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Asignatura: CALCULO I, Profesor: , Carrera: Matemáticas, Universidad: UCM
Tipo: Apuntes
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¡No te pierdas las partes importantes!
A. Crecimiento y decrecimiento. M´aximos y m´ınimos locales.
B. Concavidad. Puntos de inflexi´on.
C. Representaci´on gr´afica de funciones.
D. Problemas de m´aximos y m´ınimos.
E. Teoremas del valor medio. Regla de L’H¨opital.
F. Ejercicios propuestos.
Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una funci´on y = f (x) se obtienen a partir de la primera derivada de la funci´on por la siguiente re- gla:
(a) f crece en un intervalo (a, b) si f ′(x) > 0 para todo x en (a, b).
(b) f decrece en un intervalo (a, b) si f ′(x) < 0 para todo x en (a, b).
Los puntos extremos de intervalos en donde cambia el signo de la derivada son los m´aximos o m´ınimos, seg´un la derivada cambie de positiva a negativa o de negativa a positiva, respectivamente. En resumen:
(a) Un punto x 0 del dominio de la funci´on corresponde a un m´aximo local o relativo si existe un intervalo (x 0 − δ, x 0 ) en donde f crece y otro intervalo (x 0 , x 0 + δ) en donde f decrece.
(b) Un punto x 0 del dominio de la funci´on corresponde a un m´ınimo local o relativo si existe un intervalo (x 0 − δ, x 0 ) en donde f decrece y otro intervalo (x 0 , x 0 + δ) en donde f crece.
Los m´aximos y m´ınimos locales se encuentran entre los llamados puntos singulares o cr´ıticos, es decir, puntos del dominio de la funci´on en donde la derivada se anula o no existe.
Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la funci´on f (x) = x(
x + 1).
Soluci´on
Calculamos la derivada de la funci´on:
f ′(x) =
x + 1 +
x 2
x
2 x + 2
x + x 2
x
3 x + 2
x 2
x
La derivada se anula cuando 3x + 2
x = 0 y no existe cuando 2
x = 0. Despejamos x en ambas ecuaciones:
3 x + 2
x = 0 =⇒ 3 x = − 2
x =⇒ 9 x^2 = 4x =⇒ x = 0 ´o x =
funci´on alg´un punto intermedio de cada intervalo, colocar el signo + ´o − seg´un si dicha derivada es positiva o negativa. As´ı quedan completamente determinados los intervalos y el comportamiento de la funci´on en cada uno de ellos. En este ejemplo hubiera quedado as´ı:
f ′(x) + + – – + +
Encontrar los m´aximos y m´ınimos locales de la funci´on f (x) = x^5 − 5 x + 6.
Soluci´on
Busquemos los puntos cr´ıticos de la funci´on:
f ′(x) = 5x^4 − 5; f ′(x) = 0 ⇐⇒ 5 x^4 = 5 ⇐⇒ x^4 = 1 ⇐⇒ x = ± 1.
Como los puntos cr´ıticos son x = 1 y x = −1, estudiamos el signo de la derivada en los intervalos siguientes:
f ′(x) + + – – + +
Como a la izquierda de x = −1 la funci´on es creciente y a la derecha es decreciente, el punto corresponde a un m´aximo. Sustituyendo en la funci´on se obtiene que el punto es (− 1 , 10).
An´alogamente, a la izquierda de x = 1 la funci´on decrece y a la derecha crece. El punto corresponde a un m´ınimo y sus coordenadas son (1, 2).
Encontrar los m´aximos y m´ınimos locales de la funci´on f (x) = x
1 − x^2.
Soluci´on
Los puntos cr´ıticos se obtienen de la siguiente forma:
f ′(x) =
1 − x^2 + x ·
−x √ 1 − x^2
1 − x^2 − x^2 √ 1 − x^2
1 − 2 x^2 √ 1 − x^2
f ′(x) = 0 ⇐⇒ 1 = 2x^2 ⇐⇒ x^2 = 1/ 2 ⇐⇒ x = ±
Adem´as f ′(x) no existe cuando
1 − x^2 = 0, es decir, cuando x = 1 ´o x = − 1.
Como el dominio de la funci´on es el intervalo [− 1 , 1], estudiamos el signo de la derivada en los intervalos que se ilustran en la tabla:
f ′(x) – – + + – –
Lo anterior quiere decir que el punto x = −
da lugar a un m´ınimo local
y x =
a un m´aximo local. Los puntos correspondientes de la funci´on son
(− 1 /
2 , − 1 /2) y (1/
¿La funci´on f (x) = (x−1)^3 (x+2)^2 alcanza un m´aximo o un m´ınimo en el punto A(1, 0)?
Soluci´on
Como
f ′(x) = 3(x − 1)^2 (x + 2)^2 + 2(x − 1)^3 (x + 2) = (x − 1)^2 (x + 2)(5x + 4),
se obtiene que f ′(1) = 0, con lo que el punto (1, 0) es singular. Para ver si corresponde a un m´aximo o un m´ınimo, estudiamos el crecimiento de la funci´on en un entorno de x = 1:
Si x ∈ (1 − δ, 1), f ′(x) > 0 y f es creciente;
Al anular la derivada, obtenemos:
y′^ = 0 ⇐⇒ (x^2 + 5x + 14)(x + 3)(x − 5) + 10(x − 5) + 90(x + 3) = 0 ⇐⇒ x^4 + 3x^3 − 11 x^2 − 3 x + 10 = 0.
Si aplicamos la regla de Ruffini, resultan las ra´ıces 1, − 1 , 2 y −5.
Teniendo en cuenta que el dominio de la funci´on es el conjunto D(f ) = {x | x > 5 }, ninguno de los puntos anteriores pertenece al dominio por lo que la funci´on carece de m´aximos y m´ınimos. Adem´as, como f ′(x) > 0 , ∀x ∈ D(f ), f es siempre creciente.
Hallar un polinomio de tercer grado sabiendo que para x = 3 al- canza un m´ınimo local, para x = 2 alcanza un m´aximo local y para x = 0 y x = 1 toma los valores 1 y 29 / 6 , respectivamente.
Soluci´on
Escribimos la forma general de un polinomio de grado 3 como f (x) = ax^3 + bx^2 + cx + d.
Para x = 0, f (0) = 1 = d.
Para x = 1, 29/6 = a + b + c + d.
Como f ′(x) = 3ax^2 + 2bx + c, tenemos:
Para x = 3, f ′(3) = 0 = 27a + 6b + c.
Para x = 2, f ′(2) = 0 = 12a + 4b + c.
Resulta as´ı el sistema de ecuaciones:
a + b + c + d = 29 / 6 , 27 a + 6b + c = 0 , 12 a + 4b + c = 0 , d = 1.
Al resolver el sistema llegamos a la soluci´on a = 1/ 3 , b = − 5 / 2 , c = 6, d =
1, y la funci´on soluci´on es f (x) =
x^3 −
x^2 + 6x + 1.
Sea y = f (x) una funci´on cuya derivada tiene una gr´afica como la que se muestra en la figura.
a) ¿Qu´e se puede decir de f en x = b?
b) ¿Tiene f alg´un m´aximo?
c) ¿D´onde f decrece?
y = f ′(x)
a b c
Soluci´on
a) De la gr´afica se deduce que f ′(x) no es continua en x = b, porque los l´ımites laterales son diferentes. Esto indica que la funci´on f no es derivable en x = b.
b) En todo el intervalo (a, b) la derivada de f es positiva. Por lo tanto, la funci´on crece.
De la misma manera, en el intervalo (b, c) la funci´on f tambi´en crece. El m´aximo se encuentra en c, que es el extremo derecho del intervalo donde est´a definida la funci´on.
c) De lo anterior se deduce que en ning´un momento la funci´on decrece, porque la derivada nunca es negativa.
Una funci´on se dice c´oncava hacia arriba o convexa en un intervalo (a, b) cuando al unir dos puntos de la curva en ese intervalo, el segmento que se
Estudiar la concavidad de la funci´on f (x) =
x^2 1 + x
y localizar sus puntos de inflexi´on.
Soluci´on
En primer lugar calcularemos las derivadas de primer y segundo orden de la funci´on:
f ′(x) =
2 x(1 + x) − x^2 (1 + x)^2
x^2 + 2x (1 + x)^2
f ′′(x) =
(2x + 2)(1 + x)^2 − (x^2 + 2x) · 2(1 + x) (1 + x)^4
=
(2x + 2)(1 + x) − (x^2 + 2x) · 2 (1 + x)^3
(1 + x)^3
Para estudiar el signo de la segunda derivada, observamos que el numerador nunca se anula. En cambio, el denominador se anula en el punto de abscisa x = −1, que es precisamente el punto que no est´a en el dominio. Para estudiar el signo en los intervalos que este punto determina, construimos el siguiente diagrama de signos:
f ′′(x) – – + +
Al calcular f ′′(x) en un punto del intervalo (−∞, −1) result´o un valor nega- tivo y al sustituir en la funci´on un punto del intervalo (− 1 , ∞) di´o un valor positivo. Eso quiere decir que: f es c´oncava hacia arriba en el intervalo (− 1 , ∞); f es c´oncava hacia abajo en el intervalo (−∞, −1).
Sin embargo no hay punto de inflexi´on pues el punto x = −1, en donde cambia la concavidad, no est´a en el dominio.
Estudiar la concavidad de la funci´on f (x) = 2 − |x^5 − 1 | y localizar sus puntos de inflexi´on.
Soluci´on
Debemos descomponer en primer lugar la funci´on para eliminar el valor absoluto.
Como x^5 − 1 = (x − 1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) y el segundo factor es siempre positivo, resulta que
f (x) =
2 − (x^5 − 1) si x ≥ 1 2 + (x^5 − 1) si x < 1
3 − x^5 si x ≥ 1 , 1 + x^5 si x < 1.
Debemos separar el estudio de la concavidad para cada uno de los intervalos (−∞, 1) y (1, ∞).
f ′′(x) = 20x^3. Realizamos el estudio de los signos como en los ejemplos anteriores:
(−∞, 0) (0, 1) f ′′(x) – – + +
f ′′(x) = − 20 x^3. En este intervalo x es siempre positiva; de este modo f ′′(x) es negativa.
En definitiva llegamos al siguiente resultado:
f es c´oncava hacia arriba en (0, 1) y c´oncava hacia abajo en (−∞, 0) y en (1, ∞).
Los puntos de abscisa x = 0 y x = 1 son de inflexi´on pues cambia la concavidad. Al sustituir dichos valores en la funci´on se obtienen los puntos (0, 1) y (1, 2).
Estudiar la concavidad y convexidad de la funci´on
f (x) =
1 + x^2
En la segunda parte se pretende hacer el estudio completo de funciones definidas en forma expl´ıcita y dibujar su gr´afica.
Para dibujar en forma precisa la gr´afica de una curva definida en forma expl´ıcita y = f (x), es aconsejable realizar los siguientes pasos:
a) Calcular el dominio de la funci´on.
b) Determinar las posibles simetr´ıas de la funci´on.
c) Encontrar los puntos de intersecci´on de la curva con los ejes de coorde- nadas:
d) Determinar los intervalos de crecimiento y concavidad de la funci´on, me- diante el estudio del signo de las derivadas de primero y segundo orden.
e) Encontrar los puntos de la gr´afica donde esta toma valores m´aximos y m´ınimos locales y puntos de inflexi´on. Estos ser´an los puntos donde cambie de signo la derivada primera y segunda, respectivamente.
f) Encontrar las posibles as´ıntotas de la funci´on.
Despu´es de esto, podemos dibujar la gr´afica de la funci´on siguiendo los tres pasos que aplicamos en la primera parte. En este caso la informaci´on sobre la funci´on es completa y s´olo puede haber una funci´on cuya gr´afica sea la conseguida de este modo.
Trazar una curva que verifique las siguientes condiciones:
f (−2) = 8; f (0) = 4; f (2) = 0;
f ′(x) > 0 si |x| > 2; f ′(2) = f ′(−2) = 0; f ′(x) < 0 si |x| < 2;
f ′′(x) < 0 si x < 0; f ′′(x) > 0 si x > 0.
Soluci´on
Como conocemos el signo de las derivadas primera y segunda, podemos ma- nejar a la vez el crecimiento y la concavidad de la funci´on. Ser´a conveniente por lo tanto conocer la forma de la gr´afica para las distintas combinacio- nes de crecimiento y concavidad. Las cuatro posibilidades se ilustran en el siguiente diagrama.
Cualquier gr´afica de curva se puede realizar componiendo ”trozos”de cur- va como los anteriores sin m´as que conocer los intervalos de crecimiento y concavidad.
En nuestro caso la siguiente tabla permitir´a ver con facilidad cu´ales son esos intervalos, debido a que se conocen los signos de las derivadas primera y segunda:
f ′(x) – – + + – – f ′′(x) – – – – – –
Adem´as sabemos que la funci´on corta al eje X en los puntos (1, 0) y (3, 0). El punto (3, 0) debe ser un m´ınimo relativo porque a la izquierda de x = 3 la funci´on es creciente, y a la derecha es decreciente. No hay puntos de inflexi´on porque en ning´un momento cambia de signo la derivada segunda. Si dibujamos en primer lugar los puntos conocidos y la as´ıntota horizontal y = 3, la informaci´on anterior produce una gr´afica como la siguiente:
Observa que la as´ıntota y = 3 s´olo se acerca a la funci´on cuando x → −∞ pero no cuando x → ∞. Esto es v´alido porque no necesariamente una funci´on tiene que tener la misma as´ıntota en ambos extremos.
Se debe tener claro que esta no es la ´unica funci´on que verifica los datos proporcionados. Lo que tratamos de hacer es construir una de las funciones que verifique dichos datos.
Dibujar la gr´afica de una funci´on y = f (x) que cumpla las condi- ciones siguientes:
(a) D(f ) = (−∞, 0) ∪ (0, ∞).
(b) Decrece en (−∞, −3) ∪ (0, 2) ∪ (2, 4).
(c) Tiene un m´ınimo local en x = 4 y un punto de inflexi´on en x = 1.
(d) La recta y = (3x − 6)/ 2 es as´ıntota y corta a la curva en el punto de abscisa x = 3/ 2.
(e) l´ım x→−∞
f (x) = 3, l´ım x→− 3 −^
f (x) = − 2 , l´ım x→− 3 +^
f (x) = − 4 , l´ım x→ 0 −^
f (x) = 0, l´ım x→ 0 +^
f (x) = ∞, l´ım x→ 2 −^
f (x) = −∞, l´ım x→ 2 +^
f (x) = ∞.
Soluci´on
Los datos que aqu´ı se presentan dan lugar a la tabla siguiente:
f ′(x) – – + + – – – – + +
Como no se da informaci´on sobre la derivada segunda, tenemos libertad de graficar la concavidad como nos parezca m´as adecuado. El criterio que seguiremos aqu´ı es el de dibujar una gr´afica lo m´as suave posible. De todas formas en x = 1 debe haber un punto de inflexi´on.
La parte (e) indica que las as´ıntotas de la funci´on son las rectas y = 3 (cuando x → −∞), x = 0 (s´olo para x > 0), x = 2 (a ambos lados), y = (3x − 6)/2 (cuando x → ∞).
Despu´es de dibujar las as´ıntotas y de se˜nalar en la oblicua el punto x = 3/ 2 (por donde debe pasar la funci´on), la informaci´on de la tabla da lugar a una gr´afica como la que se muestra.
(d) Al calcular las dos primeras derivadas de la funci´on resulta:
y′^ = x−^1 /^3 ·
16 − 5 x 3
; puntos cr´ıticos: x = 0, x =
y′′^ = x−^4 /^3 ·
; punto cr´ıtico: x = 0.
Estudiando el signo de estas derivadas, podemos escribir la siguiente ta- bla:
f ′(x) – – + + – – f ′′(x) – – – – – –
Por tanto, f crece en (0, 16 /5) y decrece en (−∞, 0) ∪ (16/ 5 , ∞).
Adem´as, f es c´oncava hacia abajo en todo su dominio.
(e) Observando la tabla anterior se pueden ver los puntos donde cambia de signo alguna derivada. De esto se deduce la siguiente informaci´on:
Cuando x = 0 la funci´on alcanza un m´ınimo local, y cuando x = 16/ 5 alcanza un m´aximo local.
Adem´as no hay puntos de inflexi´on.
Los puntos de la curva correspondientes a estos valores de x son (0, 0) (m´ıni-
mo local) y
(m´aximo local).
(f) - Como D(f ) = R, no hay as´ıntotas verticales.
xl´→∞ım f^ (x) = l´ x→∞ım x^2 /^3 (8^ −^ x) =^ −∞.
x→−∞^ l´ım f^ (x) =^ x→−∞l´ım x^2 /^3 (8^ −^ x) =^ ∞.
No hay as´ıntotas horizontales porque ambos l´ımites son infinitos.
m = l´ x→∞ım
f (x) x
= l´ x→∞ım x^2 /^3 ·
8 − x x
= l´ x→∞ım x^2 /^3 (8/x − 1) = −∞.
m = l´ım x→−∞
f (x) x
= l´ım x→−∞
x^2 /^3 ·
8 − x x
= l´ım x→−∞
x^2 /^3 (8/x − 1) = −∞.
No hay as´ıntotas oblicuas.
(g) Reuniendo toda la informaci´on anterior, debemos dibujar en un sistema de coordenadas los puntos ya obtenidos para despu´es unirlos con secciones de curva cuya forma obedezca a la conseguida por el crecimiento y la con- cavidad. Intenta por t´ı mismo dibujar la curva y ver´as que te sale como la siguiente:
Representar gr´aficamente la funci´on f (x) =
x √ (^3) x − 4.
Soluci´on
(a) D(f ) = R \ { 4 } por ser x = 4 el ´unico punto donde se anula el denomi- nador (la ra´ız c´ubica se puede calcular para cualquier n´umero real).
(b) f (−x) =
−x √ (^3) −x − 4.
Como f (−x) 6 = f (x) y f (−x) 6 = −f (x), la funci´on no es sim´etrica.
(c) Si x = 0, f (0) = 0. Por tanto, la curva corta al eje Y en el punto (0, 0).
Si y = 0, 0 =
x √ (^3) x − 4. Entonces x = 0. La curva corta al eje X en el mismo
punto (0, 0).
