(π/l´ım2+kπ)+^ e

tg x (^) − 1 etg^ x^ + 1 =^ −^1.

Por otra parte, debido a que tg x → ∞ y etg^ x^ → ∞, cuando x → (π/2+kπ)−, se tiene:

x→(π/l´ım2+kπ)−^ e

tg x (^) − 1 etg^ x^ + 1 =^ x→(π/l´ım2+kπ)−

1 − (^) etg^1 x 1 + (^) etg^1 x^ = 1.

En dichos puntos la funci´on presenta pues discontinuidad finita de primera especie.

PROBLEMA 4.24.

a) Demostrar que la funci´on f (x) = x^1 sen^1 x presenta una discontinui- dad de segunda especie en x = 0. b) Demostrar que la funci´on f (x) = x sen^1 x presenta una discontinui- dad evitable en x = 0.

Soluci´on

a) Basta observar que en todo entorno de x = 0 la funci´on toma infinitas veces cualquier valor, porque sen 1/x oscila entre −1 y 1 y 1/x tiende a infinito. b) Como | sen(1/x)| ≤ 1 y l´ xım→ 0 x = 0, se tendr´a que l´ xım→ 0 x sen^1 x = 0 y la discontinuidad es evitable. Si definimos f (0) = 0, la funci´on queda continua.

funci´on est´a definida. Estudiaremos la continuidad por separado en cada in- tervalo de definici´on de la funci´on, considerando aparte los puntos extremos de cada intervalo.

• Si x < 0, la funci´on es una recta, y por lo tanto, continua.
• Si x = 0:

xl´→ım 0 −^ f^ (x)^ =^ xl´→ım 0 −^ −^3 x^ = 0; xl´→ım 0 +^ f^ (x)^ =^ xl´→ım 0 +(−x^2 + 2x) = 0. Como adem´as f (0) = 0, la funci´on es continua en x = 0.

• Si 0 < x < 2, la funci´on es un polinomio de grado dos, y por lo tanto, continua.
• Si x = 2:

xl´→ım 2 −^ f^ (x)^ =^ xl´→ım 2 −(−x^2 + 2x) = 0; xl´→ım 2 +^ f^ (x)^ =^ xl´→ım 2 +^ 1 = 1. Por tanto, la funci´on tiene una discontinuidad de salto en x = 2.

• Si x > 2, la funci´on es constante con lo que tambi´en es continua. En definitiva, la funci´on es continua en todo R salvo en x = 2, donde presenta una discontinuidad de salto finito. Este salto es de una unidad. Gr´aficamente la situaci´on es la siguiente:

PROBLEMA 4.27.

¿Es continua la funci´on f (x) =

x^2 sen(1/x) si x 6 = 0, 0 si x = 0, en el pun- to x = 0?

Soluci´on

Debido a que f (x) en x 6 = 0 es el producto de una funci´on sen(1/x) acotada y una funci´on x^2 con l´ımite cero, entonces l´ xım→ 0 f (x) = f (0) = 0, con lo que la funci´on es continua en x = 0.

PROBLEMA 4.28.

Dada la funci´on f (x) =

x sen(ln x^2 ) si x 6 = 0, 0 si x = 0, probar que es con- tinua en x = 0.

Soluci´on

Debido a que | sen(ln x^2 )| ≤ 1, se tiene que l´ xım→ 0 x sen(ln x^2 ) = 0. Como f (0) = l´ xım→ 0 f (x), la funci´on es continua en x = 0.

PROBLEMA 4.29.

Estudiar la continuidad de las funciones siguientes en los puntos que se indican: a) f (x) =

{ (^) sen x x si^ x^6 = 0, 0 si x = 0, en^ x^ = 0.

b) f (x) =

{ (^) x (^3) − 8 x^2 − 4 si^ x^6 = 2 3 si x = 2, en^ x^ = 2.

c) f (x) =

sen πx si 0 < x < 1 , ln x si 1 < x < 2 en^ x^ = 1.

Soluci´on

a) Como l´ xım→ 0 senx^ x= 1 6 = f (0) = 0, se tiene una discontinuidad evitable en x = 0.

cada intervalo de definici´on y en los puntos donde cambia la forma de las ecuaciones.

• Si x < 1, la funci´on es un polinomio de grado 3, y por lo tanto, conti- nua.
• Si x > 1, se trata de una recta que es tambi´en continua.
• Si x = 1:

xl´→ım 1 −^ f^ (x)^ =^ xl´→ım 1 −(x^3 −^ x) = 0; xl´→ım 1 +^ f^ (x)^ =^ xl´→ım 1 +(k^2 x^ −^ 4) =^ k^2 −^4.

Para que la funci´on sea continua en x = 1, deben ser los l´ımites laterales iguales, es decir, k^2 − 4 = 0 de donde se obtienen dos posibles valores para k, k = 2 y k = −2. Para cualesquiera de ellos, la funci´on ser´a continua en todo R.

PROBLEMA 4.32.

Estudiar la continuidad de la funci´on compuesta f ◦g, donde f (x) = signo (x), g(x) = x(1 − x^2 ).

Soluci´on

Como f (x) =

1 si x > 0 0 si x = 0 − 1 si x < 0

, (f ◦ g)(x) =

1 si g(x) > 0 0 si g(x) = 0 − 1 si g(x) < 0

Basta pues estudiar el signo de g. Para ello hacemos la descomposici´on g(x) = x(1 − x)(1 + x), y realizamos el correspondiente estudio de signos (ver cap´ıtulo 1); resulta que g(x) > 0 en (−∞, −1) ∪ (0, 1), g(x) = 0 en {− 1 , 0 , 1 } y g(x) < 0 en (− 1 , 0) ∪ (1, ∞).

Resulta en definitiva que (f ◦ g)(x) =

1 si (−∞, −1) ∪ (0, 1) 0 si x ∈ {− 1 , 0 , 1 } − 1 si (−∞, −1) ∪ (0, 1)

. Por lo

tanto, es continua en R \ {− 1 , 0 , 1 } y en los puntos x = − 1 , 0 , 1 tiene discon- tinuidades finitas de primera especie.

PROBLEMA 4.33.

Dadas las funciones f (x) =

x si 0 < x ≤ 1 , 2 − x si 1 < x < 2 , g(x) =

x si x ∈ Q, 2 − x si x 6 ∈ Q, estudiar la continuidad de f ◦ g en (0, 2).

Soluci´on

Por definici´on, (f ◦ g)(x) =

f (x) si x es racional, f (2 − x) si x es irracional. Tenemos pues:

• Si x ∈ (0, 1] y es racional, (f ◦ g)(x) = f (x) = x.
• Si x ∈ (0, 1] y es irracional, (f ◦ g)(x) = f (2 − x) = 2 − (2 − x) = x.
• Si x ∈ (1, 2) y es racional, (f ◦ g)(x) = f (x) = 2 − x.
• Si x ∈ (1, 2) y es irracional, (f ◦ g)(x) = f (2 − x) = 2 − x. En definitiva, f ◦g = f en el intervalo (0, 2) y la funci´on es continua en dicho intervalo, porque (^) xl´→ım 1 −(f ◦ g)(x) = (^) xl´→ım 1 +(f ◦ g)(x) = (f ◦ g)(1) = 1.

PROBLEMA 4.34.

Sea f una funci´on continua en x = 0 y que satisface f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y. Probar que f es continua en todo x.

Soluci´on

Probaremos en primer lugar que f (0) = 0. Para ello basta aplicar la hip´otesis a los puntos x y 0; resulta: f (x) = f (x+0) = f (x)+f (0) =⇒ f (0) = 0. A continuaci´on, teniendo en cuenta que l´ yım→ 0 f (y) = f (0) por la continui- dad de f en el origen, veremos que l´ yım→ 0 f (x + y) = f (x) lo que garantiza la continuidad de f en cualquier x:

yl´ım→ 0 f^ (x^ +^ y) = l´ yım→ 0 [f^ (x) +^ f^ (y)] =^ f^ (x) + l´ yım→ 0 f^ (y) =^ f^ (x) +^ f^ (0) =^ f^ (x).