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LISTA 3
Cálculo 1A - 2020.
Noção intuitiva de limite
Cálculo de alguns limites
Três limites importantes
Exercício 1
Em cada um dos gráficos a seguir, discuta a existência dos limites laterais e do limite propriamente dito nos
pontos a indicados.
− 2 − 1 1 2
− 2
− 1
1
2
3
x
y
f
Figura 1: : a = 0
− 2 − 1 1 2
− 2
− 1
1
2
3
x
y
g
Figura 2: : a = − 1
− 2 − 1 1 2
− 2
− 1
1
2
3
x
y
h
Figura 3: : a = 0
Exercício 2
Considerando o gráfico de h representado à direita, determine caso
exista o
lim x→ 0
h(x
2
− 2 2 4 6 8
− 100
100
200
300
x
y
h
Exercício 3
Em cada um dos exercícios abaixo calcule o limite (se existir) das funções no ponto a indicado. Se o limite não
existir, explique por quê.
- a = 1, f (x) =
3 x− 5 2 x+
, x ∈ R \ {− 1 / 2 }
- a = π/ 4 , f (x) = cos(x) − sen(x), x ∈ R
- a = 2, f (x) =
2 x + 1 se x > 2
3 x − 1 se x < 2
- a = π f (x) = ln(x) · sen(x), x ∈ (0, ∞)
- a = 1
, f (x) =
ln(x) ex^ , x > 1
- a = 2, f (x) =
2 x + 3 se x > 2
3 x − 1 se x < 2
Exercício 4
Considere:
f (x) =
e
x
3 x + 1 se x < 1
e g(x) =
x
2
x
3 se x > 0
Estude lim x→ 0
f ◦ g(x).
Exercício 5
Em cada um dos itens abaixo calcule os limites laterais (se existirem) e discuta a existência do limite no ponto
a indicado:
- a = 2, f (x) =
(x
2 − 4)
2
(x − 2) 2 (x + 3)
- a = 0, f (x) =
e
x − 1
e x
- a = 1, f (x) =
ln(x
2 )
2 x − 4
- a = 1, f (x) =
x
3
x − 1
- a = 1, f (x) =
|x − 1 |
x^2 − 1
Exercício 6
Seja f (x) = 2x, x ∈ R. Encontre uma expressão para limx→ 3 de f n (x) onde f n é a composta da função f um
numero n de vezes: f n = f ◦ f ◦ n
... ◦ f , ou seja, n vezes (n ≥ 1 ).
Exercício 7
Em cada um dos itens abaixo, determine:
- lim x→− 1
2 x
2 − 3 x − 5
x + 1
- lim x→ 2
4 x + 1 − 3
x − 2
- lim x→− 3
x
3
2
2 x 3
- lim x→ 0
1 + x −
1 − x
x
- lim x→− 1
3
x + 1
x + 1
- lim x→a
3
x −
3
a
x − a
, a 6 = 0.
Exercício 8
Seja f : R → R uma função tal que lim x→ 0
f (x)
x
= 1. Determine:
- lim x→ 0
f (3x)
x
- lim x→ 1
f (x − 1)
x − 1
Exercício 9
Determine:
- lim x→ 0
x
2 sen
x
- lim x→ 0
x
27 cos
49 x
- lim x→ 0 +
x e
sen
( π
x
)
- lim x→ 0
(cos(x) − 1) sen
x
- lim x→− 1
2 x
2
cos
x + 1
Exercício 10
Determine:
- lim x→ 0
sen(2020x)
x
- lim x→ 0
tg(x)
x
- lim x→p
tg (x − p)
x^2 − p^2
; p 6 = 0
- lim x→ 3
sen(x − 3)
|x 2 − 2 x − 3 |
- lim x→ π 2
1 − sen(x)
2 x − π
Solução do Exercício 7
- lim x→− 1
2 x 2 − 3 x − 5
x + 1
= lim x→− 1
(x + 1)(2x − 5)
x + 1
= lim x→− 1
(2x − 5) = − 7
- lim x→ 2
4 x + 1 − 3
x − 2
= lim x→ 2
4 x + 1 − 3)
(x − 2)
4 x + 1 + 3)
4 x + 1 + 3)
= lim x→ 2
4(x − 2)
(x − 2)(
4 x + 1 + 3)
= lim x→ 2
4 x + 1 + 3)
- lim x→− 3
x 3
2 x 3
= lim x→− 3
(x + 1) 2 (x + 3)
(x + 1)(x + 3)(2x + 1)
= lim x→− 3
(x + 1) 2
(x + 1)(2x + 1)
- lim x→ 0
1 + x −
1 − x
x
= lim x→ 0
1 + x −
1 − x
x
1 + x +
1 − x √ 1 + x +
1 − x
= lim x→ 0
1 + x − (1 − x)
x(
1 + x +
1 − x)
= lim x→ 0
2 x
x(
1 + x +
1 − x)
= lim x→ 0
1 + x +
1 − x)
- lim x→− 1
3
x + 1
x + 1
= lim x→− 1
3
x + 1
x + 1
3
x 2 −
3
x + 1
3
x 2 −
3
x + 1
= lim x→− 1
x + 1
(x + 1)(
3
x 2 −
3
x + 1)
= lim x→− 1
3
x 2 −
3
x + 1)
- lim x→a
3
x − 3
a
x − a
= lim x→a
3
x − 3
a
x − a
3
x 2
3
ax +
3
a 2
3
x 2
3
ax +
3
a 2
= lim x→a
x − a
(x − a)(
3
x 2
3
ax +
3
a 2 )
= lim x→a
3
x 2
3
ax +
3
a 2 )
3
a 2
3
a
3 a
Solução do Exercício 8
- lim x→ 0
f (3x)
x
= lim x→ 0
f (3x) · 3
x · 3
= 3 · lim x→ 0
f (3x)
3 x
y
tomando t = 3x temos que
t → 0 quando x → 0
3 · lim t→ 0
f (t)
t
y
Lembrando que limt→ 0
f (t) t
. 2. lim x→ 1
f (x − 1)
x − 1
y
Tomando t = x − 1 temos que
t → 0 quando x → 1
lim t→ 0
f (t)
t
Solução do Exercício 9
Em todos os items aplicaremos o teorema do anulamento. Para isso, lembramos que precissamos comprovar
que a função, cujo limite queremos calcular, se pode escrever como produto de uma função limitada por uma
função com limite zero.
- lim x→ 0
x
2 · sen
x
y
− 1 ≤ sen
x
≤ 1 (limitada)
lim x→ 0
x
2 = 0
- lim x→ 0 +
x · e
sen
( π
x
)
y
lim x→ 0 +
x = 0
− 1 ≤ sen
π
x
e
x crescente
=⇒ e
− 1 ≤ e
sin ( π x ) ≤ e (limitada)
- lim x→ 0
x
27 · cos
49 x
y
− 1 ≤ cos
49 x
≤ 1 (limitada)
lim x→ 0
x
27 = 0
- lim x→ 0
(cos(x) − 1) sen
x
y
− 1 ≤ sen
x
≤ 1 (limitada)
limx→ 0 (cos(x) − 1) = 0
- lim x→− 1
(2x
2
x + 1
y
− 1 ≤ cos
x + 1
≤ 1 (limitada)
lim x→− 1
2 x
2
Solução do Exercício 10
- lim x→ 0
sen(2020x)
x
= lim x→ 0
sen(2020x) · 2020
x · 2020
Tomando y = 2020x então
y → 0 quando x → 0
y
= 2020 · lim y→ 0
sen(y)
y
- lim x→ 0
tg(x)
x
= lim x→ 0
sen(x)
x cos(x)
= lim x→ 0
sen(x)
x
· lim x→ 0
cos(x)
- lim x→p
tg (x − p)
x 2 − p 2
= lim x→p
tg (x − p)
(x − p)(x + p)
y
Fazendo h = x − p temos que
h → 0 quando x → p
lim h→ 0
tg (h)
h(h + 2p)
2 p
