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Deber 1-Estad´ıstica Matem´atica
Victor Alejandro Campoverde Lazo
1ero Junio 2023
1 Ejercicio 93
Notemos que aqu´ı f (x) = 101 y F (x) = 10 x. a) Notemos que SY = [2, 102]. Se tuvo en cuenta el soporte de X ↓ P (Y ≤ y) = P
X^2 + 2 ≤ y
= P
X^2 ≤ y − 2
= P
|X| ≤
y − 2
= P
0 ≤ X ≤
y − 2
F
y − 2
− F (0) =
√y− 2 10 ·^1 {^2 ≤^ y^ ≤^102 } ∧^1 ·^1 {y >^102 }
b) Notemos que SW = [2, 4] y tambi´en que P (W < 2) = 0 y P (W ≥ 4) = 1. ∴ P (W < 2 ≤ 4) = 1 En los otros casos del medio, se determina por X. Si 2 ≤ x < 4, W=X. ∴ W=X, 2 ≤ w < 4 P (W ≤ w) = F (w) = 10 w · 1 { 2 ≤ w < 4 } ∧ 1 · 1 {w ≥ 4 }
c) Notemos que SZ = [0, 6] y que cuando x < 4, z ∈ [0, 4), por lo que tenemos 2 casos:
P (Z ≤ z) = P (|X − 4 | ≤ z) = P (−z ≤ X − 4 ≤ z) = P (−z + 4 ≤ X ≤ z + 4) = F (z + 4) − F (−z + 4) = z 10 +4 − −z 10 +4 = z+4+ 10 z −^4 = 210 z = z 5 · 1 { 0 ≤ z < 4 }
P (Z ≤ z) = P (|X − 4 | ≤ z) = P (X − 4 ≤ z) = P (X ≤ z + 4) = F (z + 4) = z+ 10 ·^1 {^4 ≤^ z^ ≤^6 } ∧^1 ·^1 {z >^6 }
2 Ejercicio 102
Empezamos sacando la DAP.
F (x) =
R (^) x −∞
λ 2 e
−λ|t|dt = lim c→−∞
Z 0
c
λ 2 e−λ(−t)dt+
Z (^) x
0
λ 2 e−λtdt = (^) c→−∞lim
eλt
c
e−λt
x
e−λx^ −
e−λx, x ∈ R
A partir de aqu´ı, se aplica el m´etodo de la distribuci´on acumulada. Notar que FDP es sim´etrica.
P (Y ≤ y) = P (|X| ≤ y) = P (−y ≤ X ≤ y) = F (y) − F (−y) sim = F (y) − [1 − F (y)] = 2F (y) − 1 = 2
1 − 12 e−λy^
− 1 = 2 − e−λy^ − 1 = 1 − e−λy
Derivando, nos queda que: fY (y) = (^) ddy
1 − e−λy^
= λe−λy^ · 1 {y > 0 } Notamos que la FDP de Y es una exp(λ), por lo que Y ∼ exp(λ).
4 Ejercicio 118
a) Recordemos que
R
R
R
R f^ (x, y)dR
(^2) = 1. Tenemos las sgtes condiciones:
x + y ≤ 1 ⇒ x − 1 ≤ −y ⇒ 1 − x ≥ y Regi´on de integraci´on
R
SX
R
SY f^ (x, y)dR
2 = 1 ⇒ R^1
0
R (^1) −x 0 f^ (x, y)dydx^ = 1^ ⇒^ k^
R 1
0 x
h y^2 2
i 1 −x 0
dx =
k
R 1
0 x^
(1−x)^2 2 dx^ =^
k 2
R 1
0 x^
1 − 2 x + x^2
dx = k 2
R 1
0
x − 2 x^2 + x^3
dx = k 2
h x^2 2 −^
2 x^3 3 +^
x^4 4
i 1 0
k 2
2 −^
2 3 +^
1 4 −^0
= k 2
12 −^
8 12 +^
3 12
= k 2
12
= 24 k = 1
∴ k = 24 b) La marginal de X es:
fX (x) =
R (^1) −x 0 24 xydy^ = 24x
h y^2 2
i 1 −x 0
= 24x
h (1−x)^2 2 −^0
i = 12x(1 − x)^2
La marginal de Y es:
fY (y) =
R (^1) −y 0 24 xydx^ = 24y
h x^2 2
i 1 −y 0
= 24y
h (1−y)^2 2 −^0
i = 12y(1 − y)^2
c) Para que X ⊥ Y , debe pasar que f (x, y) = fX (x) · fY (y). Podemos notar que no sucede ya que: 24 xy ̸= 12x(1 − x)^2 · 12 y(1 − y)^2 ∴ X y Y no son independientes. d) Regi´on de integraci´on para P (X ≥ Y ) = 1 − P (X < Y ) - Area morada´
P (X < Y ) =
R 12
0
R (^1) −x x 24 xydydx^ = 24^
R 12
0 x
h y^2 2
i 1 −x x
dx =
24
R 12
0 x
h (1−x)^2 2 −^
(x)^2 2
i dx = 12
R 12
0 x^
1 − 2 x + x^2 − x^2
dx =
12
R 12
0 x^ (1^ −^2 x)^ dx^ = 12^
R 12
0
x − 2 x^2
dx = 12
h x^2 2 −^
2 x^3 3
i (^12) 0
8 −^
1 12
2 −^1
= 12 ∴ P (X ≥ Y ) = 1 − 12 = 12
Regi´on de integraci´on para P
X ≥ 12 | X + Y ≤ 34
Recordemos que P (A | B) = P^ P(A (∩BB) ), siempre que P (B) ̸= 0.
∴ P
X ≥ 12 | X + Y ≤ 34
P ((X≥ 12 )∩(X+Y ≤ 34 ))
P (X+Y ≤ 34 ) =
P ((Area negra)∩(Area roja)) P (Area roja) =^
(0.25)^2 2 (0.75)^2 2
2 (0.75)^2 =^
161 169 =^
1 9
Regi´on de integraci´on para P
X^2 + Y 2 ≤ 1
Notemos que la intersecci´on del ´area amarilla con la azul da la misma regi´on de integraci´on azul, por lo que: P
X^2 + Y 2 ≤ 1
R 1
0
R (^1) −x 0 24 xydydx^ = 1
e) Teniendo U = X + Y y V = X − Y , nos da lo sgte: X = U^ + 2 V∧ Y = U^ − 2 V. Las condiciones son las sgtes: 0 ≤ u ≤ 1 ⇒ −u ≤ u ≤ 1 y v ≤ u ⇒ −u ≤ v ≤ u ≤ 1
6 (1+c)^4
c^2 2
= 3 c
2 (1+c)^4 ·^1 {c >^0 }
6 Ejercicio 121
Notemos que aqu´ı f (xi) = 1 y F (xi) = xi, para i = { 1 , 2 , 3 }. Recordemos que la densidad conjunta de Yi y Yj es la sgte (al ser i.i.d.): fYi,Yj (yi, yj ) = (^) (i−1)!(j−ni−!1)!(n−i)! f (yi) f (yj ) [F (yi)]i−^1 [F (yj ) − F (yi)]j−i−^1 [1 − F (yj )]n−j para yi < yj
∴ fY 1 ,Y 3 (y 1 , y 3 ) = (^) (1−1)!(3−3! 1 −1)!(3−1)! f (y 1 ) f (y 3 ) [F (y 1 )]^1 −^1 [F (y 3 ) − F (y 1 )]^3 −^1 −^1 [1 − F (y 3 )]^3 −^3 =
fY 1 ,Y 3 (y 1 , y 3 ) = (^1) ·^61 · 1 1 · 1 · 1 · [y 3 − y 1 ]^1 · 1 = 6 (y 3 − y 1 ) , para 0 < y 1 < y 3 < 1
Tambi´en recordemos que la densidad conjunta de los estad´ısticos de orden es:
fY 1 ,Y 2 ,...,Yn (y 1 , y 2 ,... , yn) = n!f (y 1 ) f (y 2 )... f (yn) , para y 1 < y 2 <... < yn ∴ fY 1 ,Y 2 ,Y 3 (y 1 , y 2 , y 3 ) = 3! = 6, para 0 < y 1 < y 2 < y 3 < 1
a) Las condiciones son las sgtes:
y 1 + y 3 ≤ 1 ⇒ y 3 ≤ 1 − y 1 ∧ y 1 < y 3
∴ P (Y 1 + Y 3 ≤ 1) =
R 12
0
R (^1) −y 1 y 1 6 (y^3 −^ y^1 )^ dy^3 dy^1 = 6^
R 12
0
R (^1) −y 1 y 1 (y^3 −^ y^1 )^ dy^3 dy^1 =
6
R 12
0
h y^23 2 −^ y^1 y^3
i 1 −y 1 y 1
dy 1 = 6
R 12
0
h (1−y 1 )^2 2 −^ y^1 (1^ −^ y^1 )
y^21 2 −^ y
2 1
i dy 1 =
6
R 12
0
h 1 − 2 y 1 +y^21 2 −^
y 1 − y^21
y 12 2 −^ y
2 1
i dy 1 = 6
R 12
0
2 −^2 y^1 + 2y
2 1
dy 1 =
6
h y 1 2 −^ y
2 1 +^
2 y^31 3
i (^12) 0
h 1 4 −^
1 4 +^
2 · (^18) 3 −^0
i = 6
12
b) Las condiciones son las sgtes:
y 1 + y 2 ≤ y 3 ≤ 1 y 1 + y 2 < 1 ⇒ y 2 < 1 − y 1 ⇒ y 1 < y 2 < 1 − y 1 0 < y 1 < 1 − y 1 ⇒ 0 < 2 y 1 < 1 ⇒ 0 < y 1 < (^12)
∴ 1 −P (Y 3 ≥ Y 1 + Y 2 ) = 1−
R 12
0
R (^1) −y 1 y 1
R 1
y 1 +y 2 6 dy^3 dy^2 dy^1 = 1−^6
R 12
0
R (^1) −y 1 y 1 (1^ −^ y^1 −^ y^2 )^ dy^2 dy^1 =
6
R 12
0
h y 2 − y 1 y 2 − y^2
2 2
i 1 −y 1 y 1
dy 1 = 6
R 12
0
h (1 − y 1 ) − y 1 (1 − y 1 ) − (1−y^1 )
2 2 −
y 1 − y 12 − y^1
2 2
i dy 1 =
6
R 12
0
h (1 − y 1 ) −
y 1 − y 12
− 1 −^2 y^1 +y^1
2 2 −
y 1 − y 12 − y^1
2 2
i dy 1 = 6
R 12
0
2 −^2 y^1 + 2y^1
2 ^ dy 1 =
h y 1 2 −^ y^1
(^2) + 2 y 13 3
i (^12) 0
h 1 4 −^
1 4 +^
2 · (^13) 3 −^0
i = 6
12
c) Las condiciones son las sgtes:
y 3 > 2 y 1 ⇒ 0 < y 1 < y 23 ∧ 0 < y 3 < 1
∴ P (Y 3 > 2 Y 1 ) =
R 1
0
R y 23 0 6 (y^3 −^ y^1 )^ dy^1 dy^3 = 6^
R 1
0
h y 3 y 1 − y 12 2
i y 23 0
dy 3 = 6
R 1
0
y^23 2 −^
y^23 8
dy 3 =
6
R 1
0
3 y 32 8
dy 3 = (^188)
h y 33 3
i 1 0
3 −^0
d) Las condiciones son las sgtes:
y 3 > ay 1 ⇒ 0 < y 1 < y a^3 ∧ 0 < y 3 < 1
∴ P (Y 3 > aY 1 ) =
R 1
0
R y a 3 0 6 (y^3 −^ y^1 )^ dy^1 dy^3 =^
1 2 ⇒^6
R 1
0
h y 3 y 1 − y 12 2
i y a 3 0
dy 3 = 1 2 ⇒^6
R 1
0
y 32 a −^
y^23 2 a^2
dy 3 = 12 ⇒ 6
h y^33 3 a −^
y 33 6 a^2
i 1 0
3 a −^
1 6 a^2
2 a −^
1 a^2 =^
1 2 ⇒^
2 a− 1 a^2 =^
1 2 ⇒^2 a^ −^ 1 =^
a^2 2 ⇒^4 a^ −^ 2 =^ a
(^2) ⇒ −a (^2) + 4a − 2 = 0
Usando la f´ormula cuadr´atica, nos queda que:
a = −^4 ±
√ 16 − 8 2 =^
− 4 ± √ 8 − 2 =^
− 4 ± 2 √ 2 − 2 = 2^ ∓
Notamos que si a < 1, entonces el valor ser´ıa mayor a 12.
∴ a = 2 +
h − 2 e−^ t 2
ix 0
− 2 e−^ x 2
- 83 e−^ 34 x − e−x^ + 2 − 83 + 1
− 2 e−^ x 2
- 83 e−^ 34 x − e−x^ + (^13)
− 6 e−^ x 2
· 1 {x > 0 }
Nos piden sacar P (C ≥ 5) = 1−P (C < 5) = 1−
− 6 e−^ (^52)
6 e−^ (^52) − 8 e−^ (^154)
8 Ejercicio 124
Aqu´ı f (x) = λe−λx^ · 1 {x > 0 }. Recordemos que fY 1 ,Y 2 ,...,Yn (y 1 , y 2 , ..., yn) = n!fY 1 (y 1 ) fY 2 (y 2 ) ...fYn (yn) 1 {i < j}. Notamos lo sgte:
Z 1 = Y 1 ⇒ Y 1 = V 1
Z 2 = Y 2 − Y 1 ⇒ Z 2 = Y 2 − Z 1 ⇒ Y 2 = Z 2 + Z 1
Z 3 = Y 3 − Y 2 ⇒ Z 3 = Y 3 − Z 2 − Z 1 ⇒ Y 3 = Z 3 + Z 2 + Z 1
Zn = Yn − Yn− 1 ⇒ Zn = Yn −
Pn− 1 i=1 Zi^ ⇒^ Yn^ =^
Pn i=1 Zi
Aplicamos la transformaci´on de la v.a. de la sgte manera: fZ 1 ,Z 2 ,...,Zn (z 1 , z 2 , ..., zn) = n!fY 1 ,Y 2 ,...,Yn (y 1 = z 1 , y 2 = z 2 + z 1 , ..., yn =
Pn i=1 Zi)^ |J|
|J| =
Z 1 Z 2 Z 3 ... Zn Y 1 1 0 0 ... 0 Y 2 1 1 0 ... 0 Y 3 1 1 1 ... 0 .. .
Yn 1 1 1 ... 1
Notamos que el Jacobiano es una matriz triangular inferior donde hay puros unos (parte resaltada por azul), por lo que solo se multiplica la diagonal y eso da 1. Siendo las Xn v.a. i.i.d.,
∴ fZ 1 ,Z 2 ,...,Zn (z 1 , z 2 , ..., zn) = n!
λe−λZ^1
λe−λ(Z^1 +Z^2 )
h λe−λ(
Pn− 1 i=1 Zi)
i h λe−λ(
Pn i=1 Zi)
i
nλe−λn(Z^1 )
(n − 1) λe−λ(n−1)(Z^1 +Z^2 )
h 2 λe−^2 λ(
Pn− 1 i=1 Zi)
i h 1 λe−^1 λ(
Pn i=1 Zi)
1 i ·
1 {Zi ≥ 0 }
∴ Zi ⊥ Zj donde 1 ≤ i < j ≤ n y i = j = { 1 , 2 , ..., n}. A su vez, se nota que Zi ∼ Exp((n − i + 1) λ).
9 Ejercicio 125
Recordemos que fY 1 ,Y 2 ,...,Yn (y 1 , y 2 , ..., yn) = n!fY 1 (y 1 ) fY 2 (y 2 ) ...fYn (yn) 1 {i < j}. Se cumple lo sgte (al ser X ∼ U nif (0, 1)):fY 1 ,Y 2 ,...,Yn (y 1 , y 2 , ..., yn) = n! (1)n^ = n! 1 {i < j}
Notamos lo sgte:
V 1 = Y Y^12 ⇒ Y 1 = VnVn− 1 ...V 4 V 3 V 2 V 1 V 2 = Y Y^23 ⇒ Y 2 = VnVn− 1 ...V 4 V 3 V 2 V 3 = Y Y^34 ⇒ Y 3 = VnVn− 1 ...V 4 V 3 ... Vn− 1 = Yn Y−n 1 ⇒ Vn− 1 = Yn V−n 1 ⇒ Yn− 1 = VnVn− 1 Vn = Yn ⇒ Yn = Vn
Aplicamos la transformaci´on de la v.a. de la sgte manera: fV 1 ,V 2 ,...,Vn (v 1 , v 2 , ..., vn) = n! |J|
|J| =
V 1 V 2 V 3 ... Vn Y 1 VnVn− 1 ...V 4 V 3 V 2 VnVn− 1 ...V 4 V 3 V 1 VnVn− 1 ...V 4 V 2 V 1 ... Vn− 1 ...V 4 V 3 V 2 V 1 Y 2 0 VnVn− 1 ...V 4 V 3 VnVn− 1 ...V 4 V 2 ... Vn− 1 ...V 4 V 3 V 2 Y 3 0 0 VnVn− 1 ...V 4 ... Vn− 1 ...V 4 V 3 .. .
Yn 0 0 0 ... 1
Notamos que el Jacobiano es una matriz triangular superior donde est´an algu- nas Vi (parte resaltada en azul), por lo que solo se multiplica la diagonal, lo que nos deja con el sgte resultado:
Tenemos las sgtes condiciones: 0 < v < 1 0 < uv < 1 ⇒ 0 < v < (^1) u ⇒ 0 < v < M in
1 , (^1) u
f YX (u) =
R (^) M in{ 1 , (^) u^1 } 0 vdv^ =
h v^2 2
iM in{ 1 , (^) u^1 } 0
(M in{ 1 , (^) u^1 })^2 2
∴ f YX (u) =
2
· 1 {u ∈ (0, 1)} ∧
2 u^2
· 1 {u ≥ 1 }
Aplicamos el m´etodo del Jacobiano, siendo la v.a. θ = arctan
Y
X
fθ (θ) = f YX (U −^1 (θ)) dU^
− (^1) (θ) dθ
U −^1 (θ) = tan (θ) = YX dU −^1 (θ) dθ =^
dtan(θ) dθ =^ sec
(^2) (θ)
Notemos que Sθ =
0 , π 2
Tenemos las sgtes condiciones: 0 < u < 1 ⇒ 0 < θ < π 4 ; u ≥ 1 ⇒ π 4 ≤ θ < π 2. Es as´ı por lo que nos pide el ejercicio.
∴ fθ (θ) =
2 sec
(^2) (θ) · 1 0 < θ < π 1 4 2 csc
(^2) (θ) · 1 ^ π 4 ≤^ θ <^
π 2
