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Lista 1.2 - Estad´ıstica Matem´atica
Victor Alejandro Campoverde Lazo
13 Junio 2023
1 Ejercicio 1
Siendo Pi : Persona i que tiene su cumplea˜nos durante los 5 d´ıas del con- greso. Podemos ver que Pi ∼ Bernoulli
p = 3655
. Siendo X =
P 180
i=1 Pi, donde se asume que Pi ⊥ Pj , para i ̸= j.
X es una v. a. Binomial donde n = 180 y p = 3655 = 731.
Aqu´ı μx = np = 18073 ≈ 2 .46 y que σ^2 x = np(1 − p) = (^18073)
Notamos que μx < 5 y que σ^2 x < 10, por lo que no es recomendable aproximar la Binomial por la Normal, por lo que podr´ıamos hacer uso de la aproximaci´on de Poisson a la Binomial. ∴ P (X ≥ 1) = P (Y ≥ 1), donde Y ∼ Poisson(λ), P (Y = k) = e
−λλk k! , λ = np = 18073 y Sy = { 0 , 1 , 2 ,... , k,... , n − 1 , n}. Al ser la Poisson tambi´en una v.a. discreta, entonces:
P (Y ≥ 1) = 1 − P (Y < 1) = 1 − [P (X = 0)] = 1 −
e−^ (^18073) ( 18073 ) 0 0!
= 1 − e−^ (^18073) ≈
- 9151
∴ P (X ≥ 1) = 0. 9151
2 Ejercicio 2
Siendo Pi : Persona i que puede percibir la diferencia entre dos marcas de cerveza. Podemos ver que Pi ∼ Bernoulli
p = 101
. Siendo X =
P 196
i=1 Pi, donde se asume que Pi ⊥ Pj , para i ̸= j.
X es una v.a. Binomial donde n = 196 y p = 101.
Aqu´ı μx = np = 19610 = 19.6 y σ^2 x = np(1 − p) = (^19610)
Notamos que μx ≥ 5 y que σ^2 x ≥ 10, por lo que es recomendable aproximar la Binomial por la Normal (al ser la Binomial la suma de n v.a.s i.i.d. Bernoulli).
∴ P (X > 29) = P
X√− 19. 6
- 64 >^
(^29) √− 19. 6
- 64
≈ P (Z > 2 .2381) =
1 − P (Z ≤ 2 .2381) ≈ 1 − 0 .98793 = 0. 1207
b) Siendo Pi : Paquete i por reemplazar. Podemos ver que Pi ∼ Bernoulli (p = 0.01438). Siendo X =
P 4000
i=1 Pi, donde se asume que^ Pi^ ⊥^ Pj^ , para^ i^ ̸=^ j.
X es una v. a. Binomial donde n = 4000 y p = 0.01438.
Aqu´ı μx = np = 4000(0.01438) = 57.52 y σ x^2 = np(1 − p) = 57.52(1 − 0 .01438) = 56.6938624.
Notamos que μx ≥ 5 y que σ^2 x ≥ 10, por lo que es recomendable aproximar la Binomial por la Normal (al ser la Binomial la suma de v.a.s i.i.d. Bernoulli).
∴ P (X > 70) = P
√X−^57.^52
- 6938624 >^ √^70 −^57.^52
- 6938624
≈ P (Z > 1 .65749) =
1 − P (Z ≤ 1 .65749) ≈ 1 − 0 .9513 = 0. 04871
4 Ejercicio 4
Siendo Xi: Bol´ıgrafo i que se vende diariamente. Siendo Yi: Cuaderno i que se vende diariamente. Siendo Ui = Xi + Yi. Hay que encontrar su media y varianza.
μUi = E[Xi + Yi] = E[Xi] + E[Yi] = 30 + 20 = 50
σ U^2 i = σ^2 Xi + σ^2 Yi + 2σXi,Yi = 10 + 12 + 2(9) = 40
Sea W =
P 90
i=1 Ui, donde se asume que^ Ui^ ⊥^ Uj^ ,^ i^ ̸=^ j.
Notamos que n = 90 > 20 (i.e. n suficientemente grande) de una determi- nada Poblaci´on y que tanto su media y varianza existen y son finitas. Por lo tanto, podemos aproximar la probabilidad que nos piden usando el sgte Teo- rema del L´ımite Central:
∴ P (4400 ≤ W ≤ 4600) =
P
40(90) ≤^
W √ −90(50)
40(90) ≤^
40(90)
P
(^4400) √− 4500 3600 ≤^
W√ − 4500 3600 ≤^
(^4600) √− 4500 3600
P
− 53 ≤ Z ≤ 53
5 Ejercicio 5
a) Aqu´ı tenemos lo sgte: S 80 =
P 80
i=1 Xi, donde^ Xi^ ⊥^ Xj^ , para^ i^ ̸=^ j^ y siendo SXi = {− 1 , 1 }. Notamos que: E [Xi] = P (X = −1)(−1) + P (X = 1)(1) = − 1019 + 199 = − 191
Var [Xi] = E
X^2 i
− {E [Xi]}^2 = [P (X = −1)(1) + P (X = 1)(1)] −
6 Ejercicio 6
Planteamos la sgte v.a. de acuerdo a lo que nos dice el ejercicio:
Xi =
1 , xi ∈ { 1 , 2 , 3 } 2 , xi ∈ { 4 } 3 , xi ∈ { 5 , 6 }
donde Xi ⊥ Xj , para i ̸= j.
Nos piden lo sgte: P (N ≥ 25) = 1 − P (N < 25) = 1 − P (N ≤ 24). Sabiendo que N : # de lanzamientos necesarios para que el producto de los n´umeros anotados supere 100000, podemos representar la probabilidad que nos piden de la sgte manera:
1 − P (N ≤ 24) = 1 − P
Q
24 i=1 Xi^ ≥^100000
Podr´ıamos aplicar el logaritmo en base 10 dentro de la probabilidad, lo que nos deja la sgte v.a.:
log 10 (Xi) =
0 , xi ∈ { 1 , 2 , 3 } log 10 (2) , xi ∈ { 4 } log 10 (3) , xi ∈ { 5 , 6 }
∴ 1 − P
Q
24 i=1 Xi^ ≥^100000
= 1 − P
log 10
Q
24 i=1 Xi
≥ log 10 (100000)
1 − P
P
24 i=1 log^10 (Xi)^ ≥^5
Vemos que: E [log 10 (Xi)] = 36 (0) + 16 (log 10 (2)) + 26 (log 10 (3)) ≈ 0. 209
Var [log 10 (Xi)] = E
h (log 10 (Xi))^2
i − (E [log 10 (Xi)])^2 = 36 (0)^2 + 16 (log 10 (2))^2 + 2 6 (log^10 (3))
Notamos que n = 24 > 20 (i.e. n suficientemente grande) de una determi- nada Poblaci´on y que tanto su media y varianza existen y son finitas. Por lo tanto, podemos aproximar la probabilidad que nos piden usando el sgte Teo- rema del L´ımite Central:
Siendo W =
P 24
i=1 log 10 (Xi), 1 − P (W ≥ 5) = 1 − P
W √ −24(0.209)
24(0.047) ≥^
24(0.047)
1 − P
W − 5. 016
1. 062 ≥^
5 − 5. 016
- 062
= 1 − P (Z ≥ − 0 .015) =
1 − (1 − P (Z ≤ − 0 .015)) = P (Z ≤ − 0 .015) ≈ 0. 494
∴ P (N ≥ 25) = 0. 494
7 Ejercicio 7
Sea Ui : duraci´on (en meses) de una bater´ıa utilizada por Juan en un control
remoto, donde SUi = (1, 2), μUi = α+ 2 β= 32 y σ^2 Ui = (β−α)
2 12 =^
1
Sea X : # de bater´ıas que se usan en 42 meses.
Nos piden calcular lo sgte: P (X > 27) = 1 − P (X ≤ 27).
Sea W =
P 27
i=1 Ui, donde se asume que^ Ui^ ⊥^ Uj^ , para^ i^ ̸=^ j. Esta probabilidad tambi´en se puede representar de la sgte manera:
1 − P (X ≤ 27) = 1 − P (W > 42).
Notamos que n = 27 > 20 (i.e. n suficientemente grande) de una determi-
