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Matemáticas I
Lista de problemas
Tema 7: Optimización con una variable
Departament d’Economia i d’Història Econòmica
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Lista de ejercicios mates, Esquemas y mapas conceptuales de Matemáticas
Lista de ejercicios para practicar FINAL MATES
Tipo: Esquemas y mapas conceptuales
2020/2021
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Lista de problemas
Tema 7: Optimización con una variable
Departament d’Economia i d’Història Econòmica
- Dad el conjunto de puntos candidatos a extremos locales (sin clasificarlos en máximos y mínimos) y estudiad los
intervalos de crecimiento y decrecimiento de las siguientes funciones.
(a) f (x) =
x
3
− 2 x
2
- 3x + 1 (b) f (x) = | ln x|
(c) f (x) =
(x − 2)
3
(x − 1)
2
(d) f (x) = (x − 1) · x
2 / 3
(e) f (x) = cos x (f) f (x) = | sin x|
(g) f (x) =
ln x
x
(h) f (x) =
x
ln x
(i) f (x) =
x
, si x < − 1 ,
x, si − 1 ≤ x < 0 ,
−x(x − 1), si x ≥ 0 ;
(j) f (x) =
x − 1
, si x < 0 ,
x + 1
, si x ≥ 0 ;
(k) Según los valores del parámetro a,
f (x) =
ax · (x + 1), si x < 0 ,
−x · (x − 1), si x ≥ 0.
- Para cada una de las funciones del ejercicio anterior clasificad los candidatos en máximos, mínimos y puntos de
inflexión. Calculad también los intervalos de concavidad y convexidad.
- Calculad los máximos y mínimos de la siguiente función según los valores del parámetro a:
f (x) =
−x, if x ∈ [− 1 , 1],
a
x
, if x > 1.
- Para cada una de las siguientes funciones calculad los máximos y mínimos locales y globales en los dominios que
se indican.
(a) f (x) = x · (x − 1), D = [0, 1]; (b) f (x) = −x · (x − 1), D = [0, ∞];
(c) f (x) = | ln x|, D = (0, e]; (d) f (x) =
x
2
, D = (− 1 , 1).
- Una empresa produce un cierto bien en una cantidad q. Las funciones de ingresos y coste son:
I(q) = −
6
q
3
3
q
2
− 2 q + 100;
C(q) =
2
q
2 − 24 q + 11000.
(a) Calculad el valor de q que maximiza el ingreso marginal, es decir la función derivada del ingreso.
(b) Calculad el valor de q que nos da beneficio máximo (recordad que el beneficio viene dado por la ecuación
B(q) = I(q) − C(q)). ¿Cual es el beneficio máximo?
- Calculad los extremos (máximos y mínimos relativos) y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las si-
guientes funciones en cada uno de los siguientes dominios: D 1 = R, D 2 = [− 1 , 1], D 3 = (−∞, 0), D 4 =
(− 2 , −1) ∪ [1, 3].
(a) f (x) =
x
2
- x, si x ≤ 0 ,
x
2 − x, si x > 0.
(b) f (x) =
x
2
, si x < − 1 ,
−x, si − 1 ≤ x ≤ 1 ,
ln x
x
, si x > 1.
- Examen: Sea la función:
f (x) =
x
2
x + 1
, si x < 0 ,
x + 1
, si x ≥ 0.
Se pide:
(a) Dad el dominio de definición de f y estudiad su continuidad en x = 0. ¿De qué tipo de discontinuidad se
trata?
(b) Calculad la recta tangente a f en el punto x = 1.
(c) Estudiad la monotonía de f.
(d) Calculad las asíntotas de f.
(e) Haced un esbozo de la gráfica de f.
(f) ¿Porqué se puede asegurar que f tiene un máximo absoluto en el intervalo [3, 5]? ¿Dónde se encuentra?
- Examen: En un mercado monopolístico, la función de demanda es: p(q) = 50 − q donde p es el precio y q la
cantidad. La función de costes es:
C(q) = q
2
- 6q + 20.
Se pide calcular la función de beneficios (en función de q) y determinar la cantidad q
∗ que maximiza el beneficio.