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ejercicos resueltos primero de carrera de ADE
Tipo: Ejercicios
1 / 16
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Departament d’Economia i d’Historia Economica
a) (^) xlim! 1 (x^2 + 1) ̸= 3, b) (^) xlim! 01 x no existe
a) Como es una funci´on cont´ınua, calculamos el l´ımite por substituci´on directa en la funci´on:
x^ lim! 1 (x^2 + 1) = 2^ ̸= 3 b) Calculamos los l´ımites laterales:
x^ lim! 0 −^1 x^ =^ 1;^ xlim! 0 +^ x^1 = +^1 Como estos l´ımites laterales no coinciden, podemos concluir que el l´ımit no existe.
a) (^) xlim!a f (x) = l =) f (a) = l b) f (a) = l =) (^) xlim!a f (x) = l
a) limx!a f (x) = l =) f (a) = l. La implicaci´on es falsa porque, por ejemplo consideremos la funci´on siguiente: f (x) = 5 if x ̸= a Esta funci´on no satisface la afirmaci´on. Consideremos un segundo ejemplo tomando una funci´on h(x) que no cumpla la afirmaci´on:
h(x) =
5 , x ̸= a 8 , x = a b) f (a) = l =) limx!a f (x) = l. De nuevo la afirmaci´on es falsa. La funci´on h(x) es un ejemplo que no cumple la afirmaci´on.
1 x ^
1 x^3
b) (^) x!lim+ 1 x
(^2) 5 x + 1 3 x + 7 c) (^) x!lim+ 1 (2x^ + 3)
(^3) (3x 2) 2 x^5 + 5 d)^ xlim! ^1
x^2 1 x^2 + 3x + 2 e) (^) x!lim+ 1
x^2 + 1 px f ) lim x! 1 x
(^3) 3 x + 2 x^4 4 x + 3 g) lim x! 0 (1 + x) 1 x^ h) lim x! 0
( (^) x (^2) 1 x + 3
i) (^) x!lim+ 1 x
2 10 + xpx j)^ x!lim+^1
p 2 x + 1 √ 2 x (^2) + x + 1
k) (^) x!lim+ 1
( (^) x (^2) + 3 x^2 + 2
)x l) lim x! 1 e(^ x^1 −^1 ) m) (^) x!lim+ 1 (1 +^1 x )x^ n) (^) x! 1lim ln x^2 o) (^) x!lim+ 1 sin x p) (^) x!lim+ 1 x sin x q) (^) x!lim+ 1 x
2 x 1 r)^ x!lim+^1
x^2 3 x^6 + 2x s) (^) x!lim+ 1
px x + 1 px + x 1 t) lim x! 0
sin^2 x ^
x^2
u) lim x! (^01) x (ex^ 1) v) lim x! 0
( (^) sin x x
w) (^) x!lim+ 12 x
(^2) 3 x 4 px (^4) + 1 x) (^) x!lim+ 1
( (^) x + 2 2 x + 1
) x 22
y) lim x! 0 x^2 cos
( (^) x (^2) + 2 x
z) (^) x!lim+ 13 x
(^3) 2 x (^2) + x 6 2 x^2 + 3x + 5
h) lim x! 0
( (^) x (^2) 1 x + 3
l) lim x! 1 e(^ x−^11 )^ no existe porque los l´ımites laterales son diferentes. n) (^) x! 1lim ln x^2 = ln( 1)^2 = + 1 o) (^) x!lim+ 1 sin x, no existe porque la funci´on oscila entre [ 1 , 1]. p) (^) x!lim+ 1 x sin x, no existe porque la funci´on oscila entre [ 1 , 1].
x) (^) x!lim+ 1
( (^) x + 2 2 x + 1
y) lim x! 0 x^2 cos
( (^) x (^2) + 2 x
IND 1 1 : a), e), j), t) IND 0 1 : u) IND 00 : d), f), u), v) IND 11 : b), c), i), q), r), s), w), z) IND 11 : g), k), m) Entonces, 1 1 : IND a) (^) xlim! 1
1 x ^1 ^3 x^3
= lim x! 1
( (^1) x (^3) 3+3x (1 x)(1 x^3 )
Factorizamos los poli- nomios en el numerador y denominador para obtener: = lim x! 1 (x^ ^ 1)
(^2) (x + 2) (1 x)(x 1)(x^2 + x + 1) = lim^ x!^1
(x 1)^2 (x + 2) (x 1)^2 ( x^2 x 1) = Simplificamos y obtenemos: = lim x! 1 ( ^3 3) = ( 1)
u) (^) xlim! 01 x (ex^ 1) = 0 1, pero
x^ lim! 01 x (ex^ ^ 1) = lim x! 0 (e
x (^) 1) x =
Debido a que estas funciones son derivables alrededor del cero, podemos aplicar la regla de l’Hˆopital y obtenemos:
x^ lim! 0 (e
x (^) 1)′ (x)′^ = lim^ x!^0
ex 1 = 1 Por lo tanto, x^ lim! 01 x (ex^ ^ 1) = 1 IND 00 :
d) Debido a que estas funciones son derivables en todos sus domin- ios, podemos aplicar la regla de l’Hˆopital. Alternativamente, tambi´en podemos factorizar los polinomios y simplificar. En este caso, fac- toritzar es el camino m´as sencillo:
x^ lim! 1 x
x^2 + 3x + 2 =^ xlim! 1
(x 1)(x + 1) (x + 1)(x + 2) =^ xlim! 1
x 1 x + 2 =^ ^2 f) De forma parecida al caso anterior,
x^ lim! 1 x
(^3) 3 x + 2 x^4 4 x + 3 = lim^ x!^1
(x 1)^2 (x 2) (x 1)^2 (x^2 2 x + 3) = = lim x! 1 (x 2 ( x^ 2 x^ 2) + 3) =^12 v) Aplicamos la regla de l’Hˆopital:
x^ lim! 0 (sin^ x)
′ (x)′^ = lim^ x!^0
cosx 1 = lim^ x!^0 cosx^ = 1 de manera que x^ lim! 0 sinx^ x= 1
IND 11 : Aplicamos la regla de l’Hˆopital:
b) x!^ lim+ 1 x
(^2) 5 x + 1 3 x + 7 = +^1 c) x!^ lim+ 1 (2x^ + 3)
(^3) (3x 2) 2 x^5 + 5 = 72 i) x!^ lim+ 1 x
2 10 + xpx = +^1 q) x!^ lim+ 1 x
2 x 1 = +^1 r) x!^ lim+ 1 x
x^6 + 2x = 0 s) x!^ lim+ 1
px x + 1 px + x 1 = 1 w) x!^ lim+ 12 x
(^2) 3 x 4 px (^4) + 1 = 2 z) x!^ lim+ 13 x
(^3) 2 x (^2) + x 6 2 x^2 + 3x + 5 = +^1 IND 11 : Utilitzamos la f´ormula:
x^ lim!a(f^ (x))g(x)^ =^ e^ xlim→a^ g(x) ln^ f^ (x)^ =^ e^ xlim→a^ g(x)[f^ (x) 1] Entonces, g) x^ lim! 0 (1 +^ x)^ x^1 =^ e^ xlim→^0
x^1 (1+x 1)^ = e xlim→^0
xx = e^1 = e k)
x!^ lim+ 1
( (^) x (^2) + 3 x^2 + 2
)x = e x→lim+∞^ x
( (^) x (^2) + x^2 +2 ^1
) = e x→lim+∞
( (^) x x^2 +
) = e^0 = 1
f (x) =
x, x 0 ln(x^2 + 1), x > 0 g(x) =
jxj x 1 e x, x > 1 Obtened los siguientes l´ımites laterales:
a) limx! 0 + f (x) = limx! 0 ln(x^2 + 1) = 0 b) limx! 1 − g(x) = limx! 1 jxj = 1 c) Tenemos:
f (x) g(x) =
x jxj, x 1 x e x, 1 < x 0 ln(x^2 + 1) e x, x > 0 Entonces,
x^ lim! 0 +(f^ (x)^ ^ g(x)) = ln(0^2 + 1)^ ^ e^0 = 0^ ^ 1 = ( 1)
a) f (x) = x 2 b) f (x) = ex ln(x^2 +1) c) f (x) = x
2 x 2 d)^ f^ (x) =^ e
^ (^ x^12 )
e) f (x) = 1 +^ x
3 1 + x f^ )^ f^ (x) =^ e
1 /x
g) f (x) = x sin
( (^) π x
(h) f (x) = ln
x
i) f (x) = 0 (j) f (x) =
√ (^) x jxj k) f (x) =
x^2 , si x 3 2 x + 1, si x > 3 l)^ f^ (x) =
{ (^) ex x ^ e,^ si^ x <^1 ln x, si x 1 m) f (x) =
x ln(x^2 + 1), si x 0 x ex, si x > 0 n)^ f^ (x) =
1 , si x < 1 1 , si x 1 o) f (x) =
{ (^) x jxj ,^ si^ x^ ̸= 0 0 , si x = 0 p)^ f^ (x) =
ln p jxj, si x < 0 x^2 + 1, si x 0
a) f (x) = x 2 i i)f (x) = 0 son polinomios, por lo tanto funciones continuas en R
l) f (x) =
{ (^) ex x ^ e,^ if^ x <^1 ln x, if x 1 Debemos de estudiar la continuidad de la funci´on en los diferentes sub- dominios y en los puntos donde la funci´on cambia su definici´on: Consideremos valores x < 1 , x ̸= 0: La funci´on es continua porque es la divisi´on de funciones continuas. En x = 0,
x^ lim! 0 −^ f^ (x) =^ 1^ xlim! 0 +^ f^ (x) = +^1 Por lo tanto, la funci´on tiene una as´ıntota. Consideremos ahora valores x > 1. La funci´on es continua porque lo es la funci´on ln x. En x = 1, debemos de aplicar la definici´on de l´ımite:
x^ lim! 1 −^ f^ (x) = lim^ x!^1 e
x x e^ = 0^ xlim! 1 +^ f^ (x) = lim^ x!^1 ln^ x^ = 0 =^ f^ (0) Ya que los l´ımites laterales existen y coinciden, y que son iguales a la imagen de la funci´on en x = 1, podemos concluir que la funci´on f es continua en x = 1. Resumiendo, el dominio sobre el que la funci´on f es continua es R n f 0 g.
m) f (x) =
x ln(x^2 + 1), si x 0 x ex, si x > 0. Realizando un razonamiento sim- ilar al del caso anterior, podemos concluir que f es continua en R porque: Para x < 0 , f es continua porque es la suma, producto y com- posici´on de funciones continuas. Para x > 0 , f es continua porque es el producto de funciones continuas. En x = 0, los l´ımites laterales existen y coinciden con el valor de la funci´on en x = 1. Por lo tanto, la funci´on f es continua en x = 0. n) f (x) =
1 , si x < 1 1 , si x 1 Es continua perque es una funci´on constante en ( 1, 1) [ (1, + 1 )
o) f (x) =
{ (^) x jxj ,^ si^ x^ ̸= 0 0 , si x = 0 Es continua en R n f 0 g. Presenta una discontinuidad de salto finito en x = 0, porque los l´ımites laterales existen pero no coinciden:
x^ lim! 0 −^ f^ (x) = lim^ x!^0 j^ xxj^ =^ ^1 xlim! 0 +^ f^ (x) = lim^ x!^0 j^ xxj = 1^ ̸=^ f^ (0) = 0
p) f (x) =
ln p jxj, si x < 0 x^2 + 1, si x 0 Es continua a^ R^ n f^0 g. Presenta una discontinuidad en x = 0, porque s´olo uno de los l´ımites laterales es finito:
x^ lim! 0 −^ f^ (x) = lim^ x!^0 ln^ jxj^ =^ x^ lim! 0 +^ f^ (x) = lim^ x!^0
x^2 + 1 = 1
a) f (x) =
{ (^) x (^2) 4 x 2 ,^ si^ x^ ̸= 2 a, si x = 2 b)^ f^ (x) =
ax^2 + 1, si x 1 a, si x > 1
c) f (x) =
ex, si x 0 ax + b, si x 2 (0, 1] ln(bx), si x > 1
d) f (x) =
ex^2 +ab, si x 1 x^2 ab, si x > 1
e) f (x) =
a, si x < 2 x^2 b, si 2 x 1 ax + b, si x 1
f ) f (x) =
ln(x + 1) + a, si x 2 [ 1 , 1] ex^ + 2bx^2 , si 1 < x < 2 sin(πx) + (a + 1)x, si x 2 g) f (x) =
x p^2 + ax + b, si x 0 x + ab, si x > 0 , a, b > 0 Como todas las funciones son suma/resta y composici´on de funciones con- tinuas s´olo nos piden estudiar qu´e pasa en los puntos donde cambia la definici´on
e) Para x = 2
x! lim 2 −^ f^ (x) =^ xlim! ^2 a^ =^ a^ =^ x! lim 2 +^ f^ (x) =^ xlim! ^2 x^2 b^ = 4 b Para x = 1
xlim! 1 −^ f^ (x) = lim^ x!^1 x^2 b^ = 1 b^ =^ xlim! 1 +^ f^ (x) = lim^ x!^1 ax+b^ =^ a+b f (x) ser´a continua en todo su dominio si satisface: a = 4 b = f ( 2) i f (1) = 1 b = a + b El sistema tiene una soluci´on a = 7, b = 3 f) Para x = 1
xlim! 1 −^ f^ (x) = lim^ x!^1 ln(x+1)+a^ = ln(2)+a^ =^ xlim! 1 +^ f^ (x) = lim^ x!^1 ex+2bx^2 =^ e+2b Para x = 2
xlim! 2 −^ f^ (x) = lim^ x!^2 ex+2bx^2 =^ xlim! 2 +^ f^ (x) = lim^ x!^2 sin(πx)+(a+1)x f (x) ser´a continua en todo su dominio si satisface: f (1) = ln(2)+a = e+2b i e^2 +8b = sin(2π)+2(a+1) = f (2) Resolviendo el sistema vemos que tiene una soluci´on para a = 21 e^2 2 ln(2) + 1 + 2e, b = 21 ln(2) 14 e^2 + 1 + 2 e
g) Para x = 0
xlim! 0 −^ f^ (x) = lim^ x!^0 x^2 +ax+b^ =^ b^ =^ xlim! 0 +^ f^ (x) = lim^ x!^0 px^ +^ ab^ =^
p ab La continuidad exige f (0) = b = √(ab). Resolviendo esta ecuaci´on obtenemos infinitos valores, los que cumplan a = b
